타이트 바인딩

전자 구조 방법
발란스 본드 이론
콜슨-피셔 이론 일반화 발란스 본드 모던발란스 본드
분자 궤도 이론
하트리-포크 방식 반감기 양자화학법 뫼르-플레셋 섭동 이론 구성 상호 작용 커플링 클러스터 다중 구성 자체 일관성 필드 양자화학복합법 퀀텀 몬테 카를로
밀도함수이론
시간 의존적 밀도 기능 이론 토마스-페르미 모델 궤도무밀도기능이론 선형화된 증강 평면 파장법 프로젝터 증강파 방식
전자 밴드 구조
거의 자유 전자 모델 타이트 바인딩 머핀틴 근사치 k·p 섭동설 빈 격자 근사치 GW 근사치
v t

고체-상태 물리학에서, 긴밀 결합 모델(또는 TB 모델)은 각 원자 부지에 위치한 고립된 원자에 대해 파동함수의 중첩에 기초한 대략적인 세트의 파동함수를 이용한 전자 대역 구조의 계산에 대한 접근법이다.이 방법은 화학에서 사용되는 LCAO 방법(원자 궤도 방법의 선형 결합)과 밀접한 관련이 있다.촘촘한 바인딩 모델은 다양한 고형물에 적용된다.이 모델은 많은 경우에 좋은 질적 결과를 제공하며 긴축 모형이 실패할 경우 더 나은 결과를 제공하는 다른 모델과 결합할 수 있다.빡빡한 바인딩 모델은 1전자 모델이지만, 이 모델은 표면 상태 계산과 다양한 종류의 다체 문제 및 퀘이픽자 계산에 적용과 같은 보다 진보된 계산에 대한 근거도 제공한다.

소개

이 전자 대역 구조 모델의 "긴축 결합"이라는 이름은 이 양자 역학 모델이 고형물에서 단단하게 묶인 전자의 성질을 기술하고 있음을 시사한다.이 모델의 전자는 그들이 속한 원자에 단단히 결합되어야 하며 고체의 주변 원자에 있는 상태와 전위와의 상호작용이 제한적이어야 한다.그 결과 전자의 파동함수는 그것이 속해 있는 자유 원자의 원자 궤도와는 오히려 유사할 것이다.전자의 에너지 또한 주변 원자의 전위 및 상태와의 상호작용이 제한적이기 때문에 자유 원자나 이온에서 전자의 이온화 에너지와 다소 근접할 것이다.

비록 원입자 밀착 해밀턴의 수학적 공식은^[1] 언뜻 보기에는 복잡해 보일지 모르지만, 모델은 전혀 복잡하지 않고 직관적으로 꽤 쉽게 이해할 수 있다.이론에서 중요한 역할을 하는 매트릭스 원소는 세 종류밖에 없다.그 세 종류의 원소 중 두 종류는 0에 가까워야 하며 종종 무시될 수 있다.모델에서 가장 중요한 요소는 화학자에 의해 간단히 결합 에너지라고 불릴 수 있는 원자간 매트릭스 원소들이다.

일반적으로 이 모델에는 다수의 원자력 수준과 원자 궤도가 포함되어 있다.이것은 궤도들이 서로 다른 점 그룹 표현에 속하기 때문에 복잡한 밴드 구조로 이어질 수 있다.상호 격자와 브릴루인 구역은 고체의 결정과는 다른 우주 그룹에 속하는 경우가 많다.브릴루인 구역의 고대칭 점들은 다른 점군 표현에 속한다.요소나 단순 화합물의 격자와 같은 단순한 시스템을 연구할 때, 대칭성이 높은 지점에서 고유분석을 분석적으로 계산하는 것은 그리 어렵지 않은 경우가 많다.그래서 꽉 죄는 모델은 집단 이론에 대해 더 많은 것을 배우고 싶어하는 사람들에게 좋은 예를 제공할 수 있다.

빡빡한 바인딩 모델은 오랜 역사를 가지고 있으며, 여러 가지 면에서 적용되어 왔으며, 많은 다른 목적과 다른 결과를 가지고 있다.그 모델은 단독으로 서 있지 않는다.모델의 일부는 거의 자유로운 전자 모델과 같은 다른 종류의 계산과 모델에 의해 채워지거나 확장될 수 있다.모델 자체, 또는 그 일부가 다른 계산의 기초가 될 수 있다.^[2]예를 들어 전도성 고분자, 유기 반도체 및 분자 전자공학 연구에서는 원자의 역할이 결합체계의 분자 궤도로 대체되고 원자간 매트릭스 원소가 분자간 또는 분자간 호핑과 t로 대체되는 긴축 결합형 모델이 적용된다.매개 변수 해제이 도체들은 거의 모두 매우 비등방성적인 성질을 가지고 있으며 때로는 거의 완벽하게 일차원적이다.

역사적 배경

1928년까지 분자 궤도 사상은 로버트 멀리켄에 의해 진전되었는데, 로버트 멀리켄은 프리드리히 헌드의 작품에 상당한 영향을 받았다.분자 궤도에 근사치를 위한 LCAO 방법은 B에 의해 1928년에 도입되었다.N. 핑클스타인과 G. E. 호로위츠가 고형물에 대한 LCAO 방법은 펠릭스 블로치가 1928년 박사학위 논문의 일부로 LCAO-MO 접근법과 동시에 독립적으로 개발했다.전자 대역 구조, 특히 전이 금속의 d-밴드 근사치를 위한 훨씬 간단한 보간법은 1954년 존 클라크 슬레이터와 조지 프레드 코스터가 고안한 매개변수화된 밀착 방식이며,^[1] 때로는 SK 타이트 바인딩 방식이라고도 한다.SK 타이트 바인딩 방식으로 고체에 대한 전자 밴드 구조 계산은 원래 Bloch의 정리처럼 완전히 엄격하게 수행할 필요가 없고, 오히려 초대칭 지점에서만 계산이 이루어지고 이 지점들 사이의 브릴루인 구역의 나머지 부분에 대해 밴드 구조가 보간된다..

이 접근법에서, 다른 원자 사이트들 사이의 상호작용은 동요로 간주된다.우리가 고려해야 할 몇 가지 종류의 상호작용이 있다.결정 해밀턴은 서로 다른 부지에 위치한 대략적인 원자 해밀턴인의 합에 불과하며, 원자파 함수는 결정의 인접한 원자 부지와 겹치기 때문에 정확한 파동 함수의 정확한 표현은 아니다.다음 절에는 몇 가지 수학적인 표현들이 더 설명되어 있다.

강하게 상관된 물질에 대한 최근의 연구에서 3-d 전환 금속 전자와 같은 고도로 국부화된 전자들이 때로는 강하게 상관된 행동을 보이기 때문에 엄격한 결합 접근법은 기본 근사치가 된다.이 경우 전자-전자 상호작용의 역할은 다체 물리학 설명을 사용하여 고려해야 한다.

긴축 모델은 일반적으로 정적 체계의 전자 대역 구조와 대역 격차의 계산에 사용된다.그러나 무작위 위상 근사치(RPA) 모델과 같은 다른 방법과 함께 시스템의 동적 반응도 연구될 수 있다.

수학적 공식화

우리는 단일 고립 원자의 ${\displaystyle {\mathrm{해밀턴}}_{}}$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle$$\varphi$$_{$m}(\$mathbf$${$r}$$$)$의 고유 기능인 원자궤도 $mm$$($)을 소개한다$.$원자가 결정체에 놓이면 이 원자파 함수는 인접한 원자 부지와 겹치므로, 결정 해밀턴의 진정한 고유특성은 아니다.전자가 촘촘히 묶여 있을 때 겹치는 부분이 적으며, 이는 설명자 "긴축"의 근원이 된다.시스템의 진정한$$ 해밀턴 H {\$displaystyle{\displaystyle }$ H$}을($를) 얻기 위해 필요한 원자 잠재력$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ U {\$displaystyle \Delta U}$에 대한 수정은 다음과 같이 작게 가정한다.

${\displaystyle H(\mathbf {r} )=H_{\mathbf{r}}}(\mathbf {r} )+\sum _{\\mathbf {R_{n} \neq \mathbf {0}V(\mathbf {r} -\mathbf {R_{n})=H_{\mathrm {at}}(\mathbf {r} )+\Delta U(\mathbf {r} )\,}$

여기서 $V{\displaystyle (}$ ${\displaystyle r\mathbf{}}$- ${\displaystyle R{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {n\mathbf{}}_{}}$) ${\displaystyle$ V$(\mathbf {r}$ -$\mathbf {R_{n}})$는 결정 격자 내$$ 현장 $R{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \mathbf {R} _{n}$에 위치한 원자의 원자 전위를 나타낸다$$.시간 독립적인 단일 전자 슈뢰딩거 방정식에 대한$$ 솔루션 ${\displaystyle {solutionm}_{}}$ ${\$을 ${\displaystyle {\phi m}_{}}$( r${\displaystyle \mathbf{}}$- ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {n\mathbf{}}_{}}$) ${\displaysty \varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}}}}})$:

${\displaystyle \psi _{m}(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R_{n}} }b_{m}(\mathbf {R_{n}} )\ \varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}} )}$,

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은 m-th의 원자력 수준을 가리킨다.

변환 대칭 및 정규화

Bloch 정리는 결정의 파동 함수는 위상 인자에 의해서만 변환할 수 있다고 기술하고 있다.

${\displaybstyle \psi(\mathbf {r+R_{\ell})=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell}}}}}\psi(\mathbf {r} )\},}$

여기서 $k{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) 파형 함수의 파형 벡터다.결과적으로, 계수는 만족한다.

${\displaystyle \sum _{\mathbf {R_{n}} }b_{m}(\mathbf {R_{n}} )\ \varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}+R_{\ell }} )=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }\sum _{\mathbf {R_{n}} }b_{m}(\mathbf {R_{n}} )\ \varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}} )\ .}$

$R{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathbf{}}_{}}$= ${\displaystyle R{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {n\mathbf{}}_{}}$- ${\displaystyle R{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\$을(를) 대체하면 찾을 수 있다$.$

${\displaystyle b_{m}(\mathbf {R_{p}+R_{\ell }} )=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }b_{m}(\mathbf {R_{p}} )\ ,}$ (where in RHS we have replaced the dummy index ${\displaystyle \mathbf {R_{n}} }$ with ${\displaystyle \mathbf {R_{p}} }$$$)

또는

${\displaystyle b_{m}(\mathbf {R_{l})=e^{i\mathbf {k\cdot R_{l}}}}{b_{mathbf {0}\ .}$

파동 함수를 통일로 정상화:

${\displaystyle \int d^{3}r\ \cHB _{m}^{*}(\mathbf {r} )\cHB _{m}(\mathbf {r} )=1}$

${\displaystyle =\sum _{\mathbf {R_{n}} }b_{m}^{*}(\mathbf {R_{n}} )\sum _{\mathbf {R_{\ell }} }b_{m}(\mathbf {R_{\ell }} )\int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r-R_{n}} )\varphi _{m}(\mathbf {r-R_{\ell }} )}$

${\displaystyle =b_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R_{n}} }e^{-i\mathbf {k\cdot R_{n}} }\sum _{\mathbf {R_{\ell }} }e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r-R_{n}} )\varphi _{m}(\mathbf {r-R_{\ell }} )}$

${\displaystyle =Nb_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R_{p}} }e^{-i\mathbf {k\cdot R_{p}} }\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r-R_{p}} )\varphi _{m}(\mathbf {r} )\ }$

${\displaystyle =Nb_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R_{p}} }e^{i\mathbf {k\cdot R_{p}} }\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r-R_{p}} )\ ,}$

따라서 정규화는 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}{}_{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle b_{m}(0)}$을(를) 로$$ 설정하십시오.

${\displaystyle b_{m}^{*}(0)b_{m}(0)={\frac {1}{N}}\ \cdot \ {\frac {1}{1+\sum _{\mathbf {R_{p}\neq 0} }e^{i\mathbf {k\cdot R_{p}} }\alpha _{m}(\mathbf {R_{p}} )}}\ ,}$

여기서 α_m(R_p )는 원자 겹침 적분이며, 종종 무시되어 다음과 같은 결과를^[3] 초래한다.

${\displaystyle b_{m}(0)\cHB {1}{\frac {1}{\sqrt{N}\,}$

그리고

${\displaystyle \psi _{m}(\mathbf {r} )\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R_{n}} }e^{i\mathbf {k\cdot R_{n}} }\ \varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}} )\ .}$

촘촘한 제본 해밀턴

파동함수에 엄격한 바인딩 형태를 사용하고, m-th의 에너지 대역에 m-th의 원자 에너지 수준만 중요하다고 가정하면, Bloch 에너지 ${\displaystyle m_{}}$ m$${\$displaystyle \varepsilon _{m}$는 형식이다$$.

${\displaystyle \varepsilon _{m}=\int d^{3}r\\psi _{m}^{m}{*}(\mathbf {r})H(\mathbf {r} )\psi(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle =\mathbf {R_{n}}{}}b^{*}(\mathbf {R_{n})\int d^{3}r\\varphi ^{*}(\mathbf {r_{n}})H(\mathbf {r}}}}}\mathb {r}\}\}\}\}}}}\ci)\mathb}\c}\c}\c}\c}}\mathb)$

${\displaystyle =\sum _{\mathbf {R_{\ell }} }\ \sum _{\mathbf {R_{n}} }b^{*}(\mathbf {R_{n}} )\ \int d^{3}r\ \varphi ^{*}(\mathbf {r-R_{n}} )H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r-R_{\ell }} )\psi (\mathbf {r} )\ +\sum _{\mathbf {R_{n}} }b^{*}(\mathbf {R_{n}} )\ \int d^{3}r\ \varphi ^{*}(\mathbf {r-R_{n}} )\Delta U(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )\ .}$

${\displaystyle \approx E_{m}+b^{*}(0)\sum _{\mathbf {R_{n}} }e^{-i\mathbf {k\cdot R_{n}} }\ \int d^{3}r\ \varphi ^{*}(\mathbf {r-R_{n}} )\Delta U(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )\ .}$

여기서 원자 해밀턴인이 중심이 되는 곳 이외의 장소에서 관련된 용어는 무시된다.그 에너지는 그 다음이 된다.

${\displaystyle \varepsilon _{m}(\mathbf {k} )=E_{m}-N\ b(0) ^{2}\left(\beta _{m}+\sum _{\mathbf {R_{n}} \neq 0}\sum _{l}\gamma _{m,l}(\mathbf {R_{n}} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R_{n}} }\right)\ ,}$

${\displaystyle =E_{m}-\ {\frac {\beta _{m}+\sum _{\mathbf {R_{n}} \neq 0}\sum _{l}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R_{n}} }\gamma _{m,l}(\mathbf {R_{n}} )}{\ \ 1+\sum _{\mathbf {R_{n}\neq 0} }\sum _{l}e^{i\mathbf {k\cdot R_{n}} }\alpha _{m,l}(\mathbf {R_{n}} )}}\ ,}$

여기서 E는_m m-th 원자 수준의 에너지이며, ${\displaystyle {\mathrm{\alpha m}}_{}}$, l ${\$ ${\displaystyle {\beta m}_{}}$ ${\$${\displaystyle {\},}_{}}$ l$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 촘촘한 결합 행렬 요소들이다$$.

엄격한 바인딩 매트릭스 요소

원소

${\displaystyle \beta _{m}=-\int \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\Delta U(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} )\,d^{3}r\ }$,

주변 원자의 전위성에 의한 원자력의 이동이다.이 용어는 대부분의 경우에 비교적 작다.만약 그것이 크다면 그것은 이웃한 원자의 전위가 중심 원자의 에너지에 큰 영향을 미친다는 것을 의미한다.

다음 학기

${\displaystyle \gamma _{m,l}(\mathbf {R_{n})=-\int \varphi _{mathbf {r}{mathbf {r}}\Delta U(\mathbf {r_{r_{n})\,d^{3}r}r}\r}.$

인접 원자의 원자 궤도 m과 l 사이의 원자간 매트릭스 원소다.본드 에너지 또는 2개의 중심 적분이라고도 하며, 촘촘한 바인딩 모델에서 가장 중요한 요소다.

마지막 조건

${\displaystyle \alpha _{m,l}(\mathbf {R_{n}} )=\int \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\varphi _{l}(\mathbf {r-R_{n}} )\,d^{3}r\ }$,

인접 원자의 원자 궤도 m과 l 사이의 겹치는 통합을 나타낸다.

행렬 요소 평가

${\displaystyle {\beta }_{}}$ m ${\$ -매트릭스$$ 원소의 값이 중심 원자에 있는 인접 원자의 전위는 제한적이기 때문에 이온화 에너지와 비교하여 그리 크지 않다.${\displaystyle {\beta m}_{}}$ ${\$이 비교적 작지 않다면, 중심 원자에 있는 인접 원자의 잠재력도 작지 않다는 것을 의미한다.그 경우, 타이트한 바인딩 모델이 어떤 이유로 밴드 구조에 대한 설명에 그다지 좋은 모델이 아니라는 것을 나타낸다.예를 들어 원자간 거리는 너무 작거나 격자 안의 원자나 이온의 전하가 잘못되었을 수 있다.

원자간 매트릭스 요소 ${\displaystyle {elementsm}_{}}$ ,${\displaystyle l_{}}$ ${\$는 원자파 함수 및 전위를 자세히 알면 직접 계산할 수 있다$$.대부분의 경우 이것은 사실이 아니다.이러한 매트릭스 요소에 대한 파라미터를 얻는 방법에는 여러 가지가 있다.매개변수는 화학 결합 에너지 데이터에서 얻을 수 있다.브릴루인 구역의 일부 높은 대칭점에 있는 에너지와 고유물을 평가할 수 있으며 매트릭스 요소의 통합 값을 다른 소스의 밴드 구조 데이터와 일치시킬 수 있다.

원자간 겹침 행렬 요소 ${\displaystyle {\alpha m,}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$은(는) 다소 작거나 방치할 수 있어야 한다$$.만약 그것들이 크다면 그것은 다시 한번 엄격한 바인딩 모델이 어떤 목적을 위해 제한된 가치라는 것을 나타낸다.예를 들어 큰 겹침은 원자간 거리가 너무 짧다는 것을 나타낸다.금속과 전환 금속에서, 차근차근 매트릭스 요소와 겹침 적분을 도입함으로써 넓은 s-밴드 또는 sp-밴드를 기존 밴드 구조 계산에 더 잘 적합시킬 수 있지만, 그러한 적합치는 금속의 전자파 기능에 매우 유용한 모델을 제공하지 않는다.밀도가 높은 소재의 넓은 띠는 거의 자유로운 전자 모델에 의해 더 잘 설명된다.

빡빡한 바인딩 모델은 특히 d-밴드, f-밴드처럼 밴드 폭이 작고 전자가 강하게 국부화된 경우에 잘 작동한다.이 모델은 또한 다이아몬드나 실리콘과 같이 이웃의 수가 적은 오픈 크리스털 구조의 경우에도 좋은 결과를 준다.이 모델은 하이브리드 NFE-TB 모델에서 거의 자유로운 전자 모델과 쉽게 결합할 수 있다.^[2]

Wannier 기능에 연결

Bloch 기능은 주기적인 결정 격자로 전자 상태를 설명한다.Bloch 기능은 Fourier 시리즈로^[4] 표현될 수 있다.

${\displaystyle \psi _{m}\mathbf {(k,r)} ={\frac {1}{\sqrt{N}}\sum _{n}{n}{a_{m}\mathbf {(R_{n}r)}} }e^{}\mathbf {ik\cdot R_{{{{n},},}}}},},},},}$

여기서 R은_n 주기적인 결정 격자에서 원자 부지를 나타내고, k는 블로흐 함수의 파동 벡터, r은 전자 위치, m은 대역 지수, 합은 모든 N 원자 부지에 걸쳐 있다.Bloch의 기능은 에너지_m E(k)에 해당하는 주기적 결정 전위 안에서 전자의 파동 기능에 대한 정확한 아이겐솔루션으로, 수정 부피 전체에 퍼진다.

푸리에 변환 분석을 사용하면 m-th 에너지 대역에 대한 공간적으로 국부화된 파동 함수를 여러 Bloch의 함수로 구성할 수 있다.

${\displaystyle a_{m}\mathbf {(R_{n},r)} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }{e^{\mathbf {-ik\cdot R_{n}} }\psi _{m}\mathbf {(k,r)} }={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }{e^{\mathbf {ik\cdot (r-R_{n})} }u_{m}\mathbf {(k,r)} }.}$

이러한 실제 공간파 함수 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}\mathbf{}{Rn\mathbf{}}_{}\mathbf{}}$, ${\displaystyle \mathbf{r}\mathbf{}}$) ${\$은 Wannier 함수라고 하며, 원자 사이트 R에_n 상당히 밀접하게 국부화된다.물론 우리가 정확한 워니어 함수를 가지고 있다면 역 푸리에 변환을 사용하여 정확한 블로흐 함수를 도출할 수 있다.

그러나 Bloch 함수나 Wannier 함수 중 하나를 직접 계산하기는 쉽지 않다.고형물의 전자 구조 계산에는 대략적인 접근이 필요하다.만약 우리가 고립된 원자의 극단적인 경우를 고려한다면, Wannier 함수는 고립된 원궤도가 될 것이다.이 한계는 Wannier 함수의 대략적인 형태로서 원자파 함수의 선택, 소위 엄격한 결합 근사치를 시사한다.

2차 정량화

t-J 모델이나 허바드 모델과 같은 전자구조에 대한 현대적인 설명은 촘촘한 바인딩 모델에 바탕을 두고 있다.^[5]빡빡한 제본은 제2차 계량화 형식주의 아래에서 작업하면 이해할 수 있다.

원자 궤도(원자 궤도)를 기본 상태로 사용하여, 촘촘한 바인딩 프레임워크의 두 번째 정량화 해밀턴 연산자는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle H=-t\sum _{\langle i,j\rangle ,\sigma }(c_{i,\sigma }^{\dagger }c_{j,\sigma }^{}+h.c.)}$,

${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}^{}{}_{}}$ , ${\displaystyle c_{}}$ j $\$ {\$displaystyle$c_${i\mama$}^{\c$},c_{j\sigma }$ $$- 생성 및 소멸 연산자

${\displaystyle {\displaystyle \sigma }}$ ${\$ $$- 스핀 양극화

${\displaystyle {\displaystyle t}}$ $[\$ $$- 호핑 일체형

${\displaystyle {\displaystyle ⟨}}$ ${\displaystyle {\displaystyle i}}$, ${\displaystyle {\displaystyle j}}$ ${\displaystyle {\displaystyle ⟩}}$ ${\$ $$- 가장 가까운 인접 인덱스

${\displaystyle {\displaystyle h.}}$ ${\displaystyle {\displaystyle c.}}$ ${\$h$.c}$ $$- 다른 용어의 은둔자 결합

여기서 호핑 $일체형{\displaystyle {\displaystyle }}$ t ${\$은 엄격한 바인딩 모델에서$$ 전송 일체형$integral{\displaystyle {\displaystyle }}$ {\$displaystyle \gamma }$에 해당한다$$.$t{\displaystyle }$→ $[\displaystyle t\rightarrow 0}$의 극단적인 경우를 고려할 때$,$ 전자가 이웃 부지에 뛰어드는 것은 불가능하다.이 경우는 고립된 원자력 시스템이다.호핑 용어(> ${\$가 켜져 있는 경우 전자는 운동 에너지를 낮추는 두 부위에서 모두 머무를 수 있다.

강한 상관관계가 있는 전자계에서는 전자와 전자의 상호작용을 고려할 필요가 있다.이 용어는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \displaystyle H_{ee}={\frac {1}{2}}\sum _{n,m,\sigma }\langle n_{1}m_{1},n_{2}m_{2} {\frac {e^{2}}{ r_{1}-r_{2} }} n_{3}m_{3},n_{4}m_{4}\rangle c_{n_{1}m_{1}\sigma _{1}}^{\dagger }c_{n_{2}m_{2}\sigma _{2}}^{\dagger }c_{n_{4}m_{4}\sigma _{2}}c_{n_{3}m_{3}\sigma _{1}}}$

이 상호작용 해밀턴은 직접적인 쿨롱 상호작용에너지와 전자 사이의 교환 상호작용에너지를 포함한다.이 전자-전자 상호작용 에너지로부터 유도된 몇 가지 새로운 물리학이 있는데, 여기에는 금속-절연체 전환(MIT), 고온 초전도성, 몇 가지 양자상 전환 등이 있다.

예제: 1차원 s-밴드

여기에서 촘촘한 결합 모델은 원자 사이트 사이의 간격 a와 σ 결합과 함께 직선 상에 단일 s-오르비탈을 가진 일련의 원자에 대한 s-밴드 모델로 설명된다.

해밀턴의 대략적인 고유성을 찾기 위해, 우리는 원자 궤도들의 선형 결합을 사용할 수 있다.

${\displaystyle k\rangele ={\frac {1}{\sqrt{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{inka}n\rangele }}$

where N = total number of sites and ${\displaystyle k}$ is a real parameter with ${\displaystyle -{\frac {\pi }{a}}\leqq k\leqq {\frac {\pi }{a}}}$. (This wave function is normalized to unity by the leading factor 1/√N provided overlap of atomic wave functions is ignored.)가장 가까운 이웃만 겹친다고 가정하면 해밀턴의 0이 아닌 유일한 행렬 요소는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \langle n H n\n\angle =E_{0}=E_{i}-U\ .}$

${\displaystyle \langle n\pm 1H n\rangele =-\\Delta \ }$

${\displaystyle \langle n\angle =1\ ;}$ $\displaystyle \langle n\pm 1n\rangele =S\ .}$

에너지 E는_i 선택된 원자 궤도상에 해당하는 이온화 에너지이며 U는 주변 원자의 잠재력에 따른 궤도 에너지 이동이다.The ${\displaystyle \langle n\pm 1 H n\rangle =-\Delta }$ elements, which are the Slater and Koster interatomic matrix elements, are the bond energies ${\displaystyle E_{i,j}}$. In this one dimensional s-band model we only have ${\displaystyle \sigma }$-bonds between the s-orbitals with bond 에너지 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$, ${\displaystyle s_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\$ $\}\}\}.$인접 원자의 상태 간 중첩은 S이다.위 방정식을 사용하여 상태$$ $⟩{\displaystyle k\rangele}$의 에너지를 도출할 수 있다.

${\displaystyle H k\rangele ={\frac {1}{\\sqrt{N}}\sum _{n}e^{inka}H n\rangele }}$

${\displaystyle \langle k k k\rangle ={\frac {1}{N}\sum _{n,\m}e^{n(n-m)ka}\langle m H n\rangle }}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n H n\rangle +{\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1 H n\rangle e^{+ika}+{\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n+1 H n\rangle e^{-ika}}$ ${\displaystyle =E_{0}-2\Delta \,\cos(ka)\,}$

예를 들어,

${\displaystyle {\frac {1}{{N}\sum _{n}\langle n H\n\angle =E_{0}{\frac {1}{{N}\sum _{n1}=E_{0}\}}$

그리고

${\displaystyle {\frac {1}{{N}\sum _{n}\langle n-1 H n\angle e^{+ika}=-\Delta e^{n1}{{N}}{\fraca e^}\{n1}=-\delta e^{ika}\.}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}\sum _{n}\langle n-1 n\angle e^{+ika}=세^{ika}{\frac {1}{{N}\sum _{n1}=세^{ika}\ .}$

따라서 이 상태 $⟩{\displaystyle k\rangele}$의 에너지는 에너지 분산의 익숙한 형태로 나타낼 수 있다$$.

${\displaystyle E}$( ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle E\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{{}_{}}}$- ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{}}$ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{k}{}}$) 1${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{S}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{k}{}}$) ${\$

• $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k=0}$의 경우 에너지는 E${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$- 2 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$)${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ S${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ E$=(E_{0}-2\Delta )/(1+2S)$이며 상태는$$ 모든 원자 궤도의 합으로 구성된다.이 상태는 결합 궤도 사슬로 볼 수 있다.
• $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\pi }^{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a)}$ ${\displaystyle$ k$=\$$pi$ $/(2a)}$의 경우 에너지는 E${\displaystyle }$= ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $E=E_$${0}}}$이며 상태는$$ 위상 밖으로$$ 인자인 ${\displaystyle {원자\mathrm{}}^{}}$ 궤도의 합으로 구성된다$.$이 상태는 비결합 궤도 사슬로 볼 수 있다.
• 마지막으로 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle$ k$=\pi /a}$ 에너지는$$ E${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{E}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$)${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle E=(E_{0}+2\Delta )/(1-2S)}$이며 상태는$$ 원자 궤도의 교대 합으로 구성된다.이 상태는 결합 방지 궤도 사슬로 볼 수 있다.

이 예는 예를 들어 간단히 n a 대신 가장 가까운 이웃 벡터 위치를 도입하여 체 중심 입방체 또는 얼굴 중심 입방체 격자로 쉽게 확장된다.^[6]마찬가지로, 이 방법은 각 사이트에서 여러 개의 서로 다른 원자 궤도를 사용하여 여러 대역으로 확장될 수 있다.위의 일반적인 공식은 이러한 확장을 수행할 수 있는 방법을 보여준다.

원자간 행렬 요소 표

1954년 J.C.슬레이터와 G.F.코스터는 주로 원자간 매트릭스 요소의^[1] 표인 전환 금속 d-밴드 계산을 위해 출판되었다.

${\displaystyle E_{i,j}({\vec {\mathbf {r}}}}}{n,n')=\langlen,i H',j\angle }$

입방체 조화 궤도에서 직접 추출할 수도 있다.표는 매트릭스 원소를 인접한 원자의 두 입방체 조화 궤도인 i와 j 사이의 LCAO 2-centre 결합의 함수로 표현한다.The bond integrals are for example the ${\displaystyle V_{ss\sigma }}$, ${\displaystyle V_{pp\pi }}$ and ${\displaystyle V_{dd\delta }}$ for sigma, pi and delta bonds (Notice that these integrals should also depend on the distance between the atoms, i.e. are a function of ${\$$표시$ 유형(l,$m,n)}$은$($는) 매번 명시적으로 명시되지 않음에도 불구하고$.$

원자간 벡터는 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle {\vec {\mathbf {r}}}}}}{n,'}=(r_{x},r_{y},r_{z})=d(l,m,n)}$

여기서 d는 원자와 l 사이의 거리, m과 n은 인접 원자에 대한 방향 코사인이다.

${\displaystyle E_{s,s}=V_{ss\sigma }}}$

${\displaystyle E_{s,x}=lV_{sp\sigma }}}$

${\displaystyle E_{x,x}=l^{2}V_{pp\sigma }+(1-l^{2})V_{pp\pi }}$

${\displaystyle E_{x,y}=lmV_{pp\sigma }-lmV_{pp\pi }}}$

${\displaystyle E_{x,z}=lnV_{pp\sigma }-lnV_{pp\pi }}}$

${\displaystyle E_{s,xy}={\sqrt{3}lmV_{sd\sigma }}}}$

${\displaystyle E_{s,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt{3}{2}}(l^{2}-m^{2})V_{{sd\sigma }}$

${\displaystyle E_{s,3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{{sd\sigma }}$

${\displaystyle E_{x,xy}={\sqrt{3}l^{2}mV_{pd\sigma }+m(1-2l^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,yz}={\sqrt{3}lmnV_{pd\sigma }-2lmnV_{pd\pi }}}}}$

${\displaystyle E_{x,zx}={\sqrt{3}l^{2}nV_{pd\sigma }+n(1-2l^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt{3}{2}}l(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }+l(1-l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{y,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt{3}{2}}m(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-m(1+l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{z,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt{3}{2}}n(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-n(l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,3z^{2}-r^{2}}=l[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt{3}ln^{2}}}V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{y,3z^{2}-r^{2}}=m[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt{3}mn^{2}}}V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{z,3z^{2}-r^{2}}=n[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }+{\sqrt{3}n(l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{xy}=3l^{2}m^{2}V_{ddd\sigma }+(l^{2}+m^{2}-4l^{2}m^{2})V_{dd\pi }+(n^{2}+l^{2}m^{2})V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{xy,yz}=3lm^{2}nV_{dd\sigma }+ln(1-4m^{2})V_{dd\pi }+ln(m^{2}-1)V_{dd\delta }}}}$

${\displaystyle E_{xy,zx}=3l^{2}mnV_{dd\sigma }+mn(1-4l^{2})V_{dd\pi }+mn(l^{2}-1)V_{dd\delta }}}}$

${\displaystyle E_{xy,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}lm(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+2lm(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi }+[lm^{2}-m^{2}]/2]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{yz,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}mn(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }-mn[1+2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }+mn[1+(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{zx,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}nl(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+nl[1-2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }-nl[1-(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{xy,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt{3}\왼쪽[lm(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)]V_{dd\sigma }-2lmn^{2}V_{dd\pi }+[lm(1+n^{2})/2]V_{dd\delta }\오른쪽]}$

${\displaystyle E_{yz,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt{3}\왼쪽[mn^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+mn(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[mn(l^{2}+m^{2}]/2]V_{dd\delta }\오른쪽]}$

${\displaystyle E_{zx,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt{3}\왼쪽[ln^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+ln(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[ln(l^{2}+m^{2}]/2]V_{dd\delta }\오른쪽]}$

${\displaystyle E_{x^{2}-y^{2},x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{4}}(l^{2}-m^{2})^{2}V_{dd\sigma }+[l^{2}+m^{2}-(l^{2}-m^{2})^{2}]V_{dd\pi }+[n^{2}+(l^{2}-m^{2})^{2}/4]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{x^{2}-y^{2},3z^{2}-r^{2}}={\sqrt{3}\{3}\[(l^{2}-m^{2}})]{n^{2}-(l^{2}+m^{2}/2}]V_{dd\sigma }/2+n^{2}(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi }+[(1+n^{2})(l^{2}-m^{2}/4]V_{dd\delta }\오른쪽]}$

${\displaystyle E_{3z^{2}-r^{2},3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2}/2]^{2}V_{ddd\sigma }+3n^{2}(l^{2}+m^{2})V_{dd\pi }+{\frac {3}{4}}(l^{2}+m^{2})^{2}V_{dd\delta }}}}}}$

모든 원자간 매트릭스 요소가 명시적으로 열거된 것은 아니다.이 표에 나열되지 않은 행렬 요소는 표에 있는 다른 행렬 요소의 지수와 코사인 방향을 순열하여 구성할 수 있다.Note that swapping orbital indices amounts to taking ${\displaystyle (l,m,n)\rightarrow (-l,-m,-n)}$, i.e. ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(l,m,n)=E_{\beta ,\alpha }(-l,-m,-n)}$. For example, ${\displays$$tyle E_{x,s}=-lV_{sp\sigma$ $\}\}\}\}.$

참고 항목

참조

위키미디어 커먼즈에는 전자의 분산 관계와 관련된 미디어가 있다.

• N. W. 애쉬크로프트와 N. D.Mermin, Solid State Physics(Thomson Learning, 1976년 토론토).
• Stephen Blundell Magnetic in Acolidated Matter (Oxford, 2001)
• S. 마에카와 외전환 금속 산화물의 물리학(Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004).
• 존 싱글톤 밴드 이론과 고형물의 전자적 특성 (Oxford, 2001)

추가 읽기

• Walter Ashley Harrison (1989). Electronic Structure and the Properties of Solids. Dover Publications. ISBN 0-486-66021-4.
• N. W. Ashcroft and N. D. Mermin (1976). Solid State Physics. Toronto: Thomson Learning.
• Davies, John H. (1998). The physics of low-dimensional semiconductors: An introduction. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48491-X.
• Goringe, C M; Bowler, D R; Hernández, E (1997). "Tight-binding modelling of materials". Reports on Progress in Physics. 60 (12): 1447–1512. Bibcode:1997RPPh...60.1447G. doi:10.1088/0034-4885/60/12/001.
• Slater, J. C.; Koster, G. F. (1954). "Simplified LCAO Method for the Periodic Potential Problem". Physical Review. 94 (6): 1498–1524. Bibcode:1954PhRv...94.1498S. doi:10.1103/PhysRev.94.1498.

외부 링크

• E. 파바리니, E. 코흐, F.의 크리스탈-필드 이론, 빡빡한 바인딩 방법, 얀-텔러 효과.앤더스와 M. 자렐(에드): 상관 전자:모델에서 재료로 쥴리히 2012, ISBN 978-3-89336-796-2
• Tight-Binding Studio: Tight-Binding Hamiltonian의 매개변수를 찾는 기술 소프트웨어 패키지