고전 전자기학 공변 공식 은 직선 관성 좌표계 를 사용한 특수 상대성 이론 의 형식에서 로렌츠 변환 하 에서 명백하게 불변한 형태로 고전 전자기학의 법칙을 쓰는 방법을 참조한다. 이러한 표현들은 고전 전자기학의 법칙이 관성 좌표계에서 같은 형태를 취한다는 것을 증명하는 것을 쉽게 만들고, 또한 한 프레임에서 다른 프레임으로 장과 힘을 변환하는 방법을 제공한다. 그러나 이는 곡선 시공간 또는 비선형 좌표계의 맥스웰 방정식 처럼 일반적이지 않다.
이 글은 텐서 및 아인슈타인 합계 의 고전적 처리 를 사용하고 있으며 민코프스키 측정법은 diag(+1, -1, -1, -1) 형식을 가지고 있다. 이 방정식이 진공상태에서 유지되는 것으로 지정된 경우, 대신 총 전하 및 전류 측면 에서 맥스웰 방정식의 공식으로 간주할 수 있습니다.
이 그림의 다양한 개념적 의미를 포함하여 고전 전자기학과 특수상대성이론의 관계에 대한 보다 일반적인 개요는 고전 전자기학과 특수상대성이론을 참조 하십시오.
공변 객체 예비 4벡터 본 문서에서는 물체 또는 입자를 설명하기 위해 다음과 같은 종류의 로렌츠 텐서를 사용할 수 있습니다.
4분할 : x α = ( c t , x ) = ( c t , x , y , z ) . {\displaystyle x^{\alpha}=(ct,\mathbf {x})=(ct,x,y,z),} 4단 속도: u α = γ ( c , u ) , (\displaystyle u^{\alpha}=\displays (c,\mathbf {u}),} 여기서 θ (u )는 3-속도 u에서의 로렌츠 인자이다. 4개 의 순간: p α = ( E / c , p ) = m 0 u α {\displaystyle p^{\alpha}=(E/c,\mathbf {p})=m_{0}u^{\alpha}} 여기 displaystyle \mathbf {p} displaystyle } 에너지 , m (\ displaystyle m_{0}) 휴식 질량입니다.4단계 : ∂ ν = ∂ ∂ x ν = ( 1 c ∂ ∂ t , − ∇ ) , {\displaystyle ^{\nu } = frac {\frac x_{\nu }} = \frac {1} {\frac {\frac t},-\mathbf {\fru},} d' Alembertian § (\ displaystyle\partial}^{2 ∂ 2 = 1 c 2 ∂ ∂ t ∂ ∂ t − ∇ 2 . {\displaystyle \displaystyle ^{2}=displayfrac {1}{c^{2}}{\display \over \display t}-\displayla ^{2}}. } 다음 텐서 분석의 부호는 미터법 텐서에 사용되는 규칙 에 따라 달라집니다. 여기 서 사용되는 규칙은 민코프스키 메트릭 텐서에 해당하는 (+ - - -) 이다.
η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) \displaystyle \eta ^{\mu \nu } = { { pmatrix }1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 1 \ end { pmatrix }
전자기 텐서 전자기 텐서는 전기장과 자기장의 조합으로 공변 반대칭 텐서 로 입력되는 B-장 [1]
F α β = ( 0 E x / c E y / c E z / c − E x / c 0 − B z B y − E y / c B z 0 − B x − E z / c − B y B x 0 ) {\displaystyle F_{\alpha \display}=sbegin{pmatrix}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&B_{z}&B_{y}/B_{y}&B_0Z}&E_{x}/{x}&E_{x}/{x}&E_{x}&E_{x}=0}&E_{x}&E_{x}=0} 지수 상승의 결과는 F μ ν = d e f η μ α F α β η β ν = ( 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ) . {\displaystyle F^{\mu \nu }\mathrel {def} {=} \eta ^{\mu \alpha }, F_{\alpha \nu }, \eta ^{\displaystyle \nu }=ginbegin{pmatrix}0&-E_{x}/{x}\E_{y}/{/{/{c} E_{y}/c&B_{z}&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}, } 여기 서 E는 전기장 , B 는 자기장 , c 는 빛의 속도 이다.
사류 4개 전류는 전하 밀도 θ와 전류 밀도 j를 결합 한 역변수 4벡터입니다.
J α = ( c ρ , j ) . \displaystyle J^{\alpha}=(c\rho,\mathbf {j}), }
4전위 전자파 4전위는 다음과 같이 전위 (스칼라 전위라고도 함) δ 및 자기 벡터 전위(또는 벡터 전위) A 를 포함하는 공변 4벡터입니다.
A α = ( ϕ / c , A ) . \displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right), }
전자기 전위의 차이는 다음과 같습니다.
F α β = ∂ α A β − ∂ β A α . \displaystyle F_{\alpha \alpha }=\display_{\alpha}A_{\beta}-\display_{\alpha}A_{\alpha}, }
곡선 시공간 일반화를 제공하는 미분 형식 의 언어로, 이들은 1-형태 = A α d x display A_ alpha ^{\alpha } = D = 1 2F α β d α 각각}}. 여기 \displaystyle 외부 파생 모델이고 {\\displaystyle\wedge 웨지 제품입니다.
전자기 응력-에너지 텐서 전자기 스트레스-에너지 텐서는 운동량 4-벡터의 플럭스 밀도로 해석될 수 있으며, 전체 스트레스-에너지 텐서에 대한 전자기장의 기여인 반변수 대칭 텐서이다.
T α β = ( ε 0 E 2 / 2 + B 2 / 2 μ 0 S x / c S y / c S z / c S x / c − σ x x − σ x y − σ x z S y / c − σ y x − σ y y − σ y z S z / c − σ z x − σ z y − σ z z ) , {\displaystyle T^{\alpha)}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{0}E^{2}{2}/2\mu _{0}&을 말한다.S_{)}/c&.S_{y}/c&.S_{z}{)}/c&, -\sigma _{xx}&, -\sigma _{xy}&, -\sigma _{xz}\\ S_{y}/c&, -\sigma _{yx}&, -\sigma _{yy}&, -\sigma _{yz}\\S_{z}/c&, -\sigma _{zx}&, -\sigma _{zy}&, -\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,}.
진공의 진공의 어디ε 0{\displaystyle \varepsilon_{0}} 인 유전율, μ0은 투자율,Poynting 벡터는.
S = 1 μ 0 E × B {\displaystyle \mathbf {S} = flac {1} {\mu _{0}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }
그리고 맥스웰 응력 텐서는 다음과 같이 주어진다.
σ i j = ε 0 E i E j + 1 μ 0 B i B j − ( 1 2 ε 0 E 2 + 1 2 μ 0 B 2 ) δ i j . \displaystyle _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i} E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}B_{i}-\left({\frac {1}{2})\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\rightdelji}_{ta}. }
전자기장 텐서 F는 다음 [2] 텐서 T를 구성한다.
T α β = 1 μ 0 ( η α ν F ν γ F γ β + 1 4 η α β F γ ν F γ ν ) {\displaystyle T^{\alpha \mu } = left(\eta ^{\alpha \nu }F_{\nu \mu })F^{\gamma \mu }+{\frac {1}{4}\eta ^{\alpha \gam }F}F_{\gam } 여기서 θ 는 Minkowski 메트릭 텐서(부호(+ - - -) 포함)입니다. 델은 다음과 같은 사실을 사용하고 있습니다. ε 0 μ 0 c 2 = 1 , {\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1,} 맥스웰 방정식에 의해 예측됩니다.
맥스웰 진공 방정식 진공(또는 거시적 물질 기술을 포함하지 않는 미시적 방정식의 경우)에서 맥스웰 방정식은 두 개의 텐서 방정식으로 작성될 수 있다.
가우스의 법칙 과 앙페르의 법칙 이라는 두 가지 불균일한 맥스웰 방정식은 (+ - - -) [3]
가우스-앙페르 법칙 ∂ α F α β = μ 0 J β \displaystyle _{\alpha }F^{\alpha \display}=\mu _{0}J^{\beta }}
한편, 균질 방정식 – 패러데이의 유도 법칙 과 자기 가우스의 법칙 이 결합되어 μ μ μ ν ν σ σ F = {\display nu ^{\ mu } nu nu
가우스 패러데이 의 법칙 ∂ α ( 1 2 ε α β γ δ F γ δ ) = 0 \displaystyle _{\alpha}\leftfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \display \filon }F_{\gamma \filon }\right}=0}
여기 서αβ 전자기 텐서, J 는α 4전류 , θ 는αβγδ 레비-시비타 기호 , 그리고 지수는 아인슈타인 합산 규칙 에 따라 동작한다.
이러한 텐서 방정식은 β의 각 값에 대해 하나씩 4개의 스칼라 방정식에 해당합니다.
반대칭 텐서 표기법과 부분 도함수 콤마 표기법을 사용하면(리치 미적분 참조 ), 두 번째 방정식은 다음과 같이 보다 간결하게 쓸 수 있다.
F [ α β , γ ] = 0. \displaystyle F_{[\alpha \displays,\displays ]}= 0. }
소스가 없는 경우 Maxwell 방정식은 다음과 같이 감소합니다.
∂ ν ∂ ν F α β = 방어하다 ∂ 2 F α β = 방어하다 1 c 2 ∂ 2 F α β ∂ t 2 − ∇ 2 F α β = 0 , \displaystyle \nu ^{\nu }\mathrel {\alpha \def} {=} \mathrel {\alpha \def} {=} \mathrel {\text {def} {=} {1 \over c^{2} {\mathrel } \mathrel ^{\f} {\f} 전기장 강도 텐서의 전자파 방정식입니다.
로렌츠 게이지의 맥스웰 방정식 로렌츠 게이지 조건은 로렌츠 불변 게이지 조건입니다.(이는 쿨롱 게이지와 같은 다른 게이지 조건과 대조될 수 있습니다. 쿨롱 게이지가 하나의 관성 프레임에 고정되면 일반적으로 다른 어떤 프레임에도 고정되지 않습니다.) 이는 4전위로 다음과 같이 표현된다.
∂ α A α = ∂ α A α = 0 . \displaystyle \alpha }A^{\alpha}=\display ^{\alpha}A_{\alpha}=0,}
로렌츠 게이지에서 극미량 맥스웰 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
∂ 2 A σ = μ 0 J σ . {{displaystyle}^{2} A^{\sigma}=\mu _{0},J^{\sigma }, }
로렌츠력 하전 입자 전자기장(EM)은 로렌츠 힘 때문에 대전된 물질의 움직임 에 영향을 미칩니다. 이와 같이 전자파장을 검출 할 수 있습니다(입자물리학에서의 응용 과 오로라 와 같은 자연발생). 상대론적 형태에서 로렌츠 힘은 다음과 같이 전계 강도 텐서를 사용한다.[4]
좌표 시간 t로 표현하면 다음과 같습니다.
d p α d t = q F α β d x β d t , {\displaystyle {dp_{\alpha}\over {dt}}=q,F_{\alpha \alpha },{\frac {\frac }}{dt}}}
여기 서α 4진수 , q는 전하 , x 는β
프레임에 의존하지 않는 형태로 표현되는 4가지 포스가 있습니다.
d p α d τ = q F α β u β , {\displaystyle {dp_{\alpha}}{d\alpha}},=q,F_{\alpha\alpha},u^{\alpha}},
여기 서β θ 는 입자의 고유 시간으로, dt θdθ만큼
전하 연속체 이동 중인 연속 전하 분포(전하 밀도 θ)에 대한 공간 부피 f당 로렌츠 힘. 공간 부분이 로렌츠 힘인 전자기력에 의한 힘의 밀도는 다음과 같이 주어진다.
f α = F α β J β . {\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \alpha }J^{\beta }}
전자파 응력-에너지 텐서와 관련이 있다.
f α = − T α β , β ≡ − ∂ T α β ∂ x β . {\displaystyle f^{\alpha \alpha }=-{T^{\alpha \alpha }}_{,\alpha }\equiv - {\frac T^{\alpha \alpha }}}. }
보존법 전하 연속성 방정식:
J β , β = 방어하다 ∂ β J β = ∂ β ∂ α F α β / μ 0 = 0. {\displaystyle {J^{\beta }}_{,\mathrel {\text{def}}{\mathop {=}}}}\mathrel _{\display}=\display {\beta }F^{\alpha }/\mu0}. } 는 전하 절약을 나타냅니다 .
전자기 에너지-모멘텀 맥스웰 방정식을 사용하면 전자파 응력-에너지 텐서(위에서 정의)가 다음 미분 방정식을 만족하는 것을 알 수 있으며, 이는 전자파 텐서 및 현재 4 벡터와 관련된다.
T α β , β + F α β J β = 0 {\displaystyle {T^{\alpha \display}}_{,\display}+F^{\alpha \display}J_{\beta }=0} 또는 η α ν T ν β , β + F α β J β = 0 , \displaystyle \eta _{\alpha \nu }{,\display }}_{,\display }+F_{\alpha \display }J^{\beta }= 0,} 이것은 전자기 상호작용에 의한 선형 운동량과 에너지의 보존을 나타냅니다.
물질의 공변 물체 자유 및 결합 4 전류 여기서 주어진 전자기 방정식을 풀기 위해서는 전류를 계산하는 방법에 대한 정보를 추가해야 합니다. J ν
J ν = J ν 공짜 + J ν 바운드 , {\displaystyle J^{\nu }={J^{\nu }}_{\text{free}}+{J^{\nu}}_{\text{bound}},},} 어디에 J ν 공짜 = ( c ρ 공짜 J 공짜 ) = ( c ∇ ⋅ D − ∂ D ∂ t + ∇ × H ) , J ν 바운드 = ( c ρ 바운드 J 바운드 ) = ( − c ∇ ⋅ P ∂ P ∂ t + ∇ × M ) . {\displaystyle{negrated}{ J^{\nu}}_{\text{자유}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{자유}}&\mathbf{J}_{\text{자유}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}c\nabla\cdot \mathbf{D}&-{\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial지}}+\nabla \times \mathbf{H}\end{pmatrix}}\,,\\{J^{\nu}}_{\text{반드시}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{반드시}}&\mathbf{J}_{\text{반드시}}\end{시.atrix}}&){\begin {pmatrix}-c\nabla \cdot \mathbf {P} & {\frac {\partial t} {\partial t} + \nabla \times \mathbf {M} \end {pmatrix}, \end { aligned}}
맥스웰의 거시적 방정식은 전기 변위 D와 자기 강도 H의 정의에 더하여 사용되었다.
D = ε 0 E + P , H = 1 μ 0 B − M . {\displaystyle {displaystyle}\mathbf {D} &=\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P},\\\mathbf {H} &=mathbf {B} -\mathbf {M},\end} 정렬됨. 여기 서 M은 자화 , P 는 전기 편파 이다.
자분극 텐서 결합 전류는 반대칭 반변형 자화-편광 텐서를 형성하는 P 및 M 필드 에서 도출됩니다.
M μ ν = ( 0 P x c P y c P z c − P x c 0 − M z M y − P y c M z 0 − M x − P z c − M y M x 0 ) , {\displaystyle {M}^{\mu \nu }=begin{pmatrix}c&P_{y}c&P_{z}c\P_{x}c&M_{z}&M_{y}&M_{y}&0Z}
결합 전류를 결정합니다.
J ν 바운드 = ∂ μ M μ ν . {\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=\mathcal {M}{\mu \nu }, }
전기 변위 텐서 이것이 F 와μν 결합되면 다음과 같이 D와 H 필드 를 결합하는 반대칭 반변형 전자 변위 텐서를 얻을 수 있습니다.
D μ ν = ( 0 − D x c − D y c − D z c D x c 0 − H z H y D y c H z 0 − H x D z c − H y H x 0 ) . {\displaystyle {D}^{\mu \nu}=begin{pmatrix}c&-D_{y}c&-D_{z}c&-D_{z}c&0&-D_{z}&H_{y}\\displaystyle D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}. }
3개의 필드 텐서는 다음과 같습니다.
D μ ν = 1 μ 0 F μ ν − M μ ν {\displaystyle {D}^{\mu \nu }=frac {1}{\mu _{0}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}^{\mu \nu }}
위의 D 필드 및 H 필드의 정의와 동일합니다.
물질의 맥스웰 방정식 그 결과 암페르의 법칙은
∇ × H = J 공짜 + ∂ D ∂ t , \displaystyle \mathbf {H} \times \mathbf {H} = \mathbf {J} _{\text{free}} + {\frac \frac \mathbf {D} {\frac t} } 가우스의 법칙과 ∇ ⋅ D = ρ 공짜 , \displaystyle \mathbf \cdot \mathbf {D} = \rho _{\text{free}}
하나의 방정식으로 결합:
가우스-앙페르 법칙(표준) J ν 공짜 = ∂ μ D μ ν {\displaystyle {J^{\nu}}_{\text{free}}=\display_{\mathcal {D}{\mu \nu}}
위에서 정의한 바운드 전류 및 자유 전류는 자동으로 별도로 보존됩니다.
∂ ν J ν 바운드 = 0 ∂ ν J ν 공짜 = 0 . {\displaystyle {\nu }{J^{\nu }}_{\text{bound}}&=0,\display_{\nu }}_{\text{free}}&=0, \end { aligned}}
구성 방정식 진공. 진공에서 필드 텐서와 변위 텐서 사이의 구성 관계는 다음과 같다.
μ 0 D μ ν = η μ α F α β η β ν . \displaystyle \mu _{0}{\mathcal {D}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \nu }\eta ^{\mathcal \nu }, }
반대칭성은 이 16개의 방정식을 단지 6개의 독립 방정식으로 줄여줍니다. F는 보통 다음과 같이 정의 됩니다μν
F μ ν = η μ α F α β η β ν , {\displaystyle F^{\mu \nu }=\eta ^{\alpha \nu}F_{\alpha \nu}\eta ^{\displaystyle \nu}} 구성 방정식은 진공 상태 에서 가우스-암페르의 법칙과 결합하여 다음을 얻을 수 있다. ∂ β F α β = μ 0 J α . \displaystyle _{\alpha \alpha }F^{\alpha \alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}
변위 측면에서 전자파 응력-에너지 텐서는 다음과 같다.
T α π = F α β D π β − 1 4 δ α π F μ ν D μ ν , \displaystyle T_{\alpha }{\pi }=F_{\alpha \pi }{\mathcal {D}^{\pi }-{\frac {1}{4}-{\fac }{\pi }F_{\mathcal {D}^{\nu } } } } 여기서 θ 는α π 크로네커 델타입니다. 위쪽 지수를 θ 로 낮추면 대칭이 되어 중력장의 원천이 된다.
선형, 비분산 물질 따라서 J 를ν 모델링 ν free , J와 자화 및 편광 모델링, M μ † displaystyle {M}})^{\mu \nu
J 공짜 = σ E P = ε 0 χ e E M = χ m H {\displaystyle {text{aligned}\mathbf {J}_{\text{free}\display\mathbf {E}\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E}\,\mathbf {M}\mathbf {E}\m} 여기서 하나는 물질의 순간적으로 결합하는 관성 프레임에 있고, θ 는 전기 전도율 , θ 는e 전기 감수성 , θ 는m 자기 감수성 입니다.
Minkowski가 선형 재료(즉, E는 D 에 비례 하고 B는 H 에 비례 함) (\ D}) [5]
D μ ν u ν = c 2 ε F μ ν u ν ⋆ D μ ν u ν = 1 μ ⋆ F μ ν u ν {\displaystyle {\mathcal {D}^{\mu \nu}u_{\nu}\varepsilon F^{\mu \nu}u_{\star {\mathcal {D}{\mu \nu}{\mu}u}u_{\frac}{\frac1}
여기 서 u는 재료의 4속도, μ 는 재료의 적절한 유전율 및 투과율 , displaystyle \star) Hodge dual을 나타낸다.
고전 전기역학의 라그랑지안 진공. 고전 전기역학의 라그랑지안 밀도는 두 가지 성분, 즉 필드 성분과 소스 성분으로 구성됩니다.
L = L 들판 + L 인트 = − 1 4 μ 0 F α β F α β − A α J α . {\displaystyle {\mathcal {L},=,{\text{field}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \mathcal }-{\alpha } } ={\alpha } }
상호작용 용어에서 4전류는 변수 측면에서 다른 충전 필드의 전류를 표현하는 많은 용어의 약자로 이해해야 한다. 4전류 자체는 기본 필드가 아니다.
전자기 라그랑지안 밀도 A β A displaystyle mathcal L mathord left A _ partial beta _ alpha right }}}
∂ β [ ∂ L ∂ ( ∂ β A α ) ] − ∂ L ∂ A α = 0 . \displaystyle _{\flac {\flac {\flac {\flac } {\flac {\flac } {\flac {\mathcal {L}} {\flac } {\flac } {\flac } = 0, {\flac }
주목하는 것
F λ σ = F μ ν η μ λ η ν σ , F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ∂ ( ∂ μ A ν ) ∂ ( ∂ ρ A σ ) = δ μ ρ δ ν σ 디스플레이 스타일 F^{\lambda \nu }&=F_{\mu \nu }\eta ^{\nu \nu }\eta ^{\nu \nu }&=\filen_{\mu }-\filengt;A_{\nu }-{\filength}A_{\mu \nu }{\nu }{\nu } \nu }\filength} }&=\mu _{\mu }^{\rho }\mu _{\nu }^{\mu }\end {aligned}}
대괄호 안의 표현은
∂ L ∂ ( ∂ β A α ) = − 1 4 μ 0 ∂ ( F μ ν η μ λ η ν σ F λ σ ) ∂ ( ∂ β A α ) = − 1 4 μ 0 η μ λ η ν σ ( F λ σ ( δ μ β δ ν α − δ ν β δ μ α ) + F μ ν ( δ λ β δ σ α − δ σ β δ λ α ) ) = − F β α μ 0 . {\displaystyle {\frac {\mathcal {L}} {\partial (\frac _ {\frac } A _ {\alpha }}}} = - { 4 \ mu _ { 0} } \ frac \ left ( F _ { \ mu \ nu } ^ { \ neta } ) }}\&=-\\frac {1}{4\mu _{0}}\\eta ^{\nu \lambda }\eta ^{\nu \lambda }\left(\lambda }^{\lambda }\left(\lambda }^{\lambda })\left(\left(\lambda } } } } } } } } } } } } \lambda F_{\mu \nu }\left(\mu \nu }^{\nu }\param _{\param }^{\param }-\param _{\param }^{\param }\parama }\paramparama })\\\\\\paramparamparamparamparamparamparamparam_{{\p}_{{\p}_{\p} {\p} {\p} } } \end { aligned}}
두 번째 항은
∂ L ∂ A α = − J α . \displaystyle\frac\mathcal {L}{\alpha}{\partial A_{\alpha}}=-J^{\alpha}, }
따라서, 전자기장의 운동 방정식은
∂ F β α ∂ x β = μ 0 J α . {\displaystyle {\frac F^{\beta }}{\frac x^{\frac }}=\mu _{0}J^{\alpha }, } 위의 가우스-암페어 방정식입니다.
문제 자유 전류와 결합 전류를 분리하여 Lagrangian 밀도를 작성하는 또 다른 방법은 다음과 같습니다.
L = − 1 4 μ 0 F α β F α β − A α J 공짜 α + 1 2 F α β M α β . {\displaystyle {\mathcal {L},=,-{\frac {1}{4\mu _{0}}F^{\alpha \mu }-A_{\alpha }J_{\text {free}{\alpha }+{\frac {2}{\mathcal} }
라그랑주 방정식을 사용하여 D μ ≤ displaystyle {D}^{\mu \nu }}
벡터 표기법의 등가 표현은 다음과 같습니다.
L = 1 2 ( ε 0 E 2 − 1 μ 0 B 2 ) − ϕ ρ 공짜 + A ⋅ J 공짜 + E ⋅ P + B ⋅ M . {\displaystyle {\mathcal {L},=,{\frac {1},{\frac {2}-{\mu _{0}}B^{2}\right}-\phi,\rho _{\text{}}+\mathb {A}\mathb {\f}\mathb {{\f}\f}\mathb {\f}\mathjot} \mathb {{{{{{2}
「 」를 참조해 주세요. 주 및 참고 자료 ^ a b Vanderlinde, Jack (2004), classical electromagnetic theory ISBN 9781402026997 ^ 고전 전기역학, 잭슨, 제3판, 609쪽 ^ 잭슨 제3판 제11장 특수상대성이론 ^ E 와 B에서 발생 하는 힘 이외의 힘, 즉 중력 , 약하거나 강한 힘이 존재하지 않는다고 가정한다.^ D.J. Griffiths (2007). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Dorling Kindersley. p. 563. ISBN 978-81-7758-293-2 추가 정보
범위
표기법 텐서 정의들 운용 관련된 추상화 주목할 만한 텐서
수학자
3-모멘텀,
총 
![{\displaystyle F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00ac4efaccdf43c6f9e303b90470fa43f807346)
F 텐서 사이의 구성 관계는 다음과 같다.
(는) 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.![{\displaystyle \partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a02d4079bf5859ef0b36a4e5e5b7b01d98f1dcd)
운동 방정식을 도출할 수 있습니다. 
