필수 스펙트럼

수학에서 경계 연산자의 필수 스펙트럼(또는 보다 일반적으로 밀도 있게 정의된 닫힌 선형 연산자의 필수 스펙트럼)은 그 스펙트럼의 특정 부분집합으로, 대략적으로 말하면 "수직불능"이라고 말하는 유형의 조건에 의해 정의된다.

자기 적응 연산자의 필수 스펙트럼

형식적으로는 X를 힐베르트의 공간이 되게 하고 T를 X의 자칭 연산자가 되게 한다.

정의

일반적으로 essential(T_ess)로 표기되는 T의 필수 스펙트럼은 다음과 같은 모든 복잡한 숫자의 집합이다.

${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$

Fredholm 연산자가 아니며, $여기$서 ${\displaystyle I_{}}$ X ${\$I_${X$}}은(는) X의 ID$$ 연산자를 나타내므로, X의 모든$$ ${\displaystyle X_{}}$에 대해 ${\displaystyle I}$X${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$ ) =$${\$displaystyle I_{X}($x)=$x}}$가 된다(커널과 코커넬이 유한 차원일 경우 연산자는 Fredholm)이다).

특성.

필수 스펙트럼은 항상 닫히고, 스펙트럼의 하위집합이다.T는 자기 적응형이기 때문에 스펙트럼은 실제 축에 포함된다.

필수 스펙트럼은 콤팩트한 섭동 하에서 불변한다.즉, K가 X의 콤팩트한 자기 적응 연산자라면 T의 필수 스펙트럼과 $T{\displaystyle }$+ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T+K}$의 스펙트럼이 일치한다$$.이것이 왜 그것이 필수 스펙트럼이라고 불리는지를 설명한다.Weyl(1910)은 원래 특정 미분 연산자의 필수 스펙트럼을 경계 조건과 독립적인 스펙트럼으로 정의했다.

Weyl의 필수 스펙트럼 기준은 다음과 같다.첫째, 공간 X에${\displaystyle }$sequence in${\displaystyle {}_{}{k}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Vert \psi _{k}\Vert =1}$와 같은 시퀀스 {}}이(가_k) 있는 경우에만 숫자 λ이 T의 스펙트럼에 있다.

$\displaystyle \lim _{k\to \inflt }\left\T\psi _{k}-\lambda \psi _{k}\right\ =0.}$

더욱이 이 조건을 만족시키는 순서가 있지만 수렴성(예: {${\displaystyle {\psi k}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\psi _$${k}\}}}})$을 포함하지 않는 경우 λ은 필수 스펙트럼에 있다. 이러한 순서를 단수 시퀀스라고 한다.

이산 스펙트럼

필수 스펙트럼은 스펙트럼 σ의 부분집합이며, 그 보완을 이산스펙트럼이라 한다.

$\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc}=\sigma(T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess}}(T)}.}$

T가 자칭인 경우, 유한 다중의 고립 고유값인 경우, 공간의 치수가 T의 이산 스펙트럼에 숫자인 λ이 있다.

${\displaystyle \{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}}$

그리고가ε>입니다; 하지만 0이 아닌 유한 차원이 0이μ ∈ σ(T)과μ−λ<>ε하 μ과 λ와 같다.( 들어 일반nonselfadjoint 사업자에 바나흐 공간에 의한 정의., 숫자 λ{\lambda\displaystyle}의 띄엄띄엄 스펙트럼은 정상적인 고유치, 혹은 동등하게 있으면 격리된 포인트.은Pectrum 및 해당 Riesz 프로젝터의 등급은 유한하다.)

Banach 공간에서 폐쇄 연산자의 필수 스펙트럼

X를 바나흐 공간으로 하고 $T{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ T$:\,X\to X}$을(를) 촘촘한 $도메인{\displaystyle }$ D ${\displaystyle (T}$) ${\displaystyle D(T)}$을(를) 가진 X의 폐쇄 선형 연산자로 하자$$$.$ 등가 아닌 몇 가지 필수 스펙트럼의 정의가 있다.

1. The essential spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ is the set of all λ such that ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$ is not semi-Fredholm (an operator is semi-Fredholm if its range is closed and its kernel or its cokernel is finite-dimensional).
2. The essential spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$ is the set of all λ such that the range of ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$ is not closed or the kernel of ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$ is infinite-dimensional.
3. The essential spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)}$ is the set of all λ such that ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$ is not Fredholm (an operator is Fredholm if its range is closed and both its kernel and its cokernel are finite-dimensional).
4. The essential spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)}$ is the set of all λ such that ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$ is not Fredholm with index zero (the index of a Fredholm operator is the difference between the dimension of the kernel and the dimension of the cokernel).
5. σess,1(T)의 C∖ ess, 1(T)σ{\displaystyle \mathbb{C}\setminus \sigma _{\mathrm{ess},1}(T)의 resolvent 세트 C∖ σ(T){\displaystyle \mathbb{C}\s과 교차하지 않는 경우 모든 구성 요소}과 필수적인 스펙트럼 σ ess, 5(T){\displaystyle \sigma_{\mathrm{ess},5}(T)}입니다.etmin$\sigma (T$

위에서 정의한 각 필수 스펙트럼 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle k{}_{}}$( ${\displaystyle T_{}}$) ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess},k}(T$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle \le }$ 5 ${\displaystyle 1\leq$ k$\leq$ 5$\}$은 닫힌다.더 나아가

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subset \sigma (T)\subset \mathbb {C} ,}$

그리고 이러한 포함 중 어떤 것도 엄격할 수 있다.자가 승인 연산자의 경우, 필수 스펙트럼에 대한 위의 모든 정의가 일치한다.

다음을 통해 필수 스펙트럼의 반지름을 정의

${\displaystyle r_{\mathrm {ess},k}(T)=\max\{ \lambda :\lambda \in \sigma _{\mathrmatrm {ess},k}(T)\}.}$

스펙트럼이 다를 수 있지만 모든 k에 대해 반지름은 동일하다.

The definition of the set ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$ is equivalent to Weyl's criterion: ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$ is the set of all λ for which there exists a singular sequence.

필수 스펙트럼 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$, ${\displaystyle k{}_{}}$( T${\displaystyle }$) ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess},k}(T)}$은(는) k = 1,2,3,4에 대해 콤팩트한 섭동에 따라 불변하지만 k = 5에는 불변한다.$set{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ,${\displaystyle 4_{}}$( ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess},4}(T)$ 집합은 콤팩트한 섭동과 독립적인 스펙트럼의 일부$$, 즉,

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess},4}(T)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma(T+K),}}$

여기서 B ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle B_{0}(X)}$은 X(D.E. Edmunds 및 W.D)의 콤팩트 연산자 집합을 의미한다.에반스, 1987년).

밀폐된 밀도 정의 연산자 T의 스펙트럼은 분리 유니언으로 분해될 수 있다.

${\displaystyle \sigma }$( ${\displaystyle T}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}_{}}$ e ${\displaystyle {\mathrm{s},}_{}}$ ${\displaystyle 5_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$T${\displaystyle }$) ${\displaystyle ⨆}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle T}$ )$${ d ( ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ )$displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm$ {ess$},5}(T)\bigsqcup \sigma _{\mathrmatrmat {d$

여기서 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$( ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(T)}$은 T의 이산 스펙트럼이다.

참고 항목

• 스펙트럼(기능분석)
• 형식주의를 해소하다
• 스펙트럼 분해(기능분석)
• 이산 스펙트럼(수학)
• 연산자의 스펙트럼
• 연산자 이론
• 프레드홀름 이론

참조

자칭 사례는 다음에서 논의한다.

• Reed, Michael C.; Simon, Barry (1980), Methods of modern mathematical physics: Functional Analysis, vol. 1, San Diego: Academic Press, ISBN 0-12-585050-6
• Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5.

일반 연산자를 위한 스펙트럼에 대한 논의는 다음에서 찾을 수 있다.

• D.E. Edmunds와 W.D.에반스(1987), 스펙트럼 이론과 미분 운영자 옥스퍼드 대학 출판부.ISBN 0-19-853542-2.

기본 스펙트럼의 원래 정의는 다음과 같다.

• H. Weil(1910), Uber gewöliche Differentialgleichungen Mit Und die Zugehörigen Entwicklungen Willkülicher Funktionen, Matheatherische Annalen 68, 220–269.