초대칭 양자역학

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이론물리학에서 초대칭 양자역학은 양자장 이론이 아닌 평이한 양자역학의 단순한 설정에 초대칭이 적용되는 연구 영역이다. 초대칭 양자역학은 양자역학 문제를 해결하기 위한 새로운 방법 제공, WKB 근사치에 유용한 확장 제공, 통계역학 등 고에너지 물리학 이외의 응용 분야를 찾아냈다.

소개

초대칭(SUSY)의 결과를 이해하는 것은 수학적으로 위압적인 것으로 증명되었고, 마찬가지로 대칭 파괴, 즉 동일한 질량의 관측된 파트너 입자의 부족을 설명할 수 있는 이론을 개발하는 것도 어려웠다. 이러한 문제를 진전시키기 위해 물리학자들은 양자장 이론과는 반대로 양자역학에 초대칭 초대칭 양자역학을 응용한 초대칭 양자역학을 개발했다. 이 단순한 환경에서 SUSY의 결과를 연구하면 새로운 이해로 이어질 것으로 기대되었다; 놀랍게도, 그 노력은 양자역학 그 자체로 새로운 연구 영역을 만들었다.

예를 들어, 학생들은 전형적으로 슈뢰딩거 방정식에 쿨롱 전위를 삽입하는 것으로 시작하는 힘든 과정을 통해 수소 원자를 "용해"하도록 배운다. 많은 미분 방정식을 사용하여 상당한 양의 작업을 수행한 후, 이 분석은 라구에르 다항식들에 대한 재귀 관계를 생성한다. 최종 결과는 수소-원자 에너지 상태의 스펙트럼이다(양자수 n과 l로 표시됨). SUSY에서 도출된 아이디어를 사용하여 최종 결과를 상당히 쉽게 도출할 수 있으며, 이는 운영자 방법이 고조파 발진기를 해결하기 위해 사용되는 것과 거의 동일한 방식으로 도출할 수 있다.^[1] Dirac 방정식을 사용하여 수소 스펙트럼을 보다 정확하게 찾기 위해 유사한 초대칭 접근법을 사용할 수도 있다.^[2] 이상하게도 이 접근법은 에르윈 슈뢰딩거가 수소 원자를 처음 해결한 방식과 유사하다.^[3][4] 물론 SUSY가 향후 30년이므로, 그는 자신의 솔루션을 초대칭이라고 부르지는 않았다.

수소 원자의 SUSY 솔루션은 SUSY가 양자역학 입문 과정에서 가르친 대부분의 잠재력을 포함하는 범주인 형체 내 변이성 전위에 제공하는 매우 일반적인 솔루션 등급의 한 예일 뿐이다.

SUSY 양자역학은 파트너 해밀턴이라고 불리는 특정한 수학 관계를 공유하는 해밀턴인 쌍을 포함한다. (Hamiltonians에서 발생하는 잠재적 에너지 용어를 파트너 포텐셜이라고 부른다.) 입문 정리는 한 해밀턴의 모든 고유 상태에 대해 파트너 해밀턴이 동일한 에너지를 가진 해당 고유 상태를 가지고 있다는 것을 보여준다(아마도 에너지 고유성이 0인 경우는 제외). 이 사실은 고유국가 스펙트럼의 많은 성질을 추론하는데 이용될 수 있다. 보손과 페르미온을 지칭한 SUSY의 원래 설명과 유사하다. 우리는 "보소닉 해밀턴인"을 상상할 수 있는데, 그의 고유 성분은 우리 이론의 다양한 보손이다. 이 해밀턴의 SUSY 파트너는 "페르미오닉"일 것이고, 그 고유성은 이론의 페르미온일 것이다. 각 보손은 동일한 에너지의 페르미온적 파트너를 가질 것이다. 그러나 상대론적 세계에서는 에너지와 질량이 서로 교환할 수 있기 때문에 우리는 쉽게 파트너 입자의 질량이 동일하다고 말할 수 있다.

SUSY 개념은 Bohr-Sommerfeld 정량화 조건의 수정된 버전의 형태로 WKB 근사치에 유용한 확장을 제공했다. 또한 SUSY는 Fokker-Planck 방정식을 통해 비양적 통계역학에 적용되어 고에너지 입자물리학의 원래 영감이 사각지대로 밝혀져도 그 조사로 많은 유용한 이익을 가져왔음을 보여주고 있다.

예제: 고조파 오실레이터

고조파 오실레이터의 슈뢰딩거 방정식은 형태를 취한다.

${\displaystyle H^{\rm {HO}}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{\rm {HO}\psi _{n}(x),}$

$여기$서 ${\displaystyle {\psi n}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$은(는) ${\displaystyle H^{}}$H O {\$displaystyle$ H$^{{\$$displaystyle n}$ th$$ 에너지 고유 상태임$$.에너지 ${\displaystyle {En}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle O_{}^{}}$ ${\$n}}}이$$(가) 있는 $HO}}{$${\displaystyle {HO}_{}^{}}$$\}\}.$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle E_$${n}^{\rm {HO$$}}}$에 대한$$ 표현식을 찾고자 함$.$ 연산자를 정의함.

${\displaystyle A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)}$

and

${\displaystyle A^{\dagger }=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x),}$

where ${\displaystyle W(x)}$, which we need to choose, is called the superpotential of ${\displaystyle H^{\rm {HO}}}$. We also define the aforementioned partner Hamiltonians ${\displaystyle H^{(1)}}$ and ${\displaystyle H^{(2)}}$ as

${\displaystyle H^{(1)}=A^{\dagger }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)}$

${\displaystyle H^{(2)}=AA^{\dagger }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).}$

A zero energy ground state ${\displaystyle \psi _{0}^{(1)}(x)}$ of ${\displaystyle H^{(1)}}$ would satisfy the equation

${\displaystyle H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }A\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x){\bigg )}\psi _{0}^{(1)}(x)=0.}$

Assuming that we know the ground state of the harmonic oscillator ${\displaystyle \psi _{0}(x)}$, we can solve for ${\displaystyle W(x)}$ as

${\displaystyle W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m}{\bigg}{0}^{0}{0}^{0}(x)}{\psi _{0}}}{\bigg )=x{\sqrt {mega ^{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

그리고 나서 우리는 그것을 발견한다.

${\displaystyle H^{1}={\frac {-\hbar ^{2}}:{{d^{2}}:{dx^{2}}:}+{\frac {m\omega^{2}}:00x^{2}}:00}-{{2}}:x^{2}}:x^-{\frac {\hbar \hbar }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle H^{{}}={\frac {-\hbar ^{2}}:{d^{2}}:{dx^{2}}:}+{\frac {m\omega^{2}}:}}}{{2}}:00x^{2}}:00x^{2}}:00}}}}{\frac {\hbar \omega }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

이제 알 수 있다.

${\displaystyle H^{(1)=H^{(2)-\hbar \omega=H^{\rm {HO}-{\frac {\hbar \omega}{2}.}$

이것은 형체 불변성의 특별한 경우로, 아래에서 논의된다. 위에서 언급한 도입 정리를 증명하지 않고 보면, $H{\displaystyle {}^{}}$( $){\$ H$^{(1)}$의 스펙트럼이 ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E_{0}=0}}$부터 시작하여 $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Omega }$의 스텝으로 위쪽으로 계속된다는$$ 것이 명백하다${\displaystyle .}$ ${\displaysty \hbar \omega.}$$H$ ($2$) ${\$)의 $스펙트럼과 {\$displaystyp){{{{{{{{{}}}}}}}}}의 스펙트럼은$$ 각각이다$.$${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{O}}^{}}$ ${\$은(는) 균일한 간격을 가지지만$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ 및$$ ${\displaystyle \Omega }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaysty \hbaromega /2}$만큼 위로 이동한다$.$ 따라서 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{H}}^{}}$ O ${\$의 스펙트럼은 $친숙$한 ${\displaystyle {En}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{H}}_{}^{}}$O = ${\displaystyle \Omega }$($n$+ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/${\displaystyle }$2 $){\n}^{\rm}^{{HO}=\hbar \omega(n+1/2)}$인 것으로 보인다$$$.$

SUSY QM 슈퍼걸브라

근본적인 양자역학에서, 우리는 연산자의 대수학은 그러한 연산자들 사이의 정류 관계에 의해 정의된다는 것을 배운다. 예를 들어, 위치 및 운동량의 표준 연산자는 정류자$[{\displaystyle x}$, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ]}$= i ${\displaystyle [x,p]=i}$을$($를) 가지고 있다.(여기서 플랑크의 상수가 1과 동일하게 설정된 "자연 단위"를 사용한다.) 더 복잡한 경우는 각운동량 연산자의 대수다. 이러한 양은 3차원 공간의 회전 대칭과 밀접하게 연결되어 있다. 이 개념을 일반화하기 위해, 우리는 운영자를 일반 정류자와 동일한 방식으로 연결하지만 반대 기호인 안티코무터를 정의한다.

${\displaystyle \{A,B\}=AB+BA.}$

만약 연산자가 정류자뿐만 아니라 해독기에 의해 연관되어 있다면, 우리는 그것들이 리 슈퍼알제브라에 속한다고 말한다. Let's say we have a quantum system described by a Hamiltonian ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ and a set of ${\displaystyle N}$ operators ${\displaystyle Q_{i}}$. We shall call this system supersymmetric if the following anticommutation relation is valid for all ${\displaystyle i,j=1,\ldot$$s ,N}$:

${\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}^{\dager }\}\}={\mathcal {H}\delta _{ij}.}$

이 경우 $Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 시스템$$ 과대 요금이라고 부른다.

예

2D(즉, 두 상태)의 내적 자유도인 "spin" ("real" spin은 3D 입자의 속성이기 때문에 실제로는 회전하지 않는다)를 가지는 1차원 비상대적 입자의 예를 보자. $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) "spin up" 입자를 "spin down" 입자로 변환하는 연산자가 되도록$$ 한다. Its adjoint ${\displaystyle b^{\dagger }}$ then transforms a spin down particle into a spin up particle; the operators are normalized such that the anticommutator ${\displaystyle \{b,b^{\dagger }\}=1}$. And of course, ${\displaystyle b^{2}=0}$. Let ${\displaystyle p}$ be the momentu입자 $및{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$의 m은${\displaystyle }$[${\displaystyle x}$, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle i}$ ${\$$displaystyle [x,p]=$$i{\displaystyle }$$\}.$ W {\$displaystyle$ $W$$}("$초전위")는 $x{\displaystyle }$ ${\displaysty$ x$}$의 임의 복합 분석 함수가 되도록 하고$$ 초대칭 연산자를 정의한다.

${\displaystyle Q_{1}={\frac {1}{2}}\왼쪽[(p-iW)b+(p+iW^{\dager }b^{\dager }\dager }}}}}}}$

${\displaystyle Q_{2}={\frac {i}{2}}\왼쪽[(p-iW)b-(p+iW^{\dager }}b^{\dager }\dager }}}}}}}$

$Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}은 자가합격이라는$$ 점에 유의하십시오. 해밀턴인 렛트

${\displaystyle H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2}}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

여기서 W'는 W의 파생어다. 또한 {Q₁,Q₂}=0. 이것은 N = 2 초대칭에 지나지 않는다. $\Im {\displaystyle \mathrm{}\{W\}}$ ${\displaystyle \Im \{W\}}$은(는) 전자기 벡터 전위처럼 작용한다는$$ 점에 유의하십시오.

스핀 다운 상태를 "보소닉"이라고 부르고 스핀 업 상태를 "페르미오닉"이라고 부르자. 이것은 양자장 이론과 유사할 뿐이며 문자 그대로 받아들여서는 안 된다. 그런₁ 다음 Q와 Q는₂ "보소닉" 상태를 "페르미오닉" 상태로 매핑하고 그 반대로 매핑한다.

이것을 약간 수정해보자.

정의

${\displaystyle Q=(p-iW)b}$

그리고 물론.

${\displaystyle Q^{\daugger }=(p+iW^{\daugger }b^{\daugger }}}}}}}}$

${\displaystyle \{Q,Q\}=\{Q^{\doger }},Q^{\doger }\}=0}$

그리고

${\displaystyle \{Q^{\doger },Q\}=2H}$

운영자는 "보소닉" 상태를 "보소닉" 상태로 매핑하고 "페르미오닉" 상태를 "페르미오닉" 상태로 매핑하는 경우 "보소닉"이다. 운영자는 "보소닉" 상태를 "페르미오닉" 상태로 매핑하는 경우 "페르미오닉"이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다. 모든 연산자는 보소닉 연산자와 페르미온 연산자의 합으로 고유하게 표현할 수 있다. 다음과 같이 슈퍼커머레이터 [,}을(를) 정의하십시오. 두 개의 보소닉 연산자 또는 보소닉 연산자와 페르미온 연산자 사이에는 다름아닌 정류자이지만 두 페르미온 연산자 사이에서는 항코무터다.

그러면 x와 p는 보소닉 연산자, $b$는 b ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\$ b$^{\dager$ Q와 $Q{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\$ Q$^{\dager}}}$는 페르미온 연산자$$.

x, b, $b{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\$이(가) 시간의 함수인$$ 하이젠베르크 그림에서 작업해 보자.

그러면.

$(\displaystyle [Q,x\}=-ib}$

${\displaystyle [Q,b\}=0}$

${\displaystyle [Q,b^{\doger }\}\}={\frac {dx}{dt}-i\re \{W\}}}}$

${\displaystyle [Q^{\doger }},x\}=ib^{\doger }}}}$

${\displaystyle [Q^{\dager },b\}={\frac {dx}{dt}+i\re \{W\}}}$

${\displaystyle [Q^{\doger },b^{\doger }\}=0}$

$이것$은 일반적으로 비선형적이다${\displaystyle :}$ 즉, x(t), b${\displaystyle {(}^{}}$t) $및{\displaystyle {}^{}}$ b(${\displaystyle t)}${\$displaystyle b^{\daugger$$}}}}{\displaystyle \$Re\}}}}}은(는$)$ x에서 반드시 선형인$$ 것은 아니기 때문에 선형 SUSY 표현을 형성하지 않는다$$. 이 문제를 방지하려면 자가 승인 $연산자{\displaystyle }$ F${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\Re }}${ ${\displaystyle W\}}$ ${\displaystyle F=\Re \{W$을(를) 정의한 다음

$(\displaystyle [Q,x\}=-ib}$

${\displaystyle [Q,b\}=0}$

${\displaystyle [Q,b^{\doger }\}\}={\frac {dx}{dt}-iF}$

${\displaystyle [Q,F\}=-{\frac {db}{dt}}}}$

${\displaystyle [Q^{\doger }},x\}=ib^{\doger }}}}$

${\displaystyle [Q^{\dager },b\}={\frac {dx}{dt}+iF}$

${\displaystyle [Q^{\doger },b^{\doger }\}=0}$

${\displaystyle [Q^{\doger }},F\}={\frac {db^{\doger }}}$

그리고 우리는 선형 SUSY 표현을 가지고 있다는 것을 알 수 있다.

이제$$ 두 가지 "공식" 수량을 소개하자.${\displaystyle \stackrel{}{}}$$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$와 $\theta {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\${\$bar {\theta}}.$

${\displaystyle \{\theta,\theta \}=\{\\bar {\theta }}}={\bar {\theta }}}},\theta \}=0}$

and both of them commute with bosonic operators but anticommute with fermionic ones.

Next, we define a construct called a superfield:

${\displaystyle f(t,{\bar {\theta }},\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dagger }(t)+{\bar {\theta }}\theta F(t)}$

f is self-adjoint, of course. Then,

${\displaystyle [Q,f\}={\frac {\partial }{\partial \theta }}f-i{\bar {\theta }}{\frac {\partial }{\partial t}}f,}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },f\}={\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta }}}}f-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}f.}$

Incidentally, there's also a U(1)_R symmetry, with p and x and W having zero R-charges and ${\displaystyle b^{\dagger }}$ having an R-charge of 1 and b having an R-charge of -1.

Shape invariance

Suppose ${\displaystyle W}$ is real for all real ${\displaystyle x}$. Then we can simplify the expression for the Hamiltonian to

${\displaystyle H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

There are certain classes of superpotentials such that both the bosonic and fermionic Hamiltonians have similar forms. Specifically

${\displaystyle V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})}$

where the ${\displaystyle a}$'s are parameters. For example, the hydrogen atom potential with angular momentum ${\displaystyle l}$ can be written this way.

${\displaystyle {\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+1)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-E_{0}}$

This corresponds to ${\displaystyle V_{-}}$ for the superpotential

${\displaystyle W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)}}-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}}$

${\displaystyle V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2}h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}}$

${\displaystyle \mathrm{이것}}$은 상수에 의해 이동된 $l{\displaystyle }$+ 1 ${\displaystyle l+1}$각운동량의$$ 잠재력이다. $l{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle l=0}$ 접지$$ 상태를 푼 후 초대칭 연산자를 사용하여 나머지 바운드 상태 스펙트럼을 구성할 수 있다.

일반적으로 $V{\displaystyle {}_{}}$- ${\$와 V${\displaystyle {}_{}}$+ ${\$는 파트너의 전위성이기$$ 때문에 1개의 추가 접지 에너지를 제외한 동일한 에너지 스펙트럼을 공유한다. 형상 비침윤성 조건의 파트너 잠재성을 찾는 프로세스를 지속할 수 있으며, 잠재력 매개변수의 측면에서 에너지 수준에 대해 다음과 같은 공식을 제공할 수 있다.

${\displaystyle E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i}})}$

여기서 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 다중 파트너 전위에 대한 매개 변수다$$.

적용들

2021년에는 옵션가격결정 및 양자금융 시장분석,^[5] 금융망 등에 초대칭 양자역학을 적용하였다.^[6]

참고 항목

• 초대칭 대수
• 수페랄게브라
• 초대칭 게이지 이론

참조

원천

• F. Cooper, A. Kare, U. Sukhatme, "대칭과 양자역학", Phys.파충류.251:267-385, 1995.
• D.S. Kulshreshta, J.Q. 량, H.J.W. Muller-Kirsten, "고전적 필드 구성과 초대칭 양자 역학에 대한 공차 방정식", Logeno Phys. 225:191-211, 1993.
• G. Junker, "양자와 통계물리학의 초대칭 방법", Springer-Verlag, 1996, 베를린
• B. 미엘닉과 O. 로자스 오르티즈, "사실화: 작은 알고리즘이나 훌륭한 알고리즘?", J. Phys. A: 수학. 37장: 10007-10035, 2004

외부 링크

• INSPINS-HEP의 참조 자료