스톤-본 노이만 정리

수학과 이론 물리학에서 스톤-본 노이만 정리는 위치 연산자와 운동량 연산자 사이의 표준적 정류 관계의 고유성에 대한 수많은 다른 공식들 중 하나를 가리킨다. 마샬 스톤과 존 폰 노이만의 이름을 따서 지어졌다.^[1]^[2]^[3]^[4]

통신 관계의 표현 문제

양자역학에서 물리적 관측 가능성은 힐버트 공간의 선형 연산자에 의해 수학적으로 표현된다.

실제 라인 $\mathbb {R}$ ${\$ 에서 이동하는 단일 입자의 경우 $\mathbb {R}$ 위치 및 운동량이라는 두 가지 중요한 관측치가 있다. 그러한 입자에 대한 슈뢰딩거 표현 양자 설명에서 위치 $연산자$ x와 운동량 $연산자$ p $p$ 은(는) 각각 다음과 같이 주어진다 $p$ .

[x\property ](x_{0})=x_{0}\properties(x_{0})

[p\p\fluse ](x_{0})=-i\hbar {\frac {\frac {\fract \propers }{\preason x}}}(x_{0})}}

$\mathbb {R}$ ${\$ 에 대한 콤팩트 지원 기능이 무한히 다른 $V$ V $V$ 에서. $\mathbb {R}$ $\hbar$ ${\displaystyle \hbar$ }이 $($ 가) 0이 아닌 고정된 실수 번호라고 $\hbar$ 가정하십시오. 양자 이론 $\hbar$ ${\displaystylement \hbar$ \hbar $}$ 에서 $\hbar$ 플랭크 상수(에너지 시간). 시간이다

$연산자$ $x$ ${\displaystyle x$ p $p$ 이 $p$ (가) 표준 정류 관계 Lie 대수학,

[x,p]=display-filename=i\hbar.

이미 헤르만 바일(Hermann Weyl)^[5]은 그의 고전적인 책에서 이 감화 법칙은 $van$ 이 사라지지 않는 한 유한한 차원 $공간$ 에 작용하는 선형 $연산자$ p에 대해 충족시킬 수 없다는 것을 관찰했다. 이는 후자 방정식의 양쪽에 걸쳐 추적을 취하고 $Trace ($ AB) = $Trace(BA$ ) 관계를 사용함으로써 명백하다 $.$ 왼쪽은 0, 오른쪽은 0이다. 추가 분석^{[note 1]} 결과, 실제로 위의 정류 관계를 만족하는 두 개의 자체 승인 연산자는 둘 다 경계할 수 없다는 것을 알 수 있다. 공칭적 편의를 위해 $ℏ$ 의 비바니싱 제곱근을 $p$ 와 $x$ 의 정상화에 흡수할 수 있으므로 사실상 1로 대체한다. 우리는 다음과 같이 정상화를 가정한다.

스톤-본 노이만 정리의 개념은 표준적 정류 관계의 어떤 두 가지 불가해한 표현도 단위적으로 동등하다는 것이다. 그러나 관련 사업자는 반드시 무한정(위에서 언급한 바와 같이)되기 때문에, 역추정을 허용하는 까다로운 도메인 문제가 있다.^[6]^{: Example 14.5} 엄격한 결과를 얻으려면, 운영자가 Weyl 관계라고 알려진 표준적 정류 관계의 강조된 형식을 만족하도록 요구해야 한다. 지수 연산자는 경계되고 단일하다. 아래와 같이 지적했듯이 비록, 이 관계는 공식적으로 표준 정준 교환 관계에 해당하기 때문에 사업자들의 무한한 자연의(다시).(또한은 유한 차원의. space,[6]에 쥘 수 있는 바일 관계된 아날로그입니다, 이 동등,:정확하지 않다.장 14, 즉 실베스터의 시계와 matr을 5운동합니다.유한 하이젠베르크 그룹의 ice, 이하에서 논의)

표현의 고유성

하나는 분리 가능한 Hilbert 공간에 작용하는 두 개의 자칭 연산자에 의한 표준적 정류 관계의 표현을 통일성 등가까지 분류하고자 한다. 스톤의 정리로는, 자칭 연산자와 (강력하게 연속적인) 일변수 일변수 일변수 집단 사이에 일대일 일치성이 있다.

$Q$ 와 $P$ 는 표준 정류 관계를 만족하는 두 개의 자체 적응 연산자가 되도록 한다. [ $Q,$ $P]$ = $i$ , 그리고 $s$ 와 $t$ 두 개의 실제 매개변수. $e$ 와^itQ $e$ 를^isP 소개한다. (위에서 정의한 명시적 연산자의 경우 $e$ 에^itx 의한 곱셈과 x + s에 의한 풀백이다.) 공식 연산^[6]^{: Section 14.2}(Baker-Campbell-Hausdorff 공식의 특별한 경우를 사용)은 쉽게 산출된다.

e^{itQ}e^{isP}=e^{-ist}e^{isP}e^{itQ}.

반대로 브레이딩 관계를 만족하는 두 개의 단일 매개변수 단일 $그룹$ U( $t)$ 와 V $(s)$ 가 주어진다.

$U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ ( $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ ) $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ ( $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ s ) $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ = $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ - $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ ( $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ ) $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ ( $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ ) $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ s $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ , t $U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,$ , ${\displaystyle U(t)V(s$ )= $e^{-ist}V(s)\qquad \forall s,t,}($ E1)

공식적으로 0으로 구분하는 것은 두 개의 최소 발전기가 위의 표준적 정류 관계를 만족한다는 것을 보여준다. 단일 매개변수 단일 집단에 대한 표준 정류 관계(CCR)의 이러한 브레이딩 공식은 CCR의 Weyl 형식이라고 불린다.

앞의 파생은 순전히 형식적이라는 점에 유의해야 한다. 관련 사업자는 한이 없기 때문에, 기술적 문제는 추가적인 도메인 가정 없이 베이커-캠프벨-하우스도르프 공식을 적용하는 것을 방해한다. 실제로, 표준적 정류 관계를 만족하는 사업자가 존재하지만, Weyl 관계(E1)는 존재하지 않는다.^[6]^{: Example 14.5} 그럼에도 불구하고, 「좋은」의 경우, 표준적 감속 관계를 만족하는 사업자도 Weyl 관계를 만족시킬 것으로 기대한다.

따라서 문제는 분리 가능한 힐버트 공간에 대한 Weyl 관계를 만족하는 두 개의 공동 수정 불가능한 단일 매개변수 그룹 $U (t)$ 와 $V (s)$ 를 분류하게 된다. 해답은 스톤-본 노이만 정리의 내용인데, 그러한 일변수 일변수 집단의 모든 쌍은 단위적으로 동등하다.^[6]^{: Theorem 14.8} 즉, 힐버트 공간 $H$ 에서 그러한 $U (t)$ 와 V( $s)$ 가 공동으로 해석할 수 없는 행동을 하는 두 개의 경우에, 다음과 같은 단일 운영자 $W$ : $L 2 (R)$ → $H$ 가 있다.

W^{*}U=e^{itx}\quad {\mbox{and}}\quad W^{*}VW=e^{isp}

여기서 $p$ 와 $x$ 는 이전의 명시적 위치 및 운동량 연산자다. $W$ 가 이 방정식에서 $U$ 가 되면, 따라서 x-표현에서는 $P$ 가 $단위적$ 으로^−itQ $e itQ$ P e = P + $t$ 와 동등하다는 것이 명백하며, P의 스펙트럼은 전체 실선을 따라 범위되어야 한다. 아날로그 주장은 $Q$ 를 고수한다.

스톤-본 노이만 정리가 $n$ 자유도로 직설적으로 확장되는 것도 있다.^[6]^{: Theorem 14.8}

역사적으로 이 결과는 의미심장했는데, 이는 무한한 행렬의 관점에서 양자역학 관측 가능성과 역동성을 제시하는 하이젠베르크의 행렬 역학이 슈뢰딩거의 파동 기계적 제형과 단위적으로 동등하다는 것을 증명하는 핵심 단계였기 때문이다(슈뢰딩거 그림 참조).

[U(t)\psi ](x)=e^{itx}\psi(x),\qquad [V(s)\psi ]=\psi(x+s)

표현 이론 공식화

대표이론의 관점에서 스톤-본 노이만 정리는 하이젠베르크 집단의 특정 단일 대표성을 분류한다. 이것은 아래의 하이젠베르크 그룹 섹션에서 자세히 논의된다.

비공식적으로 언급된, 특정한 기술적 가정과 함께, 하이젠베르크 그룹 $H$ 의_{2n + 1} 모든 표현은 $R$ 의ⁿ 포지션 오퍼레이터 및 모멘텀 오퍼레이터와 동일하다. 또는 모두 차원 $2n$ 의 동시적 공간에서 Weyl 대수(또는 CCR 대수)와 동등하다는 것이다.

좀 더 형식적으로, 비독점적 중심부가 강하게 지속되는 단일 대표성이 있다.

이것은 후에 맥키 이론에 의해 일반화되었고, 양자물리학에 하이젠베르크 집단을 도입한 동기가 되었다.

자세한 내용:

연속 하이젠베르크 그룹은 $R$ 의 카피에 의해 아벨리안 리 그룹 $R$ 의²ⁿ 중앙 확장이다.
해당 하이젠베르크 대수학(Heisenberg 대수학)은 $R$ 의 사본에 의한 아벨리안 리 $대수학 2 n$ R(사소한 괄호)의 중앙 확장이다.
이산 하이젠베르크 집단은 $Z$ 의 카피에 의한 자유 아벨리아 $집단 2 n$ Z의 중앙 확장이다.
이산 하이젠베르크 그룹 modulo $p$ 는 $Z / pZ$ 의 복사본에 의한 자유 아벨리안 p-그룹 $(Z / pZ) 2 n$ 의 중앙 확장이다.

모든 경우에 A는 대수이고^{[clarification needed]} 중심은 0으로 지도하는 $표현 2 n + 1$ H → $A$ 를 가지고 있다면 단순히 해당 아벨리아 그룹이나 대수, 즉 푸리에 이론의 표현을 가지고 있을 뿐이다.^{[clarification needed]}

센터가 0으로 지도화하지 않으면 더욱 흥미로운 이론을 갖게 되는데, 특히 중심표현에 자신을 제한한다면 더욱 그렇다.

구체적으로는 중심 표현에 의해 하이젠베르크 집단의 중심이 대수 중심부에 매핑되는 표현을 의미한다. 예를 들어, 힐버트 공간의 연산자에 의한 행렬 표현이나 표현을 연구하고 있다면, 행렬 대수 또는 연산자 대수학의 중심은 스칼라 행렬이다. 따라서 하이젠베르크 집단의 중심 표현은 정량화 값(물리학 용어로는 플랑크의 상수)이라고 하는 척도 값에 의해 결정되며, 이것이 0으로 가면 아벨리아 집단의 표현(물리학 용어로는 이것이 고전적 한계)을 얻게 된다.

보다 형식적으로, 스칼라 K의 분야에 걸친 하이젠베르크 그룹의 그룹 대수학( $K [H])$ 은 $중심$ K[ $R]$ 를 가지고 있기 때문에 단순히 그룹 대수학을 $필드$ K에 대한 대수학으로 생각하기보다는, 역행 대수학 $K [R$ ]에 대한 대수학으로 생각할 수도 있다 $.$ 매트릭스 대수 또는 연산자 대수 중심은 스칼라 $행렬$ 이므로 매트릭스 $대수$ 에서 K $[$ R] 구조는 스칼라 행렬의 선택, 즉 스케일의 선택이다. 그러한 규모의 선택을 감안할 때 하이젠베르크 집단의 중앙표시는 $K [R]-$ 알게브라스 $K [H]$ → $A$ 의 지도로서, 그 중심을 선택된 축척으로 보낸다고 하는 형식적인 표현이다.

그 다음에 스톤-본 노이만 정리는 표준 양자역학적 척도(효과적으로 value의 값)를 감안할 때 모든 강력 연속적인 단일 대표성은 위치와 운동량을 갖는 표준 대표성과 단위적으로 동등하다는 것이다.

푸리에 변환을 통한 리폼

$G$ 를 지역적으로 콤팩트한 아벨 그룹, $G$ 를^{^} $G$ 의 폰트랴긴 듀얼로 하자. Fourier-Planchrel 변환 정의:

f\mapsto {\f}(\gamma )=\int_{G}{\overline {\gamma(t)}f(t)d\mu(t)

$G$ 와 $C 0 (G^$ )의 C*-알지브라 $C*(G)$ 그룹으로부터 C*-이형성으로 확장된다 $.$ 즉, $C*(G)$ 의 스펙트럼은 정확히 $G$ 이다^{^}. $G$ 가 실제 선 $R일$ 때, 이것은 하나의 매개변수 단일 군집단을 특징짓는 스톤(Stone)의 정리다. 스톤-본 노이만의 정리도 비슷한 언어를 사용해 재작성할 수 있다.

그룹 $G$ 는 $C$ *-알지브라 $C 0 (G)$ 에 대해 올바른 번역 $ρ$ : S $in$ $G$ , $F$ in $C 0 (G$ )에 대해 행동한다 $.$

{\displaystyle(s\cdot f)(t)=f(t+s).}

위에서 주어진 이형성 하에서 이 작용은 $C*(G^$ )에 대한 $G$ 의 자연스러운 작용이 된다 $.$

{\widehat{\s\cdot f)}}}(\cdot )=\cd(s){\hat {f}(\cdot f).

$따라서$ C* 교차 제품에 해당하는 공변량 표현

C^{*}\왼쪽({\hat {G}\오른쪽)\rtimes _{\hat {\rho }G

$G$ 의 $U$ 와 $G$ 의^{^} $V$ 의 단일 표현이며 $,$ 다음과 같다.

UV(\gamma )U^{*}=\gamma(s)V(\gamma ).

공변량 표현이 해당 교차 제품의 *표현과 일대일 일치한다는 것은 일반적인 사실이다. 반면에, 모든 돌이킬 수 없는 표현은

C_{0}(G)\rtimes _{\rho }G

단위적으로는 $L 2 (G$ ${\mathcal {K}}\left(L^{2}(G)\right)$ 의 ${\mathcal {K}}\left(L^{2}(G)\right)$ 연산자인 $($ 2 ( G ) ${\$ displaystyle {\ $mathcal{K}\left(L^{2}(G)\right)}$ 에 해당된다 $.$ 따라서 모든 쌍 { $U (s),$ $V (v)}$ 은 단위적으로 동일하다. $G$ = $R$ 이 스톤-본 노이만 정리를 산출하는 경우를 전문으로 한다.

하이젠베르크 그룹

$위$ 의 P, $Q$ 에 대한 표준 정류 관계는 일반 하이젠베르크 그룹 $H$ 의_2n+1 Lie 대수학(양수)을 $n$ 에 대해 명기하는 정류 관계와 동일하다. 양식의 ( $n$ + $2)\times$ ( $n$ + 2 $)$ 제곱 행렬의 Lie 그룹이다.

\matrm {M}(a,b,c)={\begin{bmatrix}1&a&c\0&1_{n}\0&0&1\end{bmatrix}}.

사실 하이젠베르크 집단을 이용하면 대표이론의 언어로 스톤 폰 노이만 정리를 재구성할 수 있다.

$H$ 의_2n+1 중심은 행렬 $M(0,$ 0, $c$ )로 구성된다 $.$ 그러나, 이 센터는 하이젠베르크의 원래 CCR에 있는 ID 오퍼레이터가 아니다. 하이젠베르크 그룹 Lie 대수 발전기(예: $n$ = 1)는 다음과 같다.

{\reasoned}P&={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},&Q&={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}},&z&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\end{aligned}}

중앙 발전기 $z$ = $로그$ M $(0, 0,$ 1 $)$ = $exp(z)$ - $1$ 은 ID가 아니다.

정리. 0이 아닌 각 실제 숫자 $h$ 에 대해, 힐버트 공간 $L 2 (R n)$ 에 대해 다음과 같이 작용하는 수정 불가능한 표현 $U$ 가_h 있다.

왼쪽[왼쪽]U_{h}(\mathrm {M}(a,b,c)\right]\psi(x)=e^{i(b\cdot x+hc)}\psi(x+ha)}

이 모든 표현은 단위적으로 불평등하다; 그리고 $H$ 의_n 중심에서 사소한 것이 아닌 모든 돌이킬 수 없는 표현은 단위적으로 정확히 이것들 중 하나와 동등하다.

$U$ 는_h 단일 연산자로 쉽게 볼 수 있는 두 연산자의 구성이기 때문에 단일 연산자 즉, $ha$ 에 의한 왼쪽으로의 번역과 절대값 1의 함수에 의한 곱셈이기 때문에 U는 단일 연산자라는 점에 유의한다. $U$ 가_h 승수라는 것을 보여주는 것은 간단한 계산이다. 정리의 어려운 부분은 독특함을 보여주고 있다; 그럼에도 불구하고, 이러한 주장은 위에서 말한 바와 같이 스톤-본 노이만 정리로부터 쉽게 따라온다. 우리는 특정 유한 하이젠베르크 그룹에 해당하는 스톤-본 노이만 정리의 증거 아래에 스케치할 것이다.

특히 $H$ 의_n 중심에서 비교가 되지 않는 하이젠베르크 그룹 $H$ 의_n 불가역적 $표현$ $π,$ $if n$ of은 H의 중심에서 어떤 $z$ 에 대해 $π (z$ ) = $π'(z)$ 일 경우에만 단위적으로 동등하다.

수 이론과 모듈형 형태 이론에서 중요한 하이젠베르크 집단의 한 가지 대표성은 세타 표현인데, 그래서 하이젠베르크 집단의 이산 하위집단의 작용에 따라 자코비 세타 기능이 불변하기 때문에 그렇게 명명되었다.

푸리에 변환과의 관계

$0$ 이 아닌 경우, 매핑

\alpha _{h:\mathrm {M}(a,b,c)\to \mathrm {M} \left(-h^{-1}b,ha,c-a\cdot b\right)

$H$ 의_n_n 중심인 H의 자동형성이다. 특히 $U$ 와_h $Uα$ 의_h 표현은 단위적으로 동일하다. $즉 2$ , L $(R n)$ 에는 $H$ 의_n 모든 $g$ 에 대해 $W$ 와 같은 단일 운영자가 있다는 것을 의미한다.

WU_{h}(g)W^{*}=U_{h}\알파(g).

더욱이 U $표시$ 의_h 재확인을 불가능하게 함으로써 스칼라까지, 그러한 $운용자$ W가 유일하다는 것을 따른다(cf). 슈르의 보조정리). $W$ 는 단일하기 때문에 이 스칼라 배수는 고유하게 결정되며 따라서 그러한 연산자 $W$ 는 고유하다.

정리. 연산자 $W$ 는 $L 2 (R n$ )의 푸리에 변환이다 $.$

이것은,(2π).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sf의 요인을 무시하는 것을 의미한다.는 푸리에 transform,의 정의에 Rac.den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}n/2.

\int_{\mathbf {R}^{n}e^{-ix\cdot p}e^{i(b\cdot x+hc)}\psi(x+ha)\x=e^{i(ha\c-b\cdot a)}\int _{\mathbf {R}^{n}e^{-iy\cdot (p-b)}\psi (y)\dy.

이 정리는 푸리에 변환이 플랑쉐렐 정리라고도 알려진 단일체라는 즉각적인 함축성을 가지고 있다. 게다가

(\alpha _{h}^{2}\mathrm {M}(a,b,c)=\mathrm {M}(-a,-b,c)

정리. 연산자 $W$ 는₁ 다음과 같다.

W_{1}U_{h}W_{1}^{*}=U_{h}\알파 ^{2}(g)

반사 연산자인가?

[W_{1}\psi ](x)=\psi(-x).

이 사실로부터 푸리에 반전 공식은 쉽게 따라온다.

예: 세갈-바르그만 공간

Segal-Bargmann 공간은 가우스 측정에 대해 정사각형 통합이 $가능$ 한ⁿ C의 홀로모르프 함수의 공간이다. Fock은 1920년대에 연산자들이 관찰한 바 있다.

a_{j}={\frac {\frac }{\reason z_{j}},\qquad a_{j}^{*}=z_{j}}}}

홀로모르프 함수에 따라 행동하며, 일반적인 전멸 및 창조 연산자와 같은 감화 관계를 만족시킨다. 즉,

\left[a_{j},a_{k}^{*}\right]=\cHB_{j,k}.

1961년, 바그만은 $a$ 가^∗
_j 가우스 측도에서 나오는 내적 제품에 대해 실제로 $a$ 의_j 부호임을 보여주었다. $a$ 와_j $a$ 의^∗
_j 적절한 선형 결합을 취함으로써 표준적 정류 관계를 만족하는 "위치"와 "모멘텀" 연산자를 얻을 수 있다. 이들 연산자의 지수화가 Weyl 관계를 만족시키고, 지수 연산자가 불가해하게 행동한다는 것을 보여주는 것은 어렵지 않다.^[6]^{: Section 14.4} 따라서 스톤-본 노이만 정리는 $L 2 (R n)$ 에서 세갈-바그만 공간까지의 단일 군도 지도의 존재를 적용하고 암시하며, 이 지도의 존재는 일반적인 섬멸과 창조 연산자와 $연산자 j$ a와 $a$ 를^∗
_j 뒤얽히게 된다. 이 단일 지도는 시걸-바그만 변형이다.

유한 하이젠베르크 집단의 표현

하이젠베르크 그룹 $H n (K)$ 는 모든 정류 링 $K$ 에 대해 정의된다. 이 절에서는 p 프라임( $prime$ )의 $K$ = Z/ $pZ$ 분야를 전문으로 다루도록 한다. 이 필드는 원 그룹 $T$ 에 첨가제 그룹으로서 $K$ 의 $Ω$ 이 내장되어 있다는 속성을 가지고 있다. $H n (K)$ 는 카디널리티 $K$ 와 유한하다는 점에 유의하십시오. 유한 하이젠베르크 그룹 $H n (K)$ 의 경우 표현 성격 함수의 단순한 특성을 이용하여 스톤-본 노이만 정리의 간단한 증거를 제시할 수 있다. 이러한 특성은 유한 집단의 표현 문자에 대한 직교 관계에서 나타난다.

$K$ 에서 0이 아닌 $h$ 에 대해 유한 차원 내부 제품 $공간 n$ representation( $K 2)$ 에 대한 표현 $U$ 를_h 정의한다.

왼쪽[왼쪽]U_{h}\mathrm {M}(a,b,c)\psi \right](x)=\omega(b\cdot x+hc)\psi(x+ha)}

정리. 고정된 0이 아닌

h

의 경우

U

의_h 문자 함수

χ

은 다음과 같이 주어진다.

\chi(\mathrm {M})(a,b,c)={\begin{case}K ^{n}\,\omega(hc)&{\text{}@a=b=0\\{\text}{otherwise}}}}}}}}}

그 뒤를 잇는다.

{\frac {1}{\왼쪽 H_{n}(\mathbf {K} )\오른쪽 }\sum _{g\in H_{n}(K)}\chi (g) ^{2}={\frac {1}{2n+1}}K ^{2n}K =1.

유한집단의 표현 문자에 대한 직교 관계에 의해 이 사실은 하이젠베르크 그룹 $H n (Z / pZ$ )에 해당하는 스톤-본 노이만 정리를 의미하며 $,$ 특히 다음과 같다.

$U$ 의_h 수정불가능성
$모든 h$ 대표 U의 쌍방향 불평등.

사실, 센터가 비독점적으로 $작용$ 하는_n H $(K)$ 의 모든 명백한 표현은 이런 방식으로 발생한다.^[6]^{: Chapter 14, Exercise 5}

일반화

스톤-본 노이만 정리는 수많은 일반화를 인정한다. George Mackey의 초기 연구의 대부분은 지역적으로 작은 위상학 집단의 단일적 표현이라는 맥락에서 유한 집단을 위해 원래 프로베니우스에 의해 개발된 유도 표현 이론의 공식화를^[7] 얻는 것을 목적으로 했다.

참고 항목

메모들

^ $[x n,$ $p]$ = $i$ ℏ $nx n - 1$ , 따라서 2 p $x$ ≥ $n$ $ℏ$ x, 그래서 $\forall n :$ 2 $p$ $x ℏ$ n $ℏ$ .

참조

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^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Hall, B.C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158
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Kirillov, A. A. (1976), Elements of the theory of representations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 220, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-07476-4, MR 0407202
로젠버그, 조나단(2004) "석-본 노이만 정리의 선택적 역사" 현대 수학 365. 미국 수학 협회
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[6] $[x n,$ $p]$ = $i$ ℏ $nx n - 1$ , 따라서 2 p $x$ ≥ $n$ $ℏ$ x, 그래서 $\forall n :$ 2 $p$ $x ℏ$ n $ℏ$ .

[1] von Neumann, J. (1931), "Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren", Mathematische Annalen, Springer Berlin / Heidelberg, 104: 570–578, doi:10.1007/BF01457956, ISSN 0025-5831, S2CID 120528257

[2] von Neumann, J. (1932), "Ueber Einen Satz Von Herrn M. H. Stone", Annals of Mathematics, Second Series (in German), Annals of Mathematics, 33 (3): 567–573, doi:10.2307/1968535, ISSN 0003-486X, JSTOR 1968535

[3] Stone, M. H. (1930), "Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, National Academy of Sciences, 16 (2): 172–175, Bibcode:1930PNAS...16..172S, doi:10.1073/pnas.16.2.172, ISSN 0027-8424, JSTOR 85485, PMC 1075964, PMID 16587545

[4] Stone, M. H. (1932), "On one-parameter unitary groups in Hilbert Space", Annals of Mathematics, 33 (3): 643–648, doi:10.2307/1968538, JSTOR 1968538

[5] Weyl, H. (1927), "Quantenmechanik und Gruppentheorie", Zeitschrift für Physik, 46 (1927) pp. 1–46, doi:10.1007/BF02055756; Weyl, H., The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Publications, 1950, ISBN 978-1-163-18343-4.

[Hall_2013-7] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Hall, B.C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158

[8] 맥키, G. W. (1976년). 시카고 대학 출판부의 유니터리 그룹 대표론, 1976.

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