서슬린의 문제

Suslin's problem

수학에서 서슬린의 문제는 미하일 야코블레비치 서슬린(1920)이 제기하고 사후에 출판한 완전 순서 집합에 대한 질문입니다. 그것은 ZFC로 알려진 집합 이론의 표준 공리 체계와 독립적인 것으로 나타났습니다; Solovay & Tennenbaum (1971)은 ZF가 일치한다고 가정할 때, 그 진술은 그러한 공리로부터 증명되거나 반증될 수 없다는 것을 보여주었습니다.

(설린은 키릴 문자 услин с에서 프랑스어로 "설린"으로 번역되기도 합니다.)

언앙상블 또는 도네(linéairment) sans sauts ni lacunes et telquetout 앙상블은 인터벌(컨텐츠 + qu'un élément) n'empiant pass unsures autresest au + dénumable, est-il enessairment uncontinuous linéair(오디네어)?
점프나 간격이 없는 (선형적으로) 정렬된 집합은 (하나 이상의 요소를 포함하는) 간격의 모든 집합이 기껏해야 수 많은, 반드시 (일반적인) 선형 연속체입니까?

The original statement of Suslin's problem from (Suslin 1920)

공식화

서슬린의 문제는 다음과 같이 묻습니다. 네 개의 성질을 가진 비어 있지 않은 완전 순서 집합 R이 주어졌을 때

  1. R은 적어도 또는 가장 큰 원소를 갖지 않습니다.
  2. R의 순서는 조밀합니다(어떤 두 개의 별개의 원소 사이에도 다른 원소가 있음).
  3. R 위의 순서는 모든 비어 있지 않은 유계 부분집합이 최댓값과 최솟값을 갖는다는 의미에서 완전합니다.
  4. R의 서로소인 비어 있지 않은 열린 구간들의 모든 집합은 가산 가능합니다(이것은 R의 차수 토폴로지에 대한 가산 가능한 사슬 조건입니다).

R은 실수선 R과 반드시 순서 동형인가요?

가산 사슬 조건에 대한 요구 사항이 R이 가산 조밀 부분 집합을 포함한다는 요구 사항(즉, R은 분리 가능한 공간)으로 대체되면, 답은 실제로 예입니다. 그러한 집합 R은 반드시 R과 순서 동형입니다(칸토어에 의해 증명됨).

비어 있지 않은 서로소 열린 집합들의 모든 집합이 최대로 셀 수 있는 위상 공간에 대한 조건을 서슬린 성질이라고 합니다.

시사점

R과 동형이 아니지만 성질 1~4를 만족하는 완전 순서 집합을 서슬린 선이라고 합니다. 서슬린 가설은 서슬린 선이 없다는 것을 말합니다. 즉, 끝점이 없는 모든 셀 수 있는 사슬 조건의 조밀한 완전한 선형 순서는 실제 선과 동형이라는 것입니다. 동일한 문장은 높이 ω의 모든 트리에 길이 ω의 가지가 있거나ℵ displaystyle \aleph_{1}}의 안티체인이 있다는 것입니다.

일반화된 서슬린 가설은 모든 무한정의 기본 κ에 대해 높이 κ의 모든 트리는 길이 κ의 가지를 갖거나 카디널리티 κ의 반사슬을 갖는다고 말합니다. 서슬린 선의 존재는 서슬린 나무의 존재와 서슬린 대수의 존재와 동등합니다.

서슬린 가설은 ZFC와 무관합니다. Jech(1967)와 Tennenbaum(1968)은 Susslin 라인이 존재하는 ZFC 모델을 구성하기 위해 독립적으로 강제 방법을 사용했습니다. 젠슨은 나중에 구성 가능성의 공리 V = L의 결과인 다이아몬드 원리를 가정하면 서슬린 선이 존재한다는 것을 증명했습니다. (이전에 V = L이 "소수" 집합을 의미한다는 이유로 V = L이 서슬린 선이 존재하지 않는다는 것을 암시한다고 추측되었기 때문에 젠슨의 결과는 놀라운 것이었습니다.) 반면 Solovay & Tennenbaum(1971)은 Susslin 선이 없는 ZFC 모델을 강제로 구성했습니다. 더 정확하게는 Martin의 공리와 연속체 가설의 부정이 Susslin 가설을 내포한다는 것을 보여주었습니다.

서슬린 가설은 또한 일반화된 연속체 가설(Ronald Jensen에 의해 증명됨)과 연속체 가설의 부정과 독립적입니다. 일반화된 서슬린 가설이 일반화된 연속체 가설과 일치하는지 여부는 알 수 없지만, 그 조합은 단일 강한계 기본에서 제곱 원리의 부정을 의미하기 때문에, 사실, 모든 단일 추기경들과 모든 정규 후임 추기경들에서 – 그것은 결정론의 공리가 L(R)로 유지된다는 것을 암시하고 초강력 추기경을 가진 내적 모델의 존재를 암시한다고 믿어집니다.

참고 항목

참고문헌

  • K. Devlin and H. Jonsbråten, The Soulin Problem, 수학 강의 노트 (405) Springer 1974.
  • Jech, Tomáš (1967), "Non-provability of Souslin's hypothesis", Comment. Math. Univ. Carolinae, 8: 291–305, MR 0215729
  • Souslin, M. (1920), "Problème 3" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 223, doi:10.4064/fm-1-1-223-224
  • Solovay, R. M.; Tennenbaum, S. (1971), "Iterated Cohen Extensions and Souslin's Problem", Annals of Mathematics, 94 (2): 201–245, doi:10.2307/1970860, JSTOR 1970860
  • Tennenbaum, S. (1968), "Souslin's problem.", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 59 (1): 60–63, Bibcode:1968PNAS...59...60T, doi:10.1073/pnas.59.1.60, MR 0224456, PMC 286001, PMID 16591594
  • Grishin, V. N. (2001) [1994], "Suslin hypothesis", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press