초정식 대수

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이론 물리학에서, 초정식 대수는 등각 대수와 초대칭이 결합된 등급의 리 대수 또는 슈퍼 대수를 말한다.2차원에서 초정식 대수는 무한차원이다.고차원에서, 초정형 대수는 유한 차원이고 초정형 그룹을 생성한다. (2개의 유클리드 차원에서는, Lie 초대수는 어떤 Lie 초군도 생성하지 않는다.)

2보다 큰 차원의 초정식 대수

$($${\displaystyle p}$ +${\displaystyle }$$q$$$) { $displaystyle$$( p$ +$$$q$ ) 、 q }$차원$ $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R$,$$$$}$의 등각 그룹은 ${\displaystyle S}$ O${\displaystyle }$($p$ +$1$ ,$q$+ 1 $)$이고, 그 리 대수는 s${\displaystyle O}$(${\displaystyle \mathrm{p}}$$$+ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \mathrm{q}}$ + 1${\displaystyle }$)입니다$.$초정식 대수는 보손 $계수{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{s}o}$ (${\displaystyle }$p + ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle q}$ +${\displaystyle 1}$ ) $({$ $displaystyle${ $mathfrak${${\displaystyle \mathfrak{so}\}}$ ($p$ $+$1, q + 1$)$$$({ $displaystyle${$mathfrak {so$$(p$+ $1, q$+ 1)의$$ $스피너{\displaystyle \mathfrak{}}$ 표현으로 변환되는 홀수 생성기이다$.$Kacc의 유한 차원 단순 Lie 슈퍼 대수의 분류를 고려할 때, 이는 p$\displaystyle$ p$}$ $및$ q\$displaystyle$q$\}$의 작은 값에서만 발생할 수 있다. A(불완전할 수 있음) 목록은 다음과 같다.

• ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \mathfrak{o}}$ s p${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ N${\displaystyle 2}$, $2$${\displaystyle }$)$$${\displaystyle 、}$ s${\displaystyle \mathrm{o}}$ ( ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle 1}$ )$$（ $display$style \ $mathfrak {$ osp }^{ * $}$ ( 2 $N 2$ , 2 ) ） ${\displaystyle s}$ 、 $so ( 4$, 1 ) （ display style \ $mathfrak${$so$} ( 1 )$、$ 1 )
• ${\displaystyle \mathfrak{os}}$p${\displaystyle }$( ${\displaystyle N\mathrm{}}$4 $){$ $style${ $mathfrak${$osp$$$${\displaystyle \}(}$$N$${\displaystyle }$4 )}${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathrm{so}}$( 3${\displaystyle }$,${\displaystyle 2}$ $){ display$ { $mathfrak {$sp } ( 4$,$ \ $mathbb$ { $R$} $)\ simeq$ { so $}$ $( 3$ , $2$) ;
• ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {\mathfrak{s}}^{}}$ u u ${\displaystyle {}^{}}$ ( $2$ N${\displaystyle }$4 )$$≃${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle \mathrm{so}}$ ( 5 , ${\displaystyle 1}$ )$$ ${\displaystyle \mathrm{so<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{su\}\}^\{*\}(2N|4)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e468514cf862632277bf57e67699cbd50097153f"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; margin-left:\; -0.041ex;\; width:10.172ex;\; height:2.843ex;">}}$ ( 5${\displaystyle }$, 1 ){ $display$style { $mathfrak { su }^*$ } ($4$ ) \ $simeq$( \ $mathfrak${ $so }$ ( $5$, $1$) ;
• ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{s}}$${\displaystyle \mathrm{u}}$ (${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle 2}$ N $){$style { $mathfrak${ su } ($2$${\displaystyle }$,${\displaystyle }$$2 N$)${\displaystyle }$≃${\displaystyle \mathfrak{4}、}$ ${\displaystyle 2}$）\ $simeq$( \ $mathfrak${ $so$ ($2 , 2$ ) ; $s3{\displaystyle \mathfrak{}}$+1D로 $표시$합니다.
• ${\displaystyle \mathfrak{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{l}}$( ${\displaystyle 4}$N $)($${\displaystyle \mathrm{s}}$ l${\displaystyle }$( 4${\displaystyle }$,${\displaystyle R\mathbb{}}$ )${\displaystyle \mathfrak{s<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{sl\}\}(4|N)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3517ab28b64a72ad51186709c936f2b3bbccc53f"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; margin-left:\; -0.041ex;\; width:7.404ex;\; height:2.843ex;">}}$ ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle (3}$ , 3 $)({$ $display$style \ $mathfrak$ { sl } ( 4$,$ \ $mathbb${ $R }$ )\$simeq ($ \ $mathfrak$${$ $so }$ )$$$to$ 2D로 표시됩니다.
• 실제$형태의$F(4) {$style$F(4$)}$ 5차원으로$$ $표시$
• ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathfrak{s}}$${\displaystyle o{}^{}\mathrm{}}$(${\displaystyle 8,}$${\displaystyle {}^{}}$$)$의 ${\displaystyle \mathrm{스피너}}$ 및 기본 표현$(\mathfrak {so}(8,\mathbb {C})$이 외부 자동 형상에 의해 서로 매핑되기 때문에 5+1D로 $($,$2N)$ {$displaystyle${osp}(8,\mathbb {C})})을 사용할 수 ${\displaystyle \mathfrak{있습니다}}$.

3+1차원 초정식 대수

N{\displaystyle{{N\mathcal}}}supersymmetries과 3+1차원의superconformal 대수[1][2]에 따르면bosonic 발전기 P({\displaystyle P_{\mu}}, D{D\displaystyle}, Mμ ν{\displaystyle M_{\mu)}}, K({\displaystyle K_{\mu}}, U(1)R대칭에 의해서 주어진다. a $({$$displaystyle$ A$\},$ SU(N) $T_{j}^{$i$$}, 페르미온 ${\displaystyle {발생기}^{}}$ $({$ Q$^{\alpha$i$\}),$ $Q{\displaystyle {\stackrel{}{}display}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$display \ $displaystyle$ {$Q}^{i$ $Dot{\displaystyle {}_{}^{}}$ $S_style$ I)$e:$ {$S$$dots$$}$$여기$서 μ$,$${\displaystyle \mathrm{dot}}$,$display$, $display, display,$ display는$$ 시공간 $인덱스{\displaystyle }$, ${\displaystyle ,,}$ β$, alpha$${\displaystyle \stackrel{}{,}}$ $alpha$, alpha, alpha, display, dot$,$ display, dot,$display$, display, $display$, display, display, alpha, ${\displaystyle display\stackrel{}{}}$,${\displaystyle }$display, dot, display, display, display${\displaystyle ,}$ display, alpha, display, display, alpha, display, alpha, display, display, display, display, display, display, alpha, $d{\displaystyle }$ i${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j,}$ $...{displaystyle$ i$,j,\dots}$ 내부$$ R 대칭 지수.

보손 등각대수의 리 슈퍼브래킷은 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle [M_{\mu \nu }, M_{\rho \nu }, M_{\mu \lo }-\eta _{\mu \rho }-\eta _{\nu \lo }+\eta _{\nu \nu \nu \nu \nu }M_{\rho } \mu \rho \mu \mu \mu } }_{\mu \mu \mu } } } } } }$

$\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }=\eta _{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }}$

$\displaystyle [M_{\mu \nu },K_{\rho }=\eta _{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }}$

$\displaystyle [M_{\mu \nu },D]=0}$

$\displaystyle [D,P_{\rho }]=-P_{\rho }$

$\displaystyle [D,K_{\rho }]=+K_{\rho }$

$\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D}$

$\displaystyle [K_{n},K_{m}=0}$

$\displaystyle [P_{n},P_{m}=0}$

여기서 θ는 민코프스키 메트릭이며 페르미온 발생기의 메트릭은 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}_{\dot }^{j}=2\dot _{i}^{j}\dot _{\mu }}P_{\mu }}$

${\displaystyle \left,Q\right\}=\left\{\overline {Q},{\overline {Q}}\right\}=0}$

$\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{\dot {\dot }\right\}=2\dot _{j}^{i}\dot _{\mu }K_{\mu }}$

$\displaystyle \left \{S,S\right\}=\left\{\overline {S},{\overline {S}}\right\}=0}$

${\displaystyle\left\{Q,S\right\}=}$

$\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}\right\}=\left\{\overline {Q}},S\right\}=0}$

보손 컨포멀 제너레이터는 R 대칭 제너레이터와 함께 이동하기 때문에 R 전하를 전달하지 않습니다.

${\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}$

${\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}$

하지만 페르미온 발생기는 R 전하를 운반합니다.

${\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [A, {\overline {Q}}=black {1}{2}}{\overline {Q}}}$

$\ displaystyle [ A , S ] = flac {1} {2} }$

${\displaystyle [A, {\overline {S}}=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}$

${\displaystyle [T_{j}^i,Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}^k}=\delta _{j}^k}{\overline {Q}^i}$

${\displaystyle [T_{j}^{i}}S^{k}=\delta_{j}^{k}S^{i}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}_{k}}=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}_{j}}$

보스닉 컨포멀 변환에서 페르미온 발생기는 다음과 같이 변환됩니다.

${\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [D,{\overline {Q}}=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

$\ displaystyle [ D , S ] = flac {1} {2} }$

${\displaystyle [D, {\overline {S}} = flac {1} {2}} {\overline {S}}$

${\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}$

${\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}$

2차원 초정식 대수

2차원의 최소 초대칭 대수가 가능한 두 가지 대수가 있다. 네브-슈바르츠 대수와 라몬드 대수가 그것이다.예를 들어, N = 2 초정형 대수와 같은 추가적인 초대칭이 가능하다.

「 」를 참조해 주세요.

• 등각대칭
• 슈퍼 비라소로 대수
• 초대칭 대수

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