Wess–Zumino 모델

이론 물리학에서 웨스-주미노 모델은 선형적으로 실현된 초대칭과 상호 작용하는 4차원 양자장 이론의 첫 번째 알려진 예가 되었습니다. 1974년 줄리어스 웨스(Julius Wess)와 브루노 주미노(Bruno Zumino)는 현대 용어를 사용하여 입방 초퍼텐셜이 재규격화 가능한 이론으로 이어지는 단일 카이랄 초장(복소 스칼라와 스피너 페르미온으로 구성됨)의 역학을 연구했습니다.^[1]

이 기사의 치료는 대체로 초대칭에 대한 피게로아-오파릴의 강의와 ^[2]어느 정도 통의 강의를 따릅니다.^[3]

이 모델은 초대칭 양자장 이론에서 중요한 모델입니다. 그것은 거의 틀림없이 4차원에서 가장 간단한 초대칭 필드 이론이며, 눈에 띄지 않습니다.

웨스-주미노 액션

예비처리

시공간 및 물질 내용

예비 처리에서 이론은 평평한 시공간(민코프스키 공간)에서 정의됩니다. 이 기사의 경우 메트릭에는 대부분 + 서명이 있습니다. 물질 내용은 실제 스칼라 필드 $S$ ${\displaystyle S$ 실제 유사 스칼라 필드 $P$ ${\displaystyle P}$및 실제(마조라나) 스피너 필드$$ψ${\displaystyle$psi}입니다.

이는 논문 후반에 등장하는 초공간이나 초장에 대한 이론을 개발하지 않고 시공간의 함수인 친숙한 스칼라와 스피너 필드의 관점에서 이론을 작성한다는 의미에서 예비 처리입니다.

자유 질량 없는 이론

질량이 없고 자유로운 Wess-Zumino 모형의 라그랑지안은

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{kin}}=-{\frac {1}{2}}(\partial S)^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial P)^{2}-{\frac {1}{2}}-{\bar {\psi }\partial \!!\!/\psi,}$

어디에

• ${\displaystyle \partial \!\!\!/=\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}}$
• ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{t}C=\psi ^{\dagger }i\gamma ^{0}}$

그에 상응하는 조치는

${\displaystyle I_{}{}_{}{i}_{}{}_{}}$ =$$ d 4 x L kin {\$displaystyle I_${\text{${\displaystyle k_{}}$in}}=\int d^{4}x{\mathcal {L}_{\text{kin}}.

거대이론

형태의 질량항을 추가할 때 초대칭이 보존됩니다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{m}}=-{\frac {1}{2}m^{2}S^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}P^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}{\bar {\psi }}\psi }$

상호작용론

결합 상수$$λ {\displaystyle$$\lambda}과(와) 교호작용 항을 추가할 때 초대칭이 보존됩니다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}=-\lambda \left ({\bar {\psi }}(S-P\gamma_{5})\psi +{\frac {1}{2}}\lambda(S^{2}+P^{2})^{2}+mS(S^{2}+P^{2})\right)}$

그리고 나서 이 라그랑지안들을 합함으로써 완전한 Wess-Zumino 작용이 주어집니다.

대체식

필드를 구성하는 다른 방법이 있습니다. 실제 $필드$ S ${\displaystyle S}$ $및$ P ${\displaystyle$ P$}$는 단일 복잡한 스칼라 필드 ϕ:=${\displaystyle \mathrm{12}}$(${\displaystyle S}$ ${\displaystyle +}$iP ), {\displaystyle \phi :={\frac {1}{2}}(S+iP)로 결합된 반면, Majorana 스피너는 두 개의 Weyl $스피너$인 ψ =(χ α,${\displaystyle {\stackrel{}{}\stackrel{}{}}_{}}$χ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$¯$$˙) ${\$displayst${\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{yle\; \backslash }}}_{}}$psi =(\chi^{\alpha}} {\bar {\chi}}_{\dot {\alpha}}}. 초전위 정의

${\displaystyle W(\phi ):={\frac {1}{2}}m\phi ^{2}+{\frac {1}{3}}\lambda \phi ^{3},}$

Wess-Zumino 조치도 작성할 수 있습니다(몇 가지 상수 요인을 다시 발표한 후 가능).

$($ϕ$)$ {\$displaystyle$W$(\backslash$phi )}를 대입하면, 이것이 동일한 질량의 거대한 복잡한$스칼라$ ϕ${\$displaystyle \phi}와 $거대$한$Majorana$ spinor$$ψ {\displaystyle \psi}를 가진 이론임을 알 수 있습니다. 상호 작용은 3차 및 4차$$ϕ {\displaystyle$$\phi } 상호 작용이며, ϕ${\$displaystyle \phi $\}$와 ψ {\displaystyle \$psi$} 사이의 유카와 상호 작용입니다. 이는 모두 비초대칭 양자장 이론의 과정에서 익숙한 상호 작용입니다.

초공간 및 초공간 사용

초공간 및 초장 컨텐츠

초공간은 좌표$($θ ${\displaystyle {\alpha }^{\stackrel{}{,}}}$ θ ¯ α ˙)를 갖는 4차원 공간인 '스핀 공간'을 갖는 민코프스키 공간의 직접 합으로 구성되며$,$ 여기서 α, α ˙ ${\$displaystyle \alpha$,{\dot$ {\alpha}}는 1, 2의 값을 취하는${\displaystyle \mathrm{인덱스}}$입니다.${\displaystyle 1,2.}$ 좀$$ 더 공식적으로 초공간은 초포앵카레 그룹에서 로렌츠 그룹의 오른쪽 코셋 공간으로 구성됩니다.

'스핀 좌표'가 4개뿐이라는 것은 이것이 $N$ = ${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle {\mathcal {N}}=1} 초대칭으로 알려진 이론이며, 이는 단일 초전하를 갖는 대수학에 해당한다는 것을 의미합니다. $8$ = ${\displaystyle 4}$+$$4 {\$displaystyle$ 8=4+4}차원 초공간은 때때로 R 1, 34 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1,34}라고 쓰이며, 슈퍼 민코프스키 공간이라고 부릅니다. '스핀 좌표'는 각운동량과의 어떤 관계 때문이 아니라 스핀 통계 정리로 인해 양자장 이론에서 스피너의 전형적인 성질인 반통전수로 취급되기 때문에 그렇게 불립니다.

$그러면$ $슈퍼필드$φ ${\$displaystyle \Phi}는 초공간,${\displaystyle }$φ =$$φ(x,$$θ$,$θ ¯)${\displaystyle$\Phi =\Phi(x,\theta,{\bar {\theta}}}에 대한 함수입니다.

초공변량 도함수의 정의

${\displaystyle {\bar {D}_{\dot {\alpha }}={\bar {\alpha }}_{\dot {\alpha }}-i ({\bar {\sigma }^{\mu })_{\dot {\alpha }}\beta }\theta ^{\beta }\partial_{\mu }}$

카이랄 초장은 ${\displaystyle D_{}}$ ¯ α ˙ φ = 0. {\displaystyle {\bar {D}_{\dot {\alpha}}\Phi = 0.} 필드 내용은 단순히 단일 카이랄 초장입니다.

그러나 카이랄 초장은 확장을 인정한다는 의미에서 장을 포함합니다.

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (y)+\theta \chi (y)+\theta ^{2}F(y)}$

with ${\displaystyle y^{\mu }=x^{\mu }-i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}.}$ Then ${\displaystyle \phi }$ can be identified as a complex scalar, ${\displaystyle \chi }$ is a Weyl spinor and ${\displaystyle F}$ is an auxiliary complex scalar.

이 필드는 ϕ $$= $(S$${\displaystyle }$+$iP$) ${\$displaystyle \phi =${\$frac {1}{2}}(S+iP)} 및 ψ a =(χ α, χ ¯ α ˙)로 추가 레이블을 지정합니다. {\displaystyle \psi ^{a}=(\chi^{\alpha}, {\bar {\chi }}_{\dot {\alpha }}입니다.$}$이를$$ 통해 운동 방정식을 사용하여$$ 비다이나믹 $F {\displaystyle$ F$}$를 제거한 후 예비 형태를 복구할 수 있습니다.

자유로운 질량 없는 행동

카이랄 슈퍼필드$$φ${\$displaystyle$$\Phi}의 용어로 작성하면 (자유 질량 없는 Wess–Zumino 모델의 경우) 동작이 간단한 형태로 이루어집니다.

${\displaystyle \int d^{4}xd^{2}\theta d^{2}{\bar {\theta }}\,\,2{\bar {\Phi }}\Phi }$

${\displaystyle {}^{}}$서 ∫ d 2 θ, ∫$$d $2$θ ¯ {\$displaystyle \int$d^{$2}\$theta,\int d^{2}{\bar {\theta}}는 스핀 또는 초공간 차원에 대한 적분입니다.

초퍼텐셜

질량과 교호작용은 초전위를 통해 추가됩니다. Wess–Zumino 초퍼텐셜은

${\displaystyle W(\Phi )=m\Phi ^{2}+{\frac {4}{3}}\lambda \Phi ^{3}.}$

$W{\displaystyle (}$φ) ${\displaystyle$W(\Phi )}는 복잡하므로 작업이 실제인지 확인하려면 해당 결합체도 추가해야 합니다. 전체 Wess-Zumino 작업이 작성되었습니다.

행동의 초대칭

예비처리

작용은 다음에 의해 무한소 형태로 주어진 초대칭 변환 하에서 불변합니다.

${\displaystyle \delta _{\epsilon }S={\bar {\epsilon }}\psi }$

${\displaystyle \delta _{\epsilon }P={\bar {\epsilon }}\gamma _{5}\psi }$

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\psi =[\partial \!\!\!/-m-\lambda (S+P\gamma _{5})](S+P\gamma _{5})\epsilon }$

여기서$$ϵ ${\displaystyle$\epsilon}은 Majorana 스피너 값 변환 ${\displaystyle {파라미터}_{}}$이고$$γ 5${\displaystyle$ $\$gamma _{5}}는 chirality 연산자입니다.

변환 하에서 대체 형태는 불변입니다.

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi = {\sqrt {2}}\epsilon \chi }$

${\displaystyle {\delta }_{}}$ϵ χ =${\displaystyle {}_{}2}$i${\displaystyle {\mathrm{\sigma \; \mu }}_{}}$ϵ ¯${\displaystyle {}_{}}$∂ μ ϕ${\displaystyle {-}_{}}$2 ϵ${\displaystyle {\mathrm{\partial \; W\; †}}_{}}$∂ ϕ † {\displayst${\displaystyle {\mathrm{yle\; \backslash }}_{}}$delta _{\epsilon }${\displaystyle {\backslash }_{}}$chi ={\sqrt {${\displaystyle {\mathrm{2\}\}i\backslash s}}_{}}$igma ^{\mu}{\bar {\epsil${\displaystyle {\mathrm{on\; \}\backslash pa}}_{}}$rtial _{\mu }\phi -{\sqrt {2}\epsilon {\fr${\displaystyle {\mathrm{ac\; \{\backslash pa}}_{}}$rtial W^{\dagge${\displaystyle {\mathrm{r\; \}\{\backslash pa}}_{}}$rtial \ph${\displaystyle {\mathrm{i\; ^\{\backslash da}}_{}}$gger }}}.

초공간 변환에 대한 이론을 개발하지 않고 이러한 대칭은 임시방편적으로 나타납니다.

슈퍼필드 처리

$동작$을 S = ∫ d ${\displaystyle 4^{}}$ $x$d 4 θ K (x${\displaystyle ,}$ θ, θ ¯) ${\$displaystyle S =\int d^{4}xd^{4}\theta K(x,\theta,{\bar {\theta}}}라고 쓸 수 있다면, K {\displaystyle K^{\dagger} = K}는 실제 초장입니다.

$그렇다면$ K =$$φ$$¯ φ {\displaystyle K = {\bar {\Phi}}\Phi}의 실체는 초대칭 하에서 불변임을 의미합니다.

초고전대칭

등각대칭

질량 없는 Wess-Zumino 모델은 초적합 대수에 의해 대수 수준에서 설명되는 더 큰 대칭 집합을 허용합니다. 여기에는 푸앵카레 대칭 생성기와 초대칭 변환 생성기뿐만 아니라 등각 대수와 등각 초대칭 생성기 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$가 포함됩니다$.$

등각 대칭은 확장의 경우 등각 생성기 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$},$ 특수 등각 변환의 경우 ${\displaystyle {K\mu }_{}}$ ${\$ 아래에서 불변성을 깨는 추적 및 등각 이상에 의해 양자 수준에서 깨집니다.

R대칭

$U{\displaystyle }$(${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle {\text}$$U$$}}(1)}$ N $=$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle${\mathcal {N}}$=$ 1$}$ 초대칭의 R-대칭은 초퍼텐셜 W($φ$) {\displaystyle W(\Phi)}가 단항일 때 유지됩니다. ${\displaystyle 이}$는 $W{\displaystyle (}$ϕ) = $12m$ϕ 2 ${\$displaystyle W(\$phi$ ) = {\$frac$ {1}{2}m\phi^{2}} 중 하나를 의미하므로 슈퍼필드 φ {\displaystyle \Phi }이(가) 무겁지만 자유롭거나(비 interact), W(φ λ ϕ) = 13 lambda 3 {\displaystyle W(\Phi ) = {\frac {1}{3}\possibly \phi ^{3}}를 의미하므로 이론은 질량이 없지만(possibly) 상호 작용합니다.

이것은 비정상적으로 양자 수준에서 깨집니다.

다중 카이랄 슈퍼필드에 대한 조치

이 동작은 ${\displaystyle \mathrm{i}}$ = $1,$⋯$,$$N$ {\displaystyle i = 1,\cdots,N}인 여러 카이랄 슈퍼필드 φ i ${\displaystyle$\Phi ^{$i$}로 바로 일반화됩니다. 가장 일반적인 재규격화 가능한 이론은

${\displaystyle I=\int d^{4}x\,d^{4}\theta \,K_{i{\bar {j}}}\Phi^{i}\Phi ^{\dagger {\bar {j}}}+\int d^{4}x\left[\int d^{2}\theta \,W(\Phi )+{\text{h.c.}}\right]}$

잠재력이 있는 곳에

$φ$$Phi ^{i}+{\frac {1}{2}}m_{ij}\$$Phi^{i}\$$Phi ^{j}+{\frac {1}{3}}\lambda _{ijk}\$$Phi^{i}\$$Phi^{j}\$$Phi^{k$

여기서는 암묵적 합산이 사용됩니다.

φ$$$i$ {\displaystyle $\Phi$^{i}}가 ${\displaystyle GL(}$N$,$ C) ${\displaystyle {\text{GL$}}(N$,\mathbb$ $\{$C})}${\displaystyle \mathrm{아래}}$에서 ${\displaystyle \text{변환}}$되는 좌표를 변경하면 일반성 손실 없이 Kij ¯ =$$δ$ij$¯ {\displaystyle $K_${i{\bar {j}}=\delta _{i{\bar {j}}}를${\displaystyle {\stackrel{}{}설정}_{}}$할 수 ${\displaystyle {있습니다}_{}}$. 이 선택으로 표현식 $K$ =$$δ i ¯ i φ$$† j ¯ {\displaystyle K =\delta _{i{\bar {j}}\$Phi^{i}\$$Phi^{\dagger {\bar {j}}}$는 표준 켈러 퍼텐셜로 알려져$$ 있습니다. 질량 행렬 ${\displaystyle {\mathrm{mj}}_{}}$ ${\$를 대각화하기 위해 단일 변환을 수행할 수 있는 잔여 자유가 있습니다$.$

$N$ = ${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle N = 1}일 때, 배수가 크면 바일 페르미온은 마요라나 질량을 갖습니다. 그러나 $N{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$인 $경우$$,$ {\displaystyle N = 2,} $초퍼텐셜$이 W(φ, φ ~ ) = M φ ~ φ. {\displaystyle W(\Phi,{\tilde {\Phi}}) = m{\tilde {\Phi}}\Phi.} 이 이론은 U(1) {\displaystyle {\text{$U}}(1)}$ 대칭, 여기서$$$φ$, $φ$ ~${\displaystyle$\Phi$,{\$tilde {\Phi}}는 반대 전하로 회전합니다.

슈퍼QCD

일반 $N$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\{\backslash }}_{}}$$displaystyle$ N$}$의 경우 $W{\displaystyle (}$φ a${\displaystyle {}_{}}$ φ ~ ${\displaystyle a}$) = M φ ~$$φ${\displaystyle$W(\Phi_{a}, {\tilde {\Phi}}_{a$})$ = m{\tilde {\Phi}}_{a}\$Phi _{a}}$에 ${\displaystyle \text{SU}(N)}$ ${\displaystyle {\text}$가 있습니다.$SU}}(N)}$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$$φ$ a$,$ $φ$ ~${\displaystyle \Phi$ _{a$}, {\tilde$ {\Phi }}_{a}가 반대 전하로 $회전$할 때 대칭입니다. ${\displaystyle \text{U}}$$∈$ SU ($N)${\$display$ U\ in {\text}$SU}}(N)}$

${\displaystyle \Phi_{a}\maps to U_{a}{}^{b}\Phi _{b}}$

$φ$ -$↦$ (U${\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{}}}_{}}$- 1) b φ ~ b {\displaystyle {\tilde {\Phi }}_{a}\mapsto (U^{-1})_{a}^{\tilde {\Phi }_{b}.

이 대칭성을 측정하고 초대칭 양-밀스와 결합하여 슈퍼 QCD로 알려진 양자 색역학에 대한 초대칭 유사체를 형성할 수 있습니다.

초대칭 시그마 모형

재규격화 가능성을 주장하지 않는 경우 두 가지 일반화가 가능합니다. 그 중 첫 번째는 보다 일반적인 잠재력을 고려하는 것입니다. 두 번째는 K ${\displaystyle$ K$}$를 운동항에서$$ 고려하는 것입니다.

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,d^{2}\theta ^{2}\,d^{2}{\bar {\theta }}^{2}K(\Phi ,{\bar {\Phi }})}$

실제 기능이 되려면 K$$= ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$(φ, φ ¯) {\displaystyle \Phi^{i}}의 {\displaystyle K = K(\Phi, {\bar {\Phi}}} 및 φ ¯ j ¯ {\displaystyle {\bar {\Phi}}^{\bar {j}}}.

변환 $K{\displaystyle {}^{}}$φ${\displaystyle ,}$φ †${\displaystyle \stackrel{}{}}$ +$$λ$$¯$($φ) + λ$$¯$($φ ¯) ${\displaystyle$K(\Phi,\Phi ^{\dagger })+\Lambda(\Phi )+{\bar {\Lambda }}({\bar {\Phi }}: 이를 케흘러 변환이라고 합니다.

이 이론을 고려하면 켈러 기하학과 초대칭 필드 이론의 교차점이 됩니다.

K {\displaystyle K}의$$도함수와 φ$$φ$$¯ {\displaystyle \Phi,{\bar {\Phi}}의${\displaystyle }$구성 슈퍼필드인 φ ¯ {\displaystyle \Phi,{\bar {\Phi}}의 켈러 전위 K$displaystyle$phi,{\bar {\Phi}})}를 확장한 다음 보조필드 F를 제거하여,$F ¯$ {\displaystyle F,{\$bar {F}}$ 운동 방정식을 사용하면 다음 식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle S_{K}=\int d^{4}x\left[g_{i{\bar {j}}}(\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial ^{\mu }{\bar {\phi }}^{\bar {j}})+g_{i{\bar {j}}}{\frac {i}{2}}(\nabla_{\mu}\psi ^{i}\sigma ^{\mu}{\bar {\psi }}^{\bar {j}}-\psi ^{i}\sigma ^{\mu}\nabla _{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {j}})+{\frac {1}{4}}R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}(\psi ^{i}\psi ^{k})({\bar {\psi }^{\bar {j}}{\bar {\psi }}^{\bar {l}}\right]}$

어디에

• $gij ¯$ {\$displaystyle g_{i{\$bar {j}}}는 Kähler 메트릭입니다. 켈러 변환 하에서는 불변입니다. 운동항이 양의 확정이면 $gij$¯ {\$displaystyle g_{i{\$bar {j}}}는 가역적이므로 역$gij$ ¯ {\$displaystyle$g^{i{\bar {j}}}을 정의할 수 있습니다.

• The Christoffel symbols (adapted for a Kähler metric) are ${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=g^{i{\bar {l}}}\partial _{j}g_{k{\bar {l}}}}$ and ${\displaystyle {\overline{\mathrm{\Gamma }}}^{\overline{i}}{}_{\overline{j}\overline{k}}=g^{l\overline{i}}{\mathrm{\partial }}_{\overline{j}}{g}_{l\overline{k}}.}$${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{\bar {i}}_{\bar {j}}{\bar {k}}=g^{l{\bar {i}}\partial _{\bar {j}}g_{l{\bar {k}}}.$$}$

• ${\displaystyle {공변}^{}}$ 도함수 ∇$$μ ψ$i {\$displaystyle \n$abla_{\mu}\psi$$^{$i}} ${\displaystyle {및}_{}}$$∇$ $μ$ $ψ ¯$ j $¯$ {\displaystyle \n$abla_{\mu}{\bar {\psi }}^{\$bar {j}}가 정의되었습니다.

${\displaystyle \nabla_{\mu}\psi ^{i}=\partial _{\mu}\psi ^{i}+\감마^{i}_{jk}\psi ^{jk}\partial _{\mu}\phi^{k}}$

그리고.

${\displaystyle \nabla_{\mu }{\mu }{\bar {i}}^{\bar {i}}=\partial _{\mu }\psi ^{\bar {i}+{\gamma }}^{\bar {i}}{\bar {j}}{\bar {k}}}{\bar {\psi }}^{\bar {j}}}{\bar {j}}\partial _{\mu}{\bar {\phi }}^{\bar {k}}}$

• The Riemann curvature tensor (adapted for a Kähler metric) is defined ${\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g_{m{\bar$${j}}\partial _{\$bar {$l}}\감마 ^{m}{_{$ik}$=$\$partial$ _{k$}\partial$ _${\bar${l$}}g_${i${\bar$ {j}}-g^{m{\bar {n}}(\$partial$ _{k}g_{i{\bar {n}})\$partial$ _{\bar {l}}g_{m{\bar {n}})}.

초전위 추가

초퍼텐셜$W$(φ$) {\displaystyle$ W(\Phi )}를 추가하여 보다 일반적인 작업을 구성할 수 있습니다.

${\displaystyle S=S_{K}-\int d^{4}x\left[g^{i{\bar {j}}\partial _{i}W\부분 _{\bar {j}}{\bar {W}}+{\frac {1}{4}}\psi ^{i}\psi ^{j}H_{ij}(W)+{\frac {1}{4}}{\bar {\psi }}^{\bar {i}}{\bar {\psi }}^{\bar {j}}H_{\bar {i}}{\bar {j}}({\bar {W}})\right]}$

$여기$서 W ${\displaystyle$ W$}$의 헤시언들이 정의됩니다.

${\displaystyle H_{ij}(W)=\nabla_{i}\partial _{j}W=\부분 _{i}\partial _{j}W-\감마^{k}{}_{ij}\partial _{k}W}$

${\displaystyle {\bar {H}}_{{\bar {i}}{\bar {j}}}({\bar {W}})=\n$$abla_{\bar {i}}\partial _{\bar {j}}{\bar {W}}=\부분 _{\bar {i}}\partial _{\bar$${j}}{\bar {W}}-\Gamma ^{\bar {k}}{{\bar {i}}{\bar {j}}\부분 _{\bar {k}}{\bar {W$

참고 항목

• N = 4 초대칭 양-밀스 이론
• 초배수

참고문헌