반간접 제품

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서, 특히 집단 이론에서, 반 간접 생산물의 개념은 직접 생산물의 일반화다.반간접 제품의 두 가지 밀접하게 관련된 개념이 있다.

• 내부 반간접 생산물은 한 그룹이 두 개의 하위 그룹으로 구성될 수 있는 특별한 방법이며, 그 중 하나는 정상 하위 그룹으로 구성된다.
• 외부 반간접 제품(semidirect product)은 데카르트 제품을 세트로 사용하고 특정 곱셈 작업을 사용하여 주어진 두 그룹에서 새로운 그룹을 구성하는 방법이다.

다이렉트 제품과 마찬가지로 내측과 외측 세미디렉트 제품 사이에는 자연적으로 동등성이 있으며, 두 제품 모두 단순히 세미디렉트 제품이라고 부르는 것이 일반적이다.null

유한집단의 경우 슈르-자센하우스 정리는 반간접적 생산물(분할 확장이라고도 함)으로서 분해의 존재에 대한 충분한 조건을 제공한다.null

내부 반간접 제품 정의

ID 요소 e, 부분군 H 및 정규 부분군 N ◁ G를 가진 그룹 G를 감안할 때 다음 문장은 동등하다.

• G는 부분군의 산물인 G = NH이며, 이러한 부분군에는 다음과 같은 사소한 교차점이 있다.N ∩ H = {e}.
• 모든 g ∈ G에 대해 g = nh와 같은 고유한 n ∈ N과 h ∈ H가 있다.
• 모든 g ∈ G에 대해 g = hn과 같은 고유한 h ∈ H와 n ∈ N이 있다.
• 자연적 임베딩 i: H → G와 자연적 투영 π: G → G/N의 구성은 H와 지수 그룹 G/N 사이의 이형성이다.
• H에 있는 정체성이고 그 커널이 N인 동형성 G → H가 존재한다.즉, 정확한 순서가 분할되어 있다.

$1 to N\to G\to H\to 1}$

그룹($N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에 의해 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 그룹 확장이라고도 함).$$

만약 이 진술들 중 하나라도 (따라서 모두 동등하게) 유지된다면, 우리는 G가 N과 H의 반 간접 제품이라고 말한다.

${\displaystyle G}$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle ⋊}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G=N\rtimes H}$ 또는$$ $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle ⋉}$ ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle G=H\ltimes$ N$,}$

또는 G가 N에 대해 갈라진다; 하나는 또한 G가 N에 작용하는 H의 반 간접 제품 또는 H와 N의 반 간접 제품이라고 말한다.모호성을 피하려면 어떤 것이 정상 부분군인지 지정하는 것이 바람직하다.null

내·외부 반간접 제품

먼저 내부 반간접 제품을 고려해보자.이 경우 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 경우 정규 부분군 N과 부분군 H(필수 정규 분포를 따르지 않음)를 고려하십시오$.$위 목록에 있는 조건이 유지된다고 가정해 보십시오.${\displaystyle \mathrm{자동}}$ ${\displaystyle (N}$) ${\displaystyle \operatorname {Aut}(N)}$은(는) 구성 중인 그룹인 N의 모든 자동화 그룹을 나타낸다$$.그룹 동형성$$ hom :${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle \mathrm{Auto}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle N}$) ${\displaystyle \varphi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)}$을(를) 생성한다.

${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle h}$)${\displaystyle }$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{h}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\$ 모든 h in H, N의 경우.

$bre{\displaystyle }$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle \varphi (h)}$라는 표현은 간결성을 위해$$ $\phi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$로 표기되는 경우가$$ 많다.이러한 방식으로 그룹 작업을 다음과 같이 정의한$$ $그룹{\displaystyle {}^{}}$ G${\displaystyle {}^{}=}$= ( N${\displaystyle }$,${\displaystyle H}$ ) ${\displaystyle G'=(N,H)}$ 그룹을 구성할 수 있다.

${\displaystyle (n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi (h_{1})(n_{2}),\,h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})}$ for n₁, n₂ in N and h₁, h₂ in H.

부분군 N과 H는 우리가 나중에 보여줄 것처럼 G를 이형성까지 결정한다.이렇게 하면 G그룹을 하위그룹에서 구성할 수 있다.이런 종류의 구조를 내부 반간접 제품(내부 반간접 제품이라고도^[1] 한다)이라고 한다.null

이제 외부 반간접 제품을 고려해보자.N과 H의 두 그룹과 H의 그룹 동형성 φ의 그룹 φ: H → Aut(N)을 감안할 때, 다음과 같이 정의한 φ에 관하여 N과 H의 외부 반간접제품이라고 하는 새로운 그룹 N ⋊_φ H를 구성할 수 있다.^[2]

이것은 ID 요소가 (eN, eH)이고 원소의 역(n, h)이 (φh−1−1, n), h인−1 그룹을 정의한다.쌍(n, eH)은 N에 대해 정규 부분군 이형성을 형성하고, 쌍(eN, h)은 H에 대해 부분군 이형성을 형성한다.전체 그룹은 앞에서 주어진 의미에서 그 두 부분군의 반 간접적인 산물이다.null

반대로 G의 모든 원소 g가 N에 있고 h가 H에 있는 g = nh 형식으로 고유하게 쓰여질 수 있도록 정상 부분군 N과 부분군 H를 가진 그룹 G가 주어진다고 가정하자. lete: H → Auto(N)는 h가 주어지는 동형상(문자 ((h = φ_h)이다.

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}$

모든 n ∈ N, h ∈ H에 대하여.

그러면 G는 반간접 제품 N ⋊_φ H에 이형이다.이형성 λ: G → N ⋊_φ H는 분해 a = nh의 고유성으로 인해 λ(a) = λ(nh) = (n, h)로 잘 정의된다.null

G에서는

${\displaystyle (n_{1}h_{1}{2})=n_{1}h_{1}{1}h_{1}{1}n_{1}{1}^{1}h_{1}h(h_{1}h_{1})_{2}=(n_{1}}\varphi _{1}{1}{2})}(h_{1}h_{1}h_{1}_{{2}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{$

따라서 a = nh₁₁ 및 b = nh에₂₂ 대해 우리는 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (ab)&=\lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2})=\lambda (n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2})h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})\\[5pt]&=\lambda (n_{1}h_{1})\bullet \lambda (n_{2}h_{2})=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{aligned}}}$

그것은 λ이 동형상이라는 것을 증명한다.λ은 분명히 인식주의, 단형주의이기 때문에, 그렇다면 실로 이형주의다.이것은 또한 N ⋊_φ H의 곱셈 규칙의 정의를 설명한다.

직접상품은 반간접상품의 특수한 경우다.이를 보기 위해 φ은 사소한 동형상(즉, H의 모든 요소를 N의 신분 자동화로 보내는 것)이 되게 하고, N ⋊_φ H는 직접 제품 N × H이다.

그룹에 대한 분할 보조정리 버전에서는 그룹 G가 두 그룹 N과 H의 반직접 제품과 이형성이며, 정확한 순서가 짧은 경우에만 존재한다고 명시한다.

${\displaystyle 1\longrightarrow N\,{\overset {\beta}{\longrightarrow }\{\longrightarrow }},{\longrightarrow 1}$

그룹 동형성 γ: H → G α ∘ γ = id_H, H에 있는 ID 맵.이 경우 φ: H → Aut(N)은 φ(h) = φ에_h 의해 주어진다.

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=\filename ^{-1}(\h)\filename(n)\filename(h^{-1})}$

예

디헤드랄군

2n 원소를 가진 dihedral 그룹 D는_2n 주기 그룹 C와_n C의₂ 반 간접 생산물에 이형성이다.^[3]여기서 C의₂ 비식별성 요소는 원소를 뒤집어 C에_n 작용한다; 이것은_n C가 아벨리아인이기 때문에 자동형성이다.이 그룹에 대한 프레젠테이션은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{2}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{-1}=b^{-1}\angle .}$

순환군

보다 일반적으로 발전기 a와 C가_n 있고 발전기 b가 있는 두 개의 주기 그룹 C의_m 반간접 생산물은 하나의⁻¹ 추가 관계, aba = b^k, k 및 n coprime과 $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 1 ${\displaystyle (\mathrm{모드}}$ $){\$에 의해 제공된다$.$^[3] 즉, 다음과 같다.^[3]

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{1}=b^{k}\angle .}$

r과 m이 동일하다면 a는^r C와_m aba^r−r = b의^kr 발생기이므로 다음과 같이 표시한다.

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k^{r}}\angle }}}$

이전 그룹에게 이형성을 부여한다.null

그룹의 홀로모르프

반직접 상품으로 표현되는 집단의 표준적인 예로는 집단의 홀로모프(holomorph)가 있다.이것은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Hol}(G)=G\rtimes \operatorname {Aut}(G)}$

여기서 ${\displaystyle \text{자동}(G}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\text{$$Aut}(G)}$은 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 자동형성 그룹이며$$$$, 구조 지도 $\varphi {\displaystyle }${\$displaystyle \phi }$은(는) ${\displaystyle \text{Aut}}$(${\displaystyle G}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle${\$text{)$의 올바른 동작에서 비롯된다$$.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 $Aut}}(G$$)\}.$ 이것은 다중 요소 측면에서 그룹 구조를 제공한다.

$[\displaystyle (g,\displaystyle )(h,\phi (\phi)(\phi)(\cdot h),\propert \property.}$

클라인 병의 기본 그룹

클라인 병의 기본 그룹은 양식으로 제시될 수 있다.

${\displaystyle \langle a,\;b\mid aba^{-1}=b^{-1}\angle .}$

and is therefore a semidirect product of the group of integers, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, with ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. The corresponding homomorphism φ: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ → Aut(${\displaystyle \mathbb {Z} }$) is given by φ(h)(n) = (−1)^hn.null

상위 삼각 행렬

0이 아닌 결정과 그리고 대각선으로 0이 아닌 엔트리로는 삼각 matrices[해명 필요한]의 그룹 Tn(_{n}}_{은 반직접 제품을 분해 Tn≅ Un⋊ Dn{\displaystyle \mathbb{T}_{n}\cong \mathbb{U}_{n}\rtimes \mathbb{D}이 있n.}}[4]이 Un${\displaystyle \mathb {U} _{n}}$은(는) 대각선에 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1$s만 있는 행렬의 부분군이며$$, 이를 상부 단위사각형 행렬 그룹이라고 ${\displaystyle {}_{}}$, D n$${\$displaystyle \mathb {D} _{$n}}}은 대각 행렬의 부분군이다$$.
${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {D} _{n}$에 대한 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {U} _{n}$의 그룹 작업은 행렬 곱셈에 의해 유도된다$$.만약 우리가 정하면

A=[x10⋯ 00x2⋯ 0⋮⋮ ⋮ 00⋯)n]{\displaystyle A={\begin{bmatrix}x_{1}&, 0&, \cdots, 0\\0&, x_{2}&, \cdots &, 0\\\vdots &, \vdots &,&\vdots \\0&, 0&, \cdots &, x_{n}\end{bmatrix}}}와 B-경우 11213⋯ 1n0&. 123⋯ 2n⋮ ⋮ ⋮.${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

그들의 매트릭스 제품은

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&x_{2}&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$

이렇게 하면 유도 그룹 $작용{\displaystyle }$ m${\displaystyle }$: D ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$ m$:\mathb {D} _{n}\time\mathb {U} _{n$}\$to \mathb {U$} _{n}}}}}}}}}이$(가)$ 제공된다.

${\displaystyle m(A,B)={\begin{bmatrix}1&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&1&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

A matrix in ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$ can be represented by matrices in ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ and ${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$. Hence ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$.

비행기의 등각류 그룹

R2{\displaystyle \mathbb{R}^{2}의 모든 x와 y}이 비행기의 모든 엄격한 움직임(isometries)의 운동군(지도 f:R{\displaystyle \mathbb{R}}2→ R{\displaystyle \mathbb{R}}2가 x와 y사이의 유클리드 거리(f사이의 거리와 같))과 f(y))semidir에 동형이다.경제학t 아벨 그룹 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}($$번역을 설명함)과 직교 2 x 2 행렬의 그룹 O(2)의 제품(원점을 고정하는 회전과 반사를 설명함)번역을 적용한 다음 회전 또는 반성을 먼저 적용한 다음 회전 또는 반성을 한 다음 회전 또는 반사된 번역 벡터에 의한 번역(즉, 원번역의 결합 적용)과 같은 효과가 있다.This shows that the group of translations is a normal subgroup of the Euclidean group, that the Euclidean group is a semidirect product of the translation group and O(2), and that the corresponding homomorphism φ: O(2) → Aut(${\displaystyle \mathbb {R} }$²) is given by matrix multiplication: φ(h)(n) = hn.null

직교군 O(n)

모든 직교 실제 n × n 행렬의 직교 그룹 O(n)는 그룹 SO(n)의 반직교 제품과 이형이다(모든 직교 행렬의 집합과 원점을 고정하는 n-차원 공간의 반반사) (모든 직교 행렬의 조합, n-차원 공간의 회전) 및 C₂.If we represent C₂ as the multiplicative group of matrices {I, R}, where R is a reflection of n-dimensional space that keeps the origin fixed (i.e., an orthogonal matrix with determinant –1 representing an involution), then φ: C₂ → Aut(SO(n)) is given by φ(H)(N) = HNH⁻¹ for all H in C₂ and N in SO(n).비경쟁 사례(H는 정체성이 아님)에서 이것은 φ(H)가 반사(3차원 공간에서는 회전축과 회전 방향이 "거울 이미지"로 대체됨)에 의한 작동의 결합임을 의미한다.null

반선형 변환

The group of semilinear transformations on a vector space V over a field ${\displaystyle \mathbb {K} }$, often denoted ΓL(V), is isomorphic to a semidirect product of the linear group GL(V) (a normal subgroup of ΓL(V)), and the automorphism group of ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

결정체군

결정학에서 결정체의 공간 그룹은 점 그룹과 번역 그룹의 반간접적인 산물로 분할된다. 공간 그룹이 symmorphic인 경우에만.비형상적 우주군에는 우주군의 부분집합으로도 포함되지 않는 점군이 있는데, 이는 그들의 분석에서 복잡성의 상당 부분을 담당한다.^[5]null

비예시

물론 모든 단순 집단이 반직접 상품으로 표현될 수는 없지만, 비삼각형 정상 부분군도 들어 있는 몇 가지 공통적인 대뇌가 있다.모든 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $G$$}$이(가$)$ $A$에 $의해$ H ${\$$displaystyle$ $H}$의 분할 확장으로 표현될 수는$$ 없지만$,$ 이러한 그룹이 보편적 내장 정리에 의해$$ 화환 제품 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ {\$displaystyle A\wr$ H$}$에 삽입될 수 있는 것으로 판명되었다.null

Z₄

The cyclic group ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ is not a simple group since it has a subgroup of order 2, namely ${\displaystyle \{0,2\}\cong \mathbb {Z} _{2}}$ is a subgroup and their quotient is ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, so there's an extension

${\displaystyle 0\to \mathb {Z} _{2}\to \mathb {Z} \mathb {Z} _{2}\to 0}$

확장이 분할된 경우 $그룹$ G ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 0\to \mathb {Z} _{2}\to G\to \mathb {Z} _{2}\to 0}$

$Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\${Z} _${2$}번 \mathb {$Z} _{$2}}번 _에 대해 이형일 것이다$.$

Q₈

8개 쿼터의 그룹${\displaystyle }${${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$± ${\displaystyle i,}$± ${\displaystyle j,}$± ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\pm$1,\$pm i,\pm$ j$,\pm k\}$ $여기$서 i ${\displaystyle \mathrm{j}}$ =${\displaysty ijk$=-$1}$및 $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ =${\displaystyle {}^{}}$2 =${\displaystyle {}^{}{k\mathrm{}}^{}}$ =${\displaystyle 1}$ ${\displaystyley i^{2}=j$^}=j^2}j^{$n$^{}{}{}{}{}}}}{n2}$}}=k^{2}=-1}$는 비파생 부분군이 아직 분할되지 않은 그룹의^[6] 또 다른 예다.예를 들어 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$이(가) 생성하는 부분군은 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\$에 대해 이형성이며$$ 정상이다$$.또한 -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1$}이$($가) $생성$하는$$순서 2 {\$displaystyle$-1}의 하위 그룹을 가지고 $있다{\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle {이}_{}}$는$$Q 8 {\$displaystyle Q_${8$}$이(가) 다음에서 분할 확장이어야 함을$$ 의미한다$.$

${\displaystyle 0\to \mathb {Z} _{4}\to Q_{8}\to 0} \mathb {Z} _{2}\to 0}$

일어날 수 없는 일이지This can be shown by computing the first group cohomology group of ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ with coefficients in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$, so ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2}$ and noting the two groups 확장자는 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$이고, diheadral 그룹 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 그러나 이 두 그룹 모두 ${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 8 ${\$과 이형이기 때문에 쿼터니온 그룹은 분할되지 않는다$.$This non-existence of isomorphisms can be checked by noting the trivial extension is abelian while ${\displaystyle Q_{8}}$ is non-abelian, and noting the only normal subgroups are ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ and ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$, but ${\displaystyle Q_{8}}$ has th리 부분군은 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해 이형이다$.$

특성.

G가 정상 부분군 N과 부분군 H의 반간접적인 산물이고 N과 H가 모두 유한하다면 G의 순서는 N과 H의 순서의 산물과 같다.이는 G가 N과 H의 외부 반간접 제품과 동일한 순서라는 사실에 따른 것으로, 그 기본 세트는 데카르트 제품 N × H이다.

직접 제품과의 관계

G가 정상 부분군 N과 부분군 H의 반간접적인 산물이라고 가정한다. H가 G에서도 정상이라면, 또는 동등하게 커널 H와 함께 N에 있는 동일성인 동형성 G → N이 존재한다면 G는 N과 H의 직접 산물이다.

두 그룹 N과 H의 직접 생산물은 H의 모든 H에 대해 φ(h) = id에_N 관해서 N과 H의 반간접 생산물이라고 생각할 수 있다.

직접 제품에서는 N × H가 H × N과 이형성이므로 인자의 순서는 중요하지 않다는 점에 유의한다. 두 인자가 서로 다른 역할을 하기 때문에 반간접 제품의 경우는 그렇지 않다.null

더욱이 비삼위동형주의에 의한 (적절한) 반간접적 제품의 결과는 요인 그룹이 아벨리안이라 하더라도 결코 아벨리안 집단이 아니다.null

반간접 제품의 비독점성(및 추가 예시)

직접제품의 경우와 반대로, 일반적으로 두 그룹의 반간접제품은 고유하지 않다. G와 G′이 모두 정상부분군으로서 N의 이형성 사본과 하위부분으로서 H의 이형성 복제본을 포함하고 있는 두 그룹이고, 둘 다 N과 H의 반 간접생산물이라면, 그것은 반간접제품이기 때문에 G와 G′이 이형성이라는 것을 따르지 않는다.또한 N에 대한 H의 작용의 선택에 달려 있다.

예를 들어, 순서 16의 비 이형성 그룹은 C와₈ C의₂ 반간접적인 제품인 4개가 있다. 이 경우₈ C는 지수 2를 가지고 있기 때문에 반드시 정상 부분군이다.이러한 4개의 반간접 제품 중 하나가 직접 제품이고, 나머지 3개는 비아벨라 그룹이다.

• 서열 16의 분음부
• 퀘이디하이드랄 그룹 16
• 이와사와 군단 16.

만약 주어진 그룹이 반 간접 생산물이라면, 이 분해물이 독특하다는 보장은 없다.예를 들어, (D₈ ⋉ C₃) ≅ (C₂ ⋉ Q₁₂) ≅ (C₂ ⋉ D₁₂) ≅ (D₆ ⋉ V) ≅ (D ⋉ V) ways (주문 4의 6개 요소와 6개 요소 6개를 포함하는 유일한 것)의 순서 24의 그룹이 있다.^[7]null

존재

일반적으로 그룹 내 반간접제품의 존재에 대해 알려진 특성화(즉, 필요조건과 충분한 조건)는 존재하지 않는다.그러나, 어느 정도 충분한 조건이 알려져 있어, 어떤 경우에는 존재를 보증한다.유한집단의 경우 슈르-자센하우스의 정리는 정상 부분군의 순서가 지수집단의 순서와 일치할 때 반간접적 산출물의 존재를 보장한다.null

예를 들어, 슈르-자센하우스 정리는 순서 6의 그룹들 사이에 반직접 제품의 존재를 암시한다; 그러한 두 가지 제품이 있는데, 하나는 직접 생산물이고 다른 하나는 이음매 그룹이다.이와는 대조적으로, 슈르-자센하우스 정리는 예를 들어 순서 4의 그룹이나 순서 8의 그룹에 대해서는 아무 말도 하지 않는다.null

일반화

집단 이론 내에서, 반간접 제품의 구성은 훨씬 더 추진될 수 있다.그룹의 Zappa-Szep 제품은 내부 버전에서 어느 부분군도 정상이라고 가정하지 않는 일반화다.null

반지의 교차 산물인 링 이론에도 구도가 있다.이것은 그룹의 반간접적인 제품을 위해 그룹 링으로부터 자연적인 방법으로 구성된다.링-이론적 접근방식은 리알헤브라의 반간접적 합으로 더욱 일반화될 수 있다.null

기하학의 경우, 위상학적 공간에서 그룹 행동을 위한 교차된 결과물도 있다. 불행히도, 그룹이 아벨리아인이라 할지라도 일반적으로는 선언적이지 않다.이러한 맥락에서, 반간접적 제품은 그룹 활동의 궤도의 공간이다.후자의 접근방식은 전통적인 위상학적 기법, 즉 c.f. 비확정 기하학 접근방식의 대체물로 알랭 콘에 의해 옹호되었다.null

범주론에도 광범위한 일반론이 있다.이들은 지수화된 범주에서 섬유화된 범주를 구성하는 방법을 보여준다.이것은 외부 반간접 제품 구조의 추상적인 형태다.null

조로이드

또 다른 일반화는 조로이드를 위한 것이다.이것은 위상에서 일어나는 현상인데, 그룹 G가 공간 X에 작용하면 공간의 기본 그룹화 π₁(X)에도 작용하기 때문이다.반간접 제품 π₁(X) ⋊ G는 궤도 공간 X/G의 기본 그룹형 발견과 관련이 있다.자세한 내용은 아래 참고 도서 11장을 참조하고, ncatlab의 반간접 제품에^[8] 대한 세부사항도 참조하십시오.null

아벨 범주

비경쟁적 반간접적 제품은 모듈의 범주처럼 아벨의 범주에서 발생하지 않는다.이 경우 쪼개지는 보조정리기는 모든 반간접제품이 직접생산품임을 보여준다.따라서 반간접 제품의 존재는 아벨리안 범주의 실패를 반영한다.null

표기법

일반적으로 그룹 N에 작용하는 그룹 H의 반간접 제품(대부분의 경우 공통 그룹의 하위 그룹으로 결합하여)은 N ⋊ H 또는 H ⋉ N으로 표시된다. 그러나, 일부 출처에서는^[which?] 이 기호를 반대 의미로 사용할 수 있다.작용 φ: H → Aut(N)이 명시적으로 되어야 하는 경우, N _φh H도 쓴다. N symbol H 기호에 대한 한 가지 사고방식은 정상 서브그룹(◁)에 대한 기호( and)와 제품(×)의 기호( combination)의 조합이다.배리 사이먼은 그룹표현 이론에 관한 저서에서 반간접 제품에 대해 특이한$$ 표기법 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\phi }_{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$N$\mathbin$ {\$circledS _${\$varphi }H}$를 사용한다.^[9]null

유니코드는 네 가지 변형을 나열한다:^[10]

	가치	매트릭스ML	유니코드 설명
⋉	U+22C9	라임즈	왼쪽 정규 인자 세미간접 제품
⋊	U+22CA	몇 번이고	우측 정규 인자 세미간접 제품
⋋	U+22CB	3	좌측 세미간접 제품
⋌	U+22CC	r	오른쪽 세미간접 제품

여기서 rtime 기호에 대한 유니코드 설명은 수학 실전에서 통상적인 의미와 대조적으로 "우측 정규 인자"를 말한다.null

LaTeX에서 \rtime과 \ltime 명령은 해당하는 문자를 생성한다.AMS 기호 패키지가 로드되면 \좌측 시간이 \을 생성하고 \우측 시간이 ⋌을 생성한다.

참고 항목

• 아핀 리 대수
• 반간접 제품을 일반화하는 범주형 구조인 그로텐디크 시공
• 홀로모르프
• 리 대수 반간접 합계
• 서브 다이렉트 제품
• 화환제품
• 자파-세프 제품

메모들

참조

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "Semidirect 제품" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2009년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

• R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006.ISBN 1-4196-2722-8