휠러-디윗 방정식

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양자장이론
파인만도
역사
배경 현장이론 전자기학 약력 강한 힘 양자역학 특수 상대성 이론 일반 상대성 이론 게이지 이론 양밀스 이론
대칭 양자역학에서의 대칭성 C대칭 P대칭 T대칭 로런츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 깨짐 자발적 대칭파괴 기타부담금 없음 위상전하
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이론물리학과 응용수학의 휠러-디윗 방정식은^[1] 존 아치볼드 휠러와 브라이스 디윗이 만든 필드 방정식입니다. 이 방정식은 양자역학과 일반 상대성 이론의 개념을 수학적으로 결합하려고 시도하는데, 이는 양자 중력 이론을 향한 단계입니다.

이 접근법에서 시간은 비상대론적 양자역학에서 하는 것과는 다른 역할을 수행하여 이른바 '시간의 문제'로 이어집니다.^[2] 좀 더 구체적으로, 이 방정식은 계량 변수를 사용하여 해밀턴 제약의 양자 버전을 설명합니다. 미분동형 제약과의 교환 관계는 (쉘 위의 미분동형 그룹인) 버그만-코마르 "군"을 생성합니다.

동기와 배경

표준 중력에서 시공간은 서브매니폴드와 같은 공간으로 엽산됩니다. 3 메트릭(즉, 초표면의 메트릭)은$$γij ${\displaystyle \gamma$_{ij}이며 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle g_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\,\mathrm {d} x^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})\,\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{k}\,\mathrm {d} x^{k}\,\mathrm {d} t+\gamma _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x^{j}.}$

이 방정식에서 라틴 지수는 값 1, 2, 3 위에 있고 그리스 지수는 값 1, 2, 3, 4 위에 있습니다. 3미터$$γ ij ${\displaystyle \gamma$_{ij}}는 필드이며, 우리는 그 공액 ${\displaystyle {모멘트}^{}}$를$$π ij ${\displaystyle$ $\backslash$pi^{ij}}로 표시합니다. 해밀토니안은 (대부분의 상대론적 계의 특징인) 제약 조건입니다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2\sqrt {\gamma }}}G_{ijkl}\pi^{ij}\pi^{kl}-{\sqrt {\gamma }\,{}^{(3)}\!R=0}$

여기서 γ = $($γ$$ij) {\$displaystyle$ \gamma =\det(\gamma _{ij})} 및 Gij k l =(γ ik γ j l + γ il γ j k - γ ij γ k l) {\displaystyle G_{ijkl}=(\gamma _{ik})\ gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{ij}\gamma _{kl}}는 휠러-디윗 메트릭입니다. 인덱스가 없는 표기법에서, 3차원 양의 정2차 형식 g의 공간 위의 휠러-디윗 메트릭은

${\displaystyle \operatorname {tr}((g^{-1}dg)^{2})-(\operatorname {tr}(g^{-1}dg))^{2}.}$

양자화는 운동량과 장 변수에 "모자"를 씌운다. 즉, 고전적인 경우의 수들의 함수는 양자적인 경우의 상태 함수를 수정하는 연산자가 됩니다. 따라서 연산자를 구합니다.

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {H}}={\frac {1}{2\sqrt {\gamma }}}{\widehat {G}_{ijkl}{\widehat {\pi}}^{ij}{\widehat {\pi}}^{kl}-{\sqrt {\gamma }\,{}^{(3)}\!{\widehat {R}}.$

"위치 공간"에서 작업하는 이 연산자들은

${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{ij}(t,x^{k})\를 \gamma _{ij}(t,x^{k)}에 표시합니다.$

${\displaystyle {\hat {\pi}}^{ij}(t,x^{k})\to -i{\frac {\delta }{\delta \gamma _{ij}(t,x^{k}}}}$

연산자를 메트릭 $H$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ψ $[$γ] = 0 {\$displaystyle${\widehat {\mathcal {H}}\Psi [\gamma]=0}의 일반 파동 함수에 적용할 수 있습니다. 여기서 연산자는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Psi [\gamma]=a+\int \psi(x)\gamma(x)\dx^{3}+\int \psi(x,y)\gamma(x)\gamma(y) dx^{3}dy^{3}+...}$

계수${\displaystyle }$ψ${\displaystyle (}$x${\displaystyle ,}$y${\displaystyle ,}$ $...)$ ${\displaystyle \psi($x,$$y, ...)} 사이에 제약 조건을 제공합니다. 이는 특정 위치에서 N ${\displaystyle$ N} 중력자의$진폭$이 다른 위치에서 다른 중력자의 진폭과 관련이 있음을 의미합니다. 또는$$ω${\displaystyle }$(g$) {\$displaystyle $\omega$(g)}를 독립적인$$필드로 취급하여 파동 함수가 ψ [γ, ω$]$ ${\$displaystyle \Psi [\gamma,\omega]}이 되도록 2-필드 형식주의를 사용할 수 있습니다.

수학적 형식주의

휠러-디윗 방정식은^[1] 함수 미분 방정식입니다. 일반적인 경우에는 잘 정의되지 않지만 이론 물리학, 특히 양자 중력에서 매우 중요합니다. 3차원 공간 메트릭의 공간에 대한 함수 미분 방정식입니다. 휠러-디윗 방정식은 파동함수에 작용하는 연산자의 형태를 갖는데, 이 함수는 우주론의 함수로 축소됩니다. 일반적인 경우와는 달리 휠러-디윗 방정식은 우주론의 구성 공간과 같은 미니 초공간에서 잘 정의됩니다. 이러한 파동함수의 예로는 하틀-호킹(Hartle-Hawking) 상태가 있습니다. 1967년 브라이스 드윗이 아인슈타인-슈뢰딩거 방정식이라는 이름으로 이 방정식을 처음 발표했고, 이후 휠러-드윗 방정식으로 이름이 바뀌었습니다.^[3]

해밀토니안 제약

간단히 말해서 휠러-디윗 방정식은

여기서 $H{\displaystyle \stackrel{}{^}}$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$는 양자화된 일반 상대성 이론의 해밀턴 제약이며$$ψ ⟩ {\$displaystyle$\psi \rangle }은 우주의 파동 함수를 나타냅니다. 해밀토니안은 일반적인 양자장 이론이나 양자역학과 달리 물리적 상태에 대한 1급 제약입니다. 또한 공간의 각 지점에 대해 독립적인 제약이 있습니다.

기호 $H{\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}$ 및$$ψ ⟩ {\$displaystyle$\psi \rangle}이 친숙하게 보일 수 있지만 휠러-디윗 방정식에서의 해석은 비상대론적 양자역학과 상당히 다릅니다. $ψ$ ⟩ ${\displa$ $\$rangle }은 더 이상 3차원 공간과 같은 표면에 정의되고 통일성으로 정규화되는 복소값 함수라는 전통적인 의미의 공간파 함수가 아닙니다. 대신 모든 시공간에서 필드 구성의 기능입니다. 이 파동함수는 우주의 기하학과 물질 내용에 대한 모든 정보를 포함하고 있습니다. ${\displaystyle \hat{H}}$ ${\$는 여전히 파동함수의 힐베르트 공간에 작용하는 연산자이지만$$, 비상대론적인 경우와 같은 힐베르트 공간은 아니며, 해밀토니안은 더 이상 시스템의 진화를 결정하지 않습니다. 따라서 슈뢰딩거 방정식 $H$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ψ ⟩ =${\displaystyle \mathrm{}}$i${\displaystyle }$ℏ ∂$$/ ∂ t ψ ⟩ ${\displaystyle$ {\hat {H}} \psi \rangle = i\hbar \partial /\partial t \rangle }은 더 이상 적용되지 않습니다. 이 속성은 시간을 초월하는 것으로 알려져 있습니다. "페이지와 우터스 메커니즘"을 시작으로 다른 후속 제안들까지 완전한 양자 프레임워크에 시간을 통합하려는 다양한 시도들이 있었습니다.^[4][5] 시간의 재등장은 또한 진화하는 시스템과 참조 양자 시계 시스템 사이의 양자 상관 관계에서 발생하는 것으로 제안되었으며, 시스템-시간 얽힘의 개념은 시스템이 겪는 실제 구별 가능한 진화의 정량화로 소개됩니다.^[6][7]

운동량 제약

우리는 또한 운동량 제약으로 해밀턴 제약을 증가시켜야 합니다.

${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}(x)\left \psi \right\rangle =0}$

공간적 미분동형 불변성과 관련이 있습니다.

최소 초공간 근사에서 우리는 무한히 많은 제약 대신 해밀턴 제약을 하나만 가지고 있습니다.

사실, 일반 상대성 이론에서 일반 공분산의 원리는 전역 진화 자체가 존재하지 않는다는 것을 의미합니다. 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$는 우리가 좌표 축 중 하나에 할당한 레이블일$$ 뿐입니다. 따라서, 우리가 어떤 물리계의 시간 진화라고 생각하는 것은 단지 게이지 변환일 뿐입니다. U(1) 로컬 게이지 변환 ψ $$→${\displaystyle {ei}^{}}$ θ$($r${\displaystyle }$→ ) ψ {\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta({\vec {r}}}\psi }에 의해 유도된 QED와 유사하며, 여기서 θ(r → ) {\displaystyle \theta({\vec {r}})}는 로컬 시간의 역할을 합니다. 해밀턴의 역할은 단순히 우주의 "운동적" 상태의 공간을 게이지 궤도를 따르는 "물리적" 상태의 공간으로 제한하는 것입니다. 이러한 이유로 우리는 그것을 "해밀턴 제약"이라고 부릅니다. 양자화되면 물리적 상태는 해밀턴 연산자의 커널에 있는 파동 함수가 됩니다.

일반적으로 해밀턴은^{[clarification needed]} 일반적인 공분산 또는 시간 축척 불변성을 갖는 이론을 위해 사라집니다.

참고 항목

참고문헌

• Herbert W. Hamber and Ruth M. Williams (2011). "Discrete Wheeler-DeWitt Equation". Physical Review D. 84 (10): 104033. arXiv:1109.2530. Bibcode:2011PhRvD..84j4033H. doi:10.1103/PhysRevD.84.104033. S2CID 4812404.
• Herbert W. Hamber, Reiko Toriumi and Ruth M. Williams (2012). "Wheeler-DeWitt Equation in 2+1 Dimensions". Physical Review D. 86 (8): 084010. arXiv:1207.3759. Bibcode:2012PhRvD..86h4010H. doi:10.1103/PhysRevD.86.084010. S2CID 119229306.