선택 정리

수학의 한 분야인 함수해석학에서 선택정리는 주어진 다중값 지도에서 단일값 선택함수의 존재를 보장하는 정리이다.다양한 선택 이론이 있으며, 그것들은 미분 포함 이론, 최적 제어 이론, 그리고 수학적 ^[1]경제학에서 중요하다.

예단

2개의 세트 X와 Y를 지정하면 F를 X와 Y의 다중값 맵으로 합니다. $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ : $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ ( $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ Y ) { $displaystyle$ F $:X\rightarrow {mathcal {P}}(Y)}$ 는 $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ X에서 Y의 거듭제곱 집합까지의 함수이다.

$f:X\rightarrow Y$ f : $f:X\rightarrow Y$ $f:X\rightarrow Y$ (\ $displaystyle$ f $:X\right 화살표$ Y $)$ 는 $f:X\rightarrow Y$ 다음과 같은 경우 F의 선택이라고 합니다.

\displaystyle x:,,,f(x)\in F(x),}

즉, 원래의 함수 F가 복수의 값을 반환하는 입력 x가 주어졌을 때, 새로운 함수 f는 단일 값을 반환한다.이것은 선택 기능의 특수한 경우입니다.

선택 공리는 선택 함수가 항상 존재함을 의미하지만, 종종 선택이 연속성이나 측정 가능성과 같은 "나이스" 특성을 갖는 것이 중요합니다.여기서 선택 이론이 작용합니다.F가 특정 특성을 만족하는 경우 F가 연속적이거나 다른 바람직한 특성을 갖는 선택 f를 갖는다는 것을 보증합니다.

설정값 함수에 대한 선택 정리

Michael 선택^[2] 정리는 연속 선택이 존재하기에 다음 조건이 충분하다고 말한다.

X는 파라콤팩트 공간이다.
Y는 바나흐 공간입니다.
F는 아래쪽 반신장이다.
X의 모든 x에 대해 집합 F(x)는 비어 있지 않고 볼록하며 닫힙니다.

독일-켄데로프^[3] 정리는 미카엘의 정리를 다음과 같이 일반화한다.

X는 파라콤팩트 공간이다.
Y는 정규 벡터 공간이다.
F는 거의 반비례합니다. $x\in X$ , 각 $(\$ $displaystyle$ x ${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$ $in$ X $x\in X$ 에 $V$ $x$ 0 $(\displaystyle$ 0 $)$ 의 $0$ 각 인접 $V$ $(\$ $displaystyle$ 0)에 ${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$ 인접U ${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$ $)$ 가 $U$ 존재합니다 ${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$ $빈집합$ ${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$
X의 모든 x에 대해 집합 F(x)는 비어 있지 않고 볼록하다.

$이러한$ 조건에 따라 F $(디스플레이 스타일$ F $)$ 는 $F$ 연속적으로 대략적인 선택을 할 수 있습니다.즉 $,$ Y $(디스플레이$ 스타일 $Y$ Y $)$ 의 0 $(디스플레이$ 스타일 $0$ 0 $)$ 의 각 근방 V $(디스플레이 스타일$ V $)$ 에 $V$ 대해 X $x$ Y $(디스플레이$ 스타일 F $\colon$ X\ $mapsto$ Y $)$ 의 $f\colon X\mapsto Y$ 연속 $f\colon X\mapsto Y$ f $f\colon X\mapsto Y$ $f\colon X\mapsto Y$ $x\in X$ $f\colon X\mapsto Y$ Y(디스플레이 스타일 X\mapstyle Y)가 있습니다. $x\in$ X $x\in X$ , $f(x)\in F(X)+V$ ( $f(x)\in F(X)+V$ $f(x)\in F(X)+V$ ( $f(x)\in F(X)+V$ ) + $f(x)\in F(X)+V$ ( \ $displaystyle f$ ( x )\ $in$ F ( $X$ ) $f(x)\in F(X)+V$ + V $f(x)\in F(X)+V$ ^[3] 。

$이후$ 메모에서, 쉬는Y가 $Y$ 국소 볼록 위상 벡터 ^[4]공간인 $Y$ 에도 독일-켄데로프 정리가 유효하다는 것을 증명했다.

Yannelis-Prabhakar 선택^[5] 정리에 따르면 연속 선택이 존재하기에 충분한 조건은 다음과 같습니다.

X는 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.
Y는 선형 위상 공간이다.
X의 모든 x에 대해 집합 F(x)는 비어 있지 않고 볼록하다.
Y의 모든 y에 대해 역집합⁻¹ F(y)는 X의 열린 집합이다.

Kuratowski와 Ryl-Nardzewski의 측정 가능한 선택정리에 따르면, X가 폴란드 공간이고 $(\$ 인 ${\mathcal {B}}$ 경우, Borel δ-algebra, $\mathrm {Cl} (X)$ $)$ { $displaystyle \mathrm {Cl}(X)$ 은 $\mathrm {Cl} (X)$ X $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ F $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ 의 빈 닫힌 부분 집합이 아니다. $F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)$ F $F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)$ $F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)$ $F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)$ $F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)$ ( $F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)$ X $F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)$ ) { $displaystyle$ F $:$ $\Omega$ \ $to \mathrm {Cl}(X$ $)$ 은 $F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)$ F $(\$ $U\subseteq X$ ${\mathcal {F}}$ {\ $mathcal {F})$ - 약하게 ${\mathcal {F}}$ 측정 가능한 맵입니다(즉, 열린 $U\subseteq X$ U $displaystyle$ U $\subseteq X)$ 마다 $U\subseteq X$ $displaystyle:$ F $\{\omega \in \Omega :F(\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}$ $\{\omega \in \Omega :F(\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}$ $F}$ 는 $F$ ( $({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})$ $({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})$ ) { $displaystyle$ {\ $mathcal {F},$ {\ $mathcal {B}}},$ 측정 가능 $({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})$ ^[6]중에서 선택할 수 있습니다.

설정값 함수의 다른 선택 정리에는 다음이 포함됩니다.

설정값 시퀀스에 대한 선택 정리

블라슈케 선택 정리

레퍼런스

^ Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26564-9.
^ Michael, Ernest (1956). "Continuous selections. I". Annals of Mathematics. Second Series. 63 (2): 361–382. doi:10.2307/1969615. hdl:10338.dmlcz/119700. JSTOR 1969615. MR 0077107.
^ ^a ^b Deutsch, Frank; Kenderov, Petar (January 1983). "Continuous Selections and Approximate Selection for Set-Valued Mappings and Applications to Metric Projections". SIAM Journal on Mathematical Analysis. 14 (1): 185–194. doi:10.1137/0514015.
^ Xu, Yuguang (December 2001). "A Note on a Continuous Approximate Selection Theorem". Journal of Approximation Theory. 113 (2): 324–325. doi:10.1006/jath.2001.3622.
^ Yannelis, Nicholas C.; Prabhakar, N. D. (1983-12-01). "Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces". Journal of Mathematical Economics. 12 (3): 233–245. doi:10.1016/0304-4068(83)90041-1. ISSN 0304-4068.
^ V. I. 보가초프, "측정 이론" 제2권, 36페이지

[1] Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26564-9.

[2] Michael, Ernest (1956). "Continuous selections. I". Annals of Mathematics. Second Series. 63 (2): 361–382. doi:10.2307/1969615. hdl:10338.dmlcz/119700. JSTOR 1969615. MR 0077107.

[:0-3] Deutsch, Frank; Kenderov, Petar (January 1983). "Continuous Selections and Approximate Selection for Set-Valued Mappings and Applications to Metric Projections". SIAM Journal on Mathematical Analysis. 14 (1): 185–194. doi:10.1137/0514015.

[4] Xu, Yuguang (December 2001). "A Note on a Continuous Approximate Selection Theorem". Journal of Approximation Theory. 113 (2): 324–325. doi:10.1006/jath.2001.3622.

[5] Yannelis, Nicholas C.; Prabhakar, N. D. (1983-12-01). "Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces". Journal of Mathematical Economics. 12 (3): 233–245. doi:10.1016/0304-4068(83)90041-1. ISSN 0304-4068.

[6] V. I. 보가초프, "측정 이론" 제2권, 36페이지

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