비튼 추측

대수 기하학에서 위튼 추정은 에드워드 위튼이 논문 위튼(1991)에서 소개하고 위튼(1993)에서 일반화된 곡선의 모듈리 공간에 있는 안정계급의 교차점수에 대한 추측이다.비튼의 원래 추측은 논문 콘체비치(1992년)에서 막심 콘체비치에 의해 증명되었다.

위튼이 이 추측을 하게 된 동기는 2차원 양자 중력의 서로 다른 두 모델이 동일한 칸막이 기능을 가져야 한다는 것이었다.이들 모델 중 하나에 대한 파티션 함수는 대수 곡선의 모듈리 스택에 있는 교차점 번호로 설명할 수 있으며, 다른 모델에 대한 파티션 함수는 KdV 계층 구조 τ 함수의 로그다.이러한 칸막이 함수를 식별하면 비튼은 교차로 번호에서 형성된 특정 생성 함수가 KdV 계층 구조의 미분 방정식을 만족해야 한다는 추측을 할 수 있다.

성명서

M이_g,n n개의 뚜렷한 표시점 x₁,...,x_n, M이_g,n Deligne-Mumford의 압축을 가진 속 g의 컴팩트 리만 표면의 모듈리 스택이라고 가정하자.M에는_g,n n개의 선다발 L이_i 있으며, 모듈리 스택의 한 지점에 있는 섬유는 표시된 지점 x에서_i 리만 표면의 등사공간에 의해 주어진다.교차로 지수 〈τ_d1, ..., τ_dn〉은 M에_g,n 대한 c₁ c(L_i)^d_i의 교차로 지수로서, 여기서 =d = dimM_g,n = 3g – 3 + n, 그리고 그러한 g가 존재하지 않는 경우 0이며, 여기서₁ c는 선다발의 첫 번째 체른 등급이다.위튼의 생성 기능

${\displaystyle F(t_{0},t_{1},\ldots )=\sum \langle \tau_{0}{0}}{0}}}}\cdots \rangele \prod_{i\gq 0}{t_{i}}{k_{i}}}{k_{i}}}}}}!}}}={\frac{t_{0}^{3}}{6}}}{6}}}{{24}}+{\frac{t_{0}t_{1}:{24}}}}}}{\frac{t_{1}^{0}}}}}}{48}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

모든 교차로 지수를 계수로 부호화한다.

Witten's conjecture states that the partition function Z = exp F is a τ-function for the KdV hierarchy, in other words it satisfies a certain series of partial differential equations corresponding to the basis ${\displaystyle \{L_{-1},L_{0},L_{1},\ldots \}}$ of the Virasoro algebra.

증명

콘체비치는 다음과 같은 것을 보여주기 위해 리본 그래프 측면에서 모듈리 공간에 대한 조합적 설명을 사용했다.

${\dplaystyle \sum _{d_{1}+\cdots +d_{n}=3g-3+n}\langle \tau_{d_{1},\ldots,\tau_{d_{n}\rangele \prod_{1\leq i\}{{d_{n}-1}-1}-leq-1)!!}{\lambda _{i}^{2d_{i}+1}}=\sum _{\\G_{g,n}}{\frac {2^{- X_{0}}}}}{\text{}}}}Aut}}\감마 }}\prod _{e\in X_{1}:{\frac {2}{\lambda(e)}}}$

여기서 오른쪽의 합은 표시된 점이 n개인 속 g의 콤팩트 리만 표면의 리본 그래프 X의 세트 G 위에_g,n 있다.에지 e와 X의 점 세트는 ₀ X와 X로₁ 표시된다.함수 λ은 표시점에서 실제까지의 함수로 생각되며, 가장자리의 각 면에 해당하는 두 표시점에서 sum의 합계와 동일한 에지의 λ을 설정하여 리본 그래프의 가장자리까지 확장된다.

파인만 다이어그램 기법에 따르면, 이것은 F(t₀,...)가 점증적 팽창이라는 것을 암시한다.

${\displaystyle \log \int \exp(i{\text{tr}X^{3}/6)d\mu }$

λ은 무한대에 빌려주는데, 여기서 λ과 χ은 N 은둔자 행렬에 의해 양의 확정 N이고 t는 다음이_i 주어진다.

${\displaystyle t_{i}={\frac {-{\text{}}}}\lambda ^{-1-2i}}{1\time 3\time 5\time \cdots \time (2i-1)}}}}$

그리고 양성확정 암자 행렬에 대한 확률 측정 μ는 다음과 같다.

${\displaystyle d\mu =c_{\Lambda }\exp(-{\text{tr}X^{2}\Lambda /2)dX}$

여기서 c는_Λ 정규화 상수다.이 방안은 다음과 같은 속성이 있다.

${\displaystyle \int X_{ij}X_{kl}d\mu =\delta _{il}\delta _{jk}{\frac {2}{\lambda _{i}+\lambda _{j}}}}}}}}}}}}}$

파인만 다이어그램의 확장성이 리본 그래프의 F에 대한 표현이라는 것을 의미한다.

그는 이를 통해 exp F가 KdV 계급의 τ-함수라고 추론해 비튼의 추측을 증명했다.

일반화

위튼 추측은 해밀턴 PDE의 통합형 시스템과 2D 위상학장 이론의 특정 계열 기하학(Kontsevich와 Manin의 소위 공동생활장 이론의 형태로 축성됨) 사이에 보다 일반적인 관계를 갖는 특수한 사례로, B는 이를 체계적으로 탐구하고 연구하였다.더블로빈과 Y 장, A. 기벤탈, C.텔레맨과 다른 사람들.

비라소로의 추측이란 위튼의 추측을 일반화한 것이다.

참조

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• Kazarian, M. E.; Lando, Sergei K. (2007), "An algebro-geometric proof of Witten's conjecture", Journal of the American Mathematical Society, 20 (4): 1079–1089, arXiv:math/0601760, Bibcode:2007JAMS...20.1079K, doi:10.1090/S0894-0347-07-00566-8, ISSN 0894-0347, MR 2328716
• Kontsevich, Maxim (1992), "Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function", Communications in Mathematical Physics, 147 (1): 1–23, Bibcode:1992CMaPh.147....1K, doi:10.1007/BF02099526, ISSN 0010-3616, MR 1171758
• Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. (2004), Graphs on surfaces and their applications (PDF), Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 141, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00203-1, MR 2036721
• Witten, Edward (1991), "Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space", Surveys in differential geometry (Cambridge, MA, 1990), vol. 1, Bethlehem, PA: Lehigh Univ., pp. 243–310, ISBN 978-0-8218-0168-0, MR 1144529
• Witten, Edward (1993), "Algebraic geometry associated with matrix models of two-dimensional gravity", in Goldberg, Lisa R.; Phillips, Anthony V. (eds.), Topological methods in modern mathematics (Stony Brook, NY, 1991), Proceedings of the symposium in honor of John Milnor's sixtieth birthday held at the State University of New York, Stony Brook, New York, June 14–21, 1991., Houston, TX: Publish or Perish, pp. 235–269, ISBN 978-0-914098-26-3, MR 1215968