분할단계법

수치해석에서 스플릿-스텝(Fourier) 방법은 비선형 슈뢰딩거 방정식처럼 비선형 부분 미분 방정식을 푸는 데 사용되는 사이비-스펙트럴 수치법이다.그 이름은 두 가지 이유로 생겨났다.첫째, 이 방법은 작은 단계로 솔루션을 계산하고, 선형 단계와 비선형 단계를 별도로 처리하는 데 의존한다(아래 참조).둘째로, 선형 단계는 주파수 영역에서, 비선형 단계는 시간 영역에서 이루어지기 때문에 푸리에가 앞뒤로 변환할 필요가 있다.

이 방법의 사용 예로는 광섬유의 광펄스 전파 분야에서 선형 및 비선형 메커니즘의 상호작용으로 일반적인 분석 솔루션을 찾기 어려운 경우가 있다.그러나 분할 단계 방식은 이 문제에 대한 수치적 해결책을 제공한다.2010년대 이후 많은 트랙션을 얻고 있는 스플릿-스텝 방식의 또 다른 적용은 광학 마이크로레소네이터에서 커 주파수 빗 역학 시뮬레이션이다.^[1]^[2]^[3]루지아토-레페버 방정식의 상대적인 수비용 구현 용이성과 더불어 이러한 마이크로레소네이터에서 솔리톤 거동을 예측하는 실험 스펙트럼 재현 성공이 이 방법을 매우 대중화시켰다.

방법 설명

예를 들어 비선형 슈뢰딩거 방정식을^[4] 고려하십시오.

{\partial z}=-{i\beta_{2} \{2} \partial ^{2}A \partial t^{2}}+i\gma A^{2}A=[{\hat{D}+{N}}}A,},

여기서 $A(t,z)$ ( $A(t,z)$ , $A(t,z)$ ) $A(t,z)$ 은 공간 위치 $z$ $z$ 에서 $t$ 시간 $t$ $t$ 의 펄스 엔벨롭을 설명한다 $A(t,z)$ $z$ 방정식은 선형 부분으로 분할될 수 있다.

{\partial A_{D} \partial z}=-{i\beta_{2} \over 2}{\partial ^{2}A \over \partial t^{2}}={\hat{D}A,

비선형 부분,

{\partial A_{N}\partial z}=i\gamma A^{2}A={\hat{N}A}A.

선형 부품과 비선형 부품 모두 분석 솔루션을 가지고 있지만, 두 부품을 모두 포함하는 비선형 슈뢰딩거 방정식은 일반적인 분석 솔루션을 가지고 있지 않다.

그러나 $z$ ${\displaystyle$ z $}$ 을 $z$ 를) 따라 '작은' $단계$ h {\ $displaystyle h}$ 만 취할 $h$ 경우, 두 부분은 '작은' 숫자 오류만으로 별도로 처리할 수 있다.그러므로 먼저 작은 비선형적인 단계를 취할 수 있다.

A_{N}(t,z+h)=\exp \left[i\gamma A(t,z) ^{2}h\right]A(t,z),

분석 용액을 사용하여이 $|A(z)|^{2}=const.$ $|A(z)|^{2}=const.$ ( z $|A(z)|^{2}=const.$ ) 2 $|A(z)|^{2}=const.$ = $|A(z)|^{2}=const.$ $|A(z)|^{2}=const.$ $|A(z)|^{2}=const.$ $|A(z)|^{2}=const.$ . ${\displaystyle A(z) ^{2}=const$ 를 부과한다는 점에 유의하십시오 $.$ $}$ 과 $|A(z)|^{2}=const.$ (와) $\gamma \in \mathbb {R}$ 으로 $\gamma \in \mathbb {R}$ $\gamma \in \mathbb {R}$ ${\$

산포 단계는 주파수 영역에 분석 솔루션이 있으므로, 우선 푸리에 $A_{N}$ A ${\$ 를 $A_{N}$ 사용하여 A를 변환하는 것이 필요하다.

{\tilde {A}}_{N}(\omega ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }A_{N}(t,z)\exp[i(\omega -\omega _{0})t]dt

,

여기서 $\omega _{0}$ $\omega _{0}$ $\omega _{0}$ ${\$ 는 펄스의 중심 주파수다.위와 같은 푸리에 변환의 정의를 이용하여 비선형 스텝에 대한 주파수 영역 솔루션으로 분화된 선형 스텝에 대한 해석 솔루션이 다음과 같은 것을 알 수 있다.

{\tilde {A}(\omega,z+h)=\exp \좌측[{i\beta _{2} \iema -\omega _{0}^{2}h\우측]{\tilde{A}_{N}(\omega,z).

By taking the inverse Fourier transform of ${\tilde {A}}(\omega ,z+h)$ one obtains $A\left(t,z+h\right)$ ; the pulse has thus been propagated a small step $h$ . By repeating the above $N$ times, the pulse can be prop $N$ $h$ $Nh$ 의 길이에 걸쳐 경계가 적용됨 $Nh$

위의 내용은 우주에서 솔루션을 전진적으로 전파하는 방법을 보여주지만, 입자를 기술하는 웨이브 패킷의 진화를 연구하는 것과 같은 많은 물리 애플리케이션은 우주에서가 아니라 시간에 따라 솔루션을 전진적으로 전파할 것을 요구한다.비선형 슈뢰딩거 방정식은 파동함수의 시간 진화를 제어하기 위해 사용될 때 형태를 취한다.

{\displaystyle i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{\hbar }^{2m}{2}}\psi \over \partial x^{2}+\psi \{2}\psi = [{\\\\d}}}}, {D}}}\psi},

여기서 $\psi (x,t)$ ( $\psi (x,t)$ , $\psi (x,t)$ ) $\psi (x,t)$ 은 $\psi (x,t)$ (는) 위치 $x$ $x$ 및 시간 $x$ $t$ ${\displaystyt t}$ 에서 파동 함수를 설명한다 $t$ 참고하십시오.

{\hat {D}}=-{{\hbar }^{2} \over {2m}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}

and

{\hat {N}}=\gamma  \psi  ^{2}

, and that

m

is the mass of the particle and

\hbar

is플랑크의 상수는

2\pi

㎛

2\pi

입니다

2\pi

이 방정식의 공식적 해법은 복잡한 지수화(expective index)이기 때문에, 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다.

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

(

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

,

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

)

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

= e

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

-

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

(

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

+ N

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

)

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

/

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

(

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

,

\psi (x,t)=e^{-it({\hat {D}}+{\hat {N}})/\hbar }\psi (x,0)

)

{\displaystyle \psi (x,t)=e^{-it({\hat{D}+{N})/\hbar }\psi (x,0

${\hat {D}}$ ^ ${\$ 과 ${\hat {D}}$ ( $와)$ ${\hat {N}}$ ${\hat {N}}$ ${\$ 이(가) 연산자이기 ${\hat {N}}$ 때문에 일반적인 출퇴근은 아니다.그러나 베이커-하우스도르프 공식을 적용하여 작지만 유한한 시간 $단계$ d ${\$ $displaystyle dt^{2}}:$ d t t t $2$ ${\$ $displaystyle dt}$ 을(를) 취한다면 $dt^{2}$ 그들을 마치 그런 것처럼 취급하는 오류는 $dt^{2}$ d $dt^{2}$ 2가 될 것이라는 것을 보여줄 $dt$ 수 있다. 따라서 우리는 쓸 수 있다.

\psi (x,t+dt)\approx e^{-idt{\hat {D}}/\hbar }e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)

.

${\hat {N}}$ ^ ${\$ $hat$ ${N}$ 을 포함하는 이 방정식의 부분은 $시간$ t{\ $displaystyle t}$ 에 있는 파동 함수를 사용하여 직접 계산할 ${\hat {N}}$ 수 ${\hat {D}}$ $t$ D $^$ {\ $displaystyle {\D}$ 을 포함하는 지수 계산을 위해 주파수 공간에서는 부분파생성 연산자를 a로 변환할 수 있다는 사실을 사용한다. $i$ $k$ $ik$ 을(를) $\partial \over \partial x$ x ${\$ x $}$ 에 $ik$ 대체함으로써 여기서 ${\displaystyk$ }은 $k$ 공간 변수를 처리하여 Fourier tr과 연관된 공간 주파수 공간(즉, 파형 번호)으로 변환하는 주파수(또는 더 적절한 주파수)이다 $\partial \over \partial x$ 수술 중인 모든 것의 형태따라서, 우리는 푸리에 변환의

e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)

- i

e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)

e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)

e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)

/

e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)

,

e^{-idt{\hat {N}}/\hbar }\psi (x,t)

)

{\displaystyle e^{-idt{\hat{N}/\hbar }\psi(x,t

관련 파동 번호를 복구하고 수량을 계산한다.

e^{idtk^{2}}

e^{idtk^{2}}

e^{idtk^{2}}

t

e^{idtk^{2}}

2

{\

e

^{idtk^{2

${\hat {N}}$ N ${\hat {N}}$ ${\$ } 및 D ${\hat {D}}$ ${\$ 을 ${\hat N}$ (를) 포함하는 복합 지수 산출물을 다음과 같이 주파수 공간에서 찾는 ${\hat {D}}$ 데 사용한다.

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

[ e

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

- i

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

( x

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

,

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

)

e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]

{\displaystyle e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\n}}\psi(x,t

여기서 $F$ $F$ 는 $F$ 푸리에 변환을 의미한다.그런 다음 우리는 이 표현을 역방향 푸리에가 물리적 공간에서 최종 결과를 찾기 위해 변환하여 최종 표현을 산출한다.

{\displaystyle \psi (x,t+dt)=

F^{-1}[e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat{N}}\psi (x,t)]}}}}

.

이 방법에 대한 변동은 대칭 분할 단계 푸리에법으로, 한 연산자를 사용하여 절반의 시간 스텝을 밟은 후 다른 연산자와만 풀 타임 스텝을 밟은 다음, 첫 번째 시간에만 다시 두 번째 반 시간 스텝을 밟는다.이 방법은 타임 스텝 d t 3 ${\$ 의 오차가 시간 스텝 $d$ $t$ $dt$ 에 대해 $dt^{3}$ $dt^{3}$ d t $dt^{3}$ {\displaysty dt}{3}이기 때문에 일반적인 분할 스텝 푸리에 방법이 개선된 것이다 $dt$ 이 알고리즘의 푸리에 변환은 FFT(Fast Fourier Transform)를 사용하여 비교적 빠르게 계산할 수 있다.따라서 분할 단계 푸리에 방법은 일반적인 유한 차이 방법보다 훨씬 빠를 수 있다.^[5]

참조

^ Erkintalo, Miro; Sylvestre, Thibaut; Randle, Hamish G.; Coen, Stéphane (2013-01-01). "Modeling of octave-spanning Kerr frequency combs using a generalized mean-field Lugiato–Lefever model". Optics Letters. 38 (1): 37–39. arXiv:1211.1697. Bibcode:2013OptL...38...37C. doi:10.1364/OL.38.000037. ISSN 1539-4794. PMID 23282830.
^ Maleki, L.; Seidel, D.; Ilchenko, V. S.; Liang, W.; Savchenkov, A. A.; Matsko, A. B. (2011-08-01). "Mode-locked Kerr frequency combs". Optics Letters. 36 (15): 2845–2847. Bibcode:2011OptL...36.2845M. doi:10.1364/OL.36.002845. ISSN 1539-4794. PMID 21808332.
^ Hansson, Tobias; Wabnitz, Stefan (2016). "Dynamics of microresonator frequency comb generation: models and stability" (PDF). Nanophotonics. 5 (2): 231–243. Bibcode:2016Nanop...5...12H. doi:10.1515/nanoph-2016-0012. ISSN 2192-8606.
^ Agrawal, Govind P. (2001). Nonlinear Fiber Optics (3rd ed.). San Diego, CA, USA: Academic Press. ISBN 0-12-045143-3.
^ T. R. Taha and M. J. Ablowitz (1984). "Analytical and numerical aspects of certain nonlinear evolution equations. II. Numerical, nonlinear Schrödinger equation". J. Comput. Phys. 55 (2): 203–230. Bibcode:1984JCoPh..55..203T. doi:10.1016/0021-9991(84)90003-2.

외부 참조

토마스 E.머피, 소프트웨어, http://www.photonics.umd.edu/software/ssprop/
안드레스 A.Rieznik, Software, http://www.freeopticsproject.org
G. Agrawal 교수, 소프트웨어, http://www.optics.rochester.edu/workgroups/agrawal/grouphomepage.php?pageid=software
Thomas Schreiber, Software, http://www.fiberdesk.com
Edward J. Grace, Software, http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24016

[1] Erkintalo, Miro; Sylvestre, Thibaut; Randle, Hamish G.; Coen, Stéphane (2013-01-01). "Modeling of octave-spanning Kerr frequency combs using a generalized mean-field Lugiato–Lefever model". Optics Letters. 38 (1): 37–39. arXiv:1211.1697. Bibcode:2013OptL...38...37C. doi:10.1364/OL.38.000037. ISSN 1539-4794. PMID 23282830.

[2] Maleki, L.; Seidel, D.; Ilchenko, V. S.; Liang, W.; Savchenkov, A. A.; Matsko, A. B. (2011-08-01). "Mode-locked Kerr frequency combs". Optics Letters. 36 (15): 2845–2847. Bibcode:2011OptL...36.2845M. doi:10.1364/OL.36.002845. ISSN 1539-4794. PMID 21808332.

[3] Hansson, Tobias; Wabnitz, Stefan (2016). "Dynamics of microresonator frequency comb generation: models and stability" (PDF). Nanophotonics. 5 (2): 231–243. Bibcode:2016Nanop...5...12H. doi:10.1515/nanoph-2016-0012. ISSN 2192-8606.

[NonlinearAgrawal-4] Agrawal, Govind P. (2001). Nonlinear Fiber Optics (3rd ed.). San Diego, CA, USA: Academic Press. ISBN 0-12-045143-3.

[Taha1984-5] T. R. Taha and M. J. Ablowitz (1984). "Analytical and numerical aspects of certain nonlinear evolution equations. II. Numerical, nonlinear Schrödinger equation". J. Comput. Phys. 55 (2): 203–230. Bibcode:1984JCoPh..55..203T. doi:10.1016/0021-9991(84)90003-2.

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