파르세발의 정체

수학적 분석에서 마르크 앙투안 파르세발(Mark-Antoine Parseval)의 이름을 딴 파르세발(Parseval)의 정체성은 함수의 푸리에(Fourier) 계열의 종합성에 대한 근본적인 결과물이다. 기하학적으로 내부 제품 공간(기본 벡터의 헤아릴 수 없는 무한성을 가질 수 있는)에 대한 일반화된 피타고라스 정리다.

비공식적으로, ID는 함수의 푸리에 계수의 제곱합이 함수의 제곱합과 동일하다고 주장한다.

$여기$서 f ${\displaystyle f}$의 푸리에 $계수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$은 다음과 같이 주어진다$$.

보다 공식적으로, 결과는 명시된 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 사각 통합 함수 또는 Lp 공간 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ [ - ${\displaystyle -}$ ,${\displaystyle \pi ]}$ . ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi$ ]이다$.$$}}$ 유사한$$ 결과가 플랑쉐렐 정리인데, 이것은 함수의 푸리에 변환의 제곱의 적분은 함수 자체의 제곱의 적분과 동일하다고 주장한다. 1차원, ${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle L\mathbb{}}$ 2 ( R${\displaystyle }$) , ${\displaystyle f\in$ L$^{2}(\mathb {R}),}$

피타고라스 정리 일반화

그 정체성은 다음과 같이 분리 가능한 힐버트 공간의 보다 일반적인 설정에서 피타고라스적 정리와 관련이 있다. Suppose that ${\displaystyle H}$ is a Hilbert space with inner product ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle .}$ Let ${\displaystyle \left(e_{n}\right)}$ be an orthonormal basis of ${\displaystyle H}$; i.e., the linear span of the ${\displaystyle e_{n}}$ is de$nse{\displaystyle }$ in${\displaystyle }$H$$, {\$displaystyle$H,} 및$$ $e{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$e_{$n}$은(는) 상호 정형화된 것이다$$.

${\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\angle ={\\nbox}1&{\mbox{if}}~m=n\0&{\mbox{if}}}:{\mbox{f}}}}\m\neq n.end{case}}}}}}}$

그러면 파르세발의 정체성은 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle x\in$ H$,}$에 대해 주장한다.

이는 피타고라스적 정리(Phitagorean organ)와 직접적으로 유사하며, 이는 직교 기준에서 벡터 성분의 제곱합이 벡터의 제곱 길이와 동일하다고 주장한다. One can recover the Fourier series version of Parseval's identity by letting ${\displaystyle H}$ be the Hilbert space ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ],}$ and setting ${\displaystyle e_{n}=e^{-inx}}$ for ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

보다 일반적으로 파르세발의 정체성은 단순히 분리 가능한 힐베르트의 공간이 아니라 어떤 내부 제품 공간에도 있다. 따라서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 내부 제품 공간이라고$$ 가정하십시오. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 정형근거로 두십시오$$$.$ 즉, $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 선형경간이 $H{\displaystyle .}$ ${\displaysty H.}$에 밀도가 있다는$$ 의미에서 합한 정형근 집합입니다.

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 총체라는$$ 가정은 정체성의 타당성을 위해 필요하다. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 총계가 아닌$$ 경우, 파르세발 정체성의 동등성은 베셀의 불평등을 산출하는${\displaystyle }$≥${\displaystyle }$, ${\displaystyle \,\geq ,}$로 대체되어야 한다. 파르세발의 정체성에 대한 이러한 일반적인 형태는 리에즈-피셔 정리를 이용하여 증명할 수 있다.

참고 항목

• 파르세발 정리

참조

• "Parseval equality", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Johnson, Lee W.; Riess, R. Dean (1982), Numerical Analysis (2nd ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-10392-3.
• Titchmarsh, E (1939), The Theory of Functions (2nd ed.), Oxford University Press.
• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2nd ed.), Cambridge University Press (published 1988), ISBN 978-0-521-35885-9.
• Siktar, Joshua (2019), Recasting the Proof of Parseval's Identity, Turkish Journal of Inequalities. [1]