모듈러 형식의 링

수학에서 특별한 $선형군$ SL( $2,$ $Z)$ 의 부분군 $δ$ 에 관련된 모듈러 형식의 링은 모듈러 형식의 $δ$ 에 의해 생성된 등급환이다.모듈러 형식의 고리 연구는 모듈러 형식의 공간의 대수적 구조를 설명한다.

정의.

$δ$ 를 유한 지수의 SL( $2,$ $Z)$ 의 부분군이라고 하고, M $(δ$ )을 $중량$ k의 모듈러 형식의 벡터 공간이라고 $하자 k$ .δ $모듈러$ 형식의 ${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$ 은 등급링 M ${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$ ${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$ k ${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$ 0 ${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$ k ${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$ = \ $textstyle$ M $(\Gamma$ ) = \ $bigoplus _{k} M_{k$ }(\ $Gamma)$ 입니다 ${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$ ^[1]

예

풀 모듈러 $그룹$ SL( $2,$ $Z)$ 의 모듈러 형식의 링은 아이젠슈타인 $시리즈E 4$ $및 6$ E에 의해 자유롭게 생성된다.즉, M $(δ)$ 은_k $\mathbb {C} [E_{4},E_{6}]$ C[^[1] $,$ $]$ 에 $\mathbb {C} [E_{4},E_{6}]$ C $\mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ - algebra와 $\mathbb {C}$ 동형이며, 이는 복소수에 걸친 두 변수의 다항식 링이다 $\mathbb {C} [E_{4},E_{6}]$

특성.

모듈형 형태의 반지는 수준별 정선 대수의 무게 k 이후 리 브래킷[f, 감속])모듈형 형태 f, 각각의 무게 k와 ℓ의 g의 kfg′f− ℓ′g{\displaystyle[f,g]=kfg'-\ell f'g}은 모듈형 형태+ℓ+2.[1] 브래킷이 될 수 있다 정의된 그n-th 파생 상품의 모듈형 형태와 그러한 브래킷은 불러랭킨.–Co암탉 ^[1]받침대

SL(2, Z)의 합동 부분군

1973년 피에르 들랭과 마이클 라포포르는 $δ$ 가SL( $2,$ $Z) [2]$ 의 합동 부분군일 때 모듈러 $형식$ M $(δ)$ 의 고리가 완전히 생성된다는 것을 보여주었다.

2003년, Lev Borisov와 Paul Gunnells는 $모듈러$ 형식 M $(Ω$ )의 고리가 최대 3의 무게로 생성된다는 것을 보여주었는데, 이때 $\Gamma$ $δ$ \displaystyle $\Gamma$ }은 $\Gamma$ $\Gamma _{1}(N)$ Z $(2)$ 의 소수 $수준$ N의 일치 부분군 $\Gamma _{1}(N)$ 1 $)$ 일 때, δ\ $displaystyle$ $\Gamma _$ {1}( $N)$ 이론이다.2014년 Nadim Rustom은 $\Gamma _{1}(N)$ 1 $N)$ 에 $\Gamma _{1}(N)$ 대한 Borisov 및 $Gunnells$ 의 결과를 모든 $수준$ N으로 확장했으며, 또한 일치 부분군 $\Gamma _{0}(N)$ 0 $(N)$ 에 대한 모듈러 형태의 링이 최대 중량에서 $\Gamma _{0}(N)$ $생성됨$ 을 입증했다.

2015년, John Voight와 David Zureick-Brown은 이러한 결과를 일반화했다. 그들은 $SL$ ( $2,$ Z)의 일치 $부분군$ δ에 대해 균일한 무게의 모듈러 형태의 등급 링이 최대 6의 무게에서 생성되고, 최대 ^[5]12의 무게에서 생성된 관계가 있다는 것을 증명했다.2016년에 이 작업을 바탕으로, Aaron Landesman, Peter Ruhm 및 Robin Zhang은 $δ$ 가 0이 아닌 홀수 가중치 모듈 형태를 ^[6]가질 때 5와 10의 개선된 경계가 전체 링(모든 가중치)에 동일한 경계가 유지된다는 것을 보여주었다.

일반 Fuchsian 그룹

Fuchsian군 $δ$ 는 상부 $\mathbb {H}$ 의 몫 $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ H(\ $displaystyle\Gamma\backslash\$ $mathbb {H$ 로부터 $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ 구한 오르비폴드에 대응하며, 리만의 존재정리에 의해 모듈러링을 형성한다.ction 링은 스택형 ^[5]곡선의 표준 링과 밀접하게 관련되어 있습니다.

Voight와 Zureick-Brown의 작업과 Landesman, Ruhm 및 Zhang의 작업으로 인해 발전기의 무게와 모듈러 형태의 링 관계에 대한 일반적인 공식이 있습니다. $e_{i}$ i(\ $displaystyle e_{$ i $e_{i}$ })를 스택 곡선의 스태빌라이저 순서(등가적으로 ORBFold $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ H(\ $display$ style $\Gamma$ \ $backslash \mathbb {H}$ ）)로 $e_{i}$ . $0$ 이외의 홀수 무게 모듈러 형식이 없는 경우 모듈러 형식의 링은 최대 $6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ 의 $무게$ ( $6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ $6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ $6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ $12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ $6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ r $12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ 로 생성되며, 최대 $12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ 의 무게(1 $12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ $12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ ${1},$ $12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ ${r})$ 로 $6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ $12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})$ 됩니다 $.$ 만약 Γ 조금이라도 이상한 무게 모듈형 폼으로 주목 받고 있Ldots ,e_{r})}, 모듈형 형태의 반지 무게의 대부분의 정도 들 것(5, e1, e2,…, er){\displaystyle \max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}에 발생되고 대부분의 2(5, e1, e2,…, er){\displaystyle 2\max(5최대에 관계 무게가 이어졌다는 .[5].,e_ ${1},e_{2},\ldots,e_{r$ ^[6]

적용들

끈 이론과 초대칭 게이지 이론에서 모듈러 형태의 고리의 대수 구조는 N ^[7]= 1 초대칭인 4차원 게이지 이론의 힉스 진공 구조를 연구하는데 사용될 수 있다.N = 4 초대칭 양-밀스 이론에서 초전위 안정제는 SL $(2,$ $Z)$ ^[7]^[8]의 합동 부분군 $δ(2)$ 의 모듈러 형태의 고리이다.

레퍼런스

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v t 수학
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기초	범주론 정보 이론 수리논리 수학 철학 집합론 유형 이론
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