순수 4D N = 1 초중력

초대칭 이론에서 순수한 ${\mathcal {N}}=1$ N $=$ ${\mathcal {N}}=1$ {\ $displaystyle$ {{ $mathcal {N$ }}= $1}$ 초중력은 ${\mathcal {N}}=1$ 단일 초전하와 중력자와 중력자를 포함하는 초다중성으로 가장 단순한 4차원 초중력을 설명합니다.그 작용은 아인슈타인으로 구성되어 있습니다.힐베르트 작용과 라리타-슈윙거 작용.그 이론은 Daniel Z에 의해 처음 공식화되었습니다. 1976년 ^[1]^[2]스탠리 데저와 브루노 주미노에 의해 독립적으로 프리드먼, 피터 반 니우벤후이젠, 세르히오 페라라.우주 상수를 갖는 시공간에 대한 유일한 일관된 확장은 1977년 ^[3]폴 타운센드에 의해 처음 공식화된 반 드 시터 공간입니다.

평평한 시공간

중력과 임의 스핀의 입자 사이의 결합을 설명하기 위해 ^[4]일반 상대성 이론의 비엘바인 형식주의를 사용하는 것이 유용합니다.이는 $다음$ 과 같이 평평한 $a$ 에 의해 지수화된 벡터 $e_{a}=e_{a}^{\mu }\partial _{\mu }$ 집합 $=$ $e_{a}=e_{a}^{\mu }\partial _{\mu }$ μ $e_{a}=e_{a}^{\mu }\partial _{\mu }$ \ \ $displaystyle$ $e_{a$ $}$ = $e_{a}^{\mu }$ 로 $e_{a}=e_{a}^{\mu }\partial _{\mu }$ $a$ 메트릭을 대체합니다 $.$

g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}\eta_{ab}.

어떤 의미에서 비엘빈은 미터법의 제곱근입니다.이것은 시공간 $\mu$ μ $\displaystyle$ ^{ $a}_{b$ }( $)\$ $e_{\$ mu $}^{a}\Lambda$ ^{ $a}_{$ b}(x $)$ 와 함께 $e_{\mu }^{a}\rightarrow e_{\mu }^{a}\Lambda ^{a}{}_{b}(x)$ μa $\mu$ → $e_{\mu }^{a}\rightarrow e_{\mu }^{a}\Lambda ^{a}{}_{b}(x)$ $e_{\mu }^{a}\rightarrow e_{\mu }^{a}\Lambda ^{a}{}_{b}(x)$ $λa$ $e_{\mu }^{a}\rightarrow e_{\mu }^{a}\Lambda ^{a}{}_{b}(x)$ ▁ba $e_{\mu }^{a}\rightarrow e_{\mu }^{a}\Lambda ^{a}{}_{b}(x)$ ^{ $b$ $\mu$ $x$ 에 새로운 국소 로렌츠 대칭을 도입합니다.이것은 임의의 스핀 필드에서 작동하는 크리스토펠 연결의 일반화인 $\nabla _{\mu }e_{a}=\omega _{\mu }{}^{b}{}_{a}e_{b}$ a $\omega _{\mu }^{ab}$ $=$ $\nabla _{\mu }e_{a}=\omega _{\mu }{}^{b}{}_{a}e_{b}$ a \ $displaystyle$ \displaystyle \displaystyle \displaystyle \ $displayla$ _ ${\mu }e_{a}^{b}_{a$ 를 $\omega _{\mu }^{ab}$ 통해 정의된 스핀 연결 $\omega _{\mu }^{ab}$ a \displaystyledisplaystyle $\mo^{\$ mo $^{ab}^{$ ab}^{mo}^{\mo}}}}^{\displaystyled예를 들어, 스피너의 경우 공변 미분은 다음과 같이 주어진다.

\"디스플레이 스타일 D_{\mu}=\display_{\mu}+{\frac{1}{4}}\omega_{\mu}^{ab}\display_{ab}}

여기서 $\gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}$ μ $\gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}$ $=$ $\gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}$ $\gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}$ a $\gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}$ \ $displaystyle$ \displaystyle \ $displaystyle _{\mu$ }= $e_{\mu$ }^{ $\gamma _{ab}=\gamma _{[a}\gamma _{b]}$ $displaystyle$ ${ab$ }= $\gamma _{ab}=\gamma _{[a}\gamma _{b]}$ \ $displaystyle _{a$ \displaystyle _{ $a}$ \ $displaystyle$ _{ $b$ 입니다.스핀 연결은 비엘바인 측면에서 명시적인 표현과 이론에 물질이 존재할 때 발생할 수 있는 추가 비틀림 텐서를 가지고 있습니다.사라지는 비틀림은 Levi-Civita 연결과 동일합니다.

4차원에서의 ${\mathcal {N}}=1$ 한 $=$ 1 ${displaystyle$ {{ $mathcal {$ N}= $1}$ 초중력 ${\mathcal {N}}=1$ 작용은 아인슈타인의 조합입니다.힐베르트 작용과 라리타-슈윙거 작용^[5]

순수 4D N=1 초중력 작용

${\displaystyle S=displayfrac {M_{P}^{2}}\int d^{4}x\eR-{\frac {1}{2}}\int d^{4}x\int d^{psi}_{\mu\rho}\capsi_{\nu\rho}.$

$M_{P}$ 서 ${\$ $displaystyle$ $M_{$ $P}}$ 는 $M_P$ 플랑크 $e=\det e_{\mu }^{a}={\sqrt {-g}}$ 이고, e $e=\det e_{\mu }^{a}={\sqrt {-g}}$ $e=\det e_{\mu }^{a}={\sqrt {-g}}$ $e=\det e_{\mu }^{a}={\sqrt {-g}}$ $=$ - g ${{\$ ${\$ $mu}^{a$ }={\ $sqrt$ $e=\det e_{\mu }^{a}={\sqrt {-g}}$ {- $g$ $}}$ 는 $\psi _{\mu }$ 스핀기 지수가 암시적으로 남겨진 마요라나 그라비티노입니다.비엘빈과 스핀 연결이 모두 독립적인 장인 1차 형식주의 내에서 이 작용을 처리하면 스핀 연결 운동 방정식을 해결할 수 있습니다. $T_{ab}^{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{a}\gamma ^{\mu }\psi _{b}$ $T_{ab}^{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{a}\gamma ^{\mu }\psi _{b}$ $=$ 12 $T_{ab}^{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{a}\gamma ^{\mu }\psi _{b}$ $T_{ab}^{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{a}\gamma ^{\mu }\psi _{b}$ μ $T_{ab}^{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{a}\gamma ^{\mu }\psi _{b}$ ${\$ ab}^{\ $mu$ $tfrac {1}{2}{\barpsi }_{a}\$ barpsi ^{\ $mu$ }\ $psi_{$ b $T_{ab}^{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{a}\gamma ^{\mu }\psi _{b}$ ^[6]를 $가지고$ 있음을 보여줍니다.2차 형식주의 작용은 아인슈타인-과 함께 추가적인 4차 중력 정점을 생성하면서 스핀 연결에 대한 이 표현을 다시 작용으로 대체함으로써 획득됩니다.힐베르트와 라리타-슈윙거 동작은 이제 비엘빈에 명시적으로 의존하는 비틀림 없는 스핀 연결로 작성되었습니다.

작용을 불변하게 하는 초대칭 변환 규칙은 다음과 같습니다.

\displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displayfrac {1}{2M_{P}}{\bareilon}}{\bareilon}}\displaystyle \\displaystyle \displaystyle \dese_{\displayfrac \displayfrac \displayflon \displayflon\mu_{\mu}\diplacefrac \dis

여기서 $ϵ$ ( $\epsilon (x)$ ) {\ $displaystyle$ \epsilon $(x)}$ 은 $\epsilon (x)$ 스피노리얼 게이지 파라미터입니다.역사적으로 1차^[2] 형식주의와 2차^[1] 형식주의가 작용의 불변성을 보여주기 위해 사용된 첫 번째 형식주의였지만, 1.5차 형식주의는 대부분의 초중력 계산에 가장 쉽습니다.동작의 추가 대칭은 일반 좌표 변환과 국소 로렌츠 변환입니다.

곡선 시공간

민코프스키 시공간에서 ${\mathcal {N}}=1$ N $=$ ${displaystyle$ {{ $mathcal {N$ }= $1}$ 초 ${\mathcal {N}}=1$ 푸앵카레 대수는 반 드 시터 시공간으로 일반화할 수 있지만, 이 경우 초 야코비 정체성이 충족될 수 없기 때문에 드 시터 시공간으로 일반화할 수 없습니다.그것의 작용은 이 초대수를 측정하여 ^[7]비엘바인과 중력에 대한 초대칭 변환 규칙을 산출함으로써 구성될 수 있습니다.

4차원에서의^[6] N $=$ ${\mathcal {N}}=1$ { $displaystyle$ {{ $mathcal {$ N}}= $1}$ AdS ${\mathcal {N}}=1$ 초중력에 ${\mathcal {N}}=1$ 작용은 다음과 같습니다.

표시 스타일 S=displayfrac{M_{P}^{2}}{2}}\int d^{4}x\ebigg(}R+{\frac{6}{R^{2}}}{\bigg}}-{\frac{1}}\int d^{4}x\bigg(}{\barpsi})\mu{\ho\rnu}{rpsi}{nu}{nu}}{\frac{\frac{nu}}}}{\frac{nu}}{\frac{

$R$ 서 R ${displaystyle$ R $}$ 은 $R$ AdS 반지름이고 두 번째 항은 음의 우주 상수 $=$ - $\Lambda =-3/R^{2}$ / ${{\displaystyle$ \ $Lambda =-3/R^{$ 2 $\Lambda =-3/R^{2}$ 입니다.초대칭 규칙은 다음과 같습니다.

표시 스타일 \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displayfrac {1}^{2M_{P}}{\bareilon ^{a}}\displaystyle \displayfrac {1}{\bareilon ^{a}\psi}\psi_{\psi_{\mu}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\piplac{PR}}M_{P}^{2}\gamma_{\mu}\epsilon}

중력이 질량을 가지고 있는 것처럼 보이지만, 그것은 여전히 질량이 없는 중력 ^[5]초다중체에 해당합니다.PμP ${\$ mu $}$ P^{\ $mu$ }}가 더 이상 AdS 슈퍼 푸이나크레 대수의 카시미르가 $P_{\mu }P^{\mu }$ 때문에 곡선 시공간에서 질량이 잘 정의되지 않기 때문입니다.그러나 라플라스-벨트라미 연산자를 통해 질량을 정의하는 것은 일반적이며, 평평한 시공간의 경우와 달리 동일한 슈퍼멀티플릿 내의 입자는 동일한 질량을 갖지 않습니다.

레퍼런스

^ ^a ^b Freedman, D.Z.; van Nieuwenhuizen, P.; Ferrara, S. (1976). "Progress toward a theory of supergravity". Phys. Rev. D. 13 (12): 3214–3218. doi:10.1103/PhysRevD.13.3214.
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^ Townsend, P.K. (1977). "Cosmological constant in supergravity". Phys. Rev. D. 15 (10): 2802–2804. doi:10.1103/PhysRevD.15.2802.
^ Nakahara, M. (2003). "7". Geometry, Topology and Physics (2 ed.). CRC Press. ISBN 978-0750306065.
^ ^a ^b Dall'Agata, G.; Zagermann, M. (2021). "4". Supergravity: From First Principles to Modern Applications. Springer. pp. 43–70. ISBN 978-3662639788.
^ ^a ^b Freedman, D.Z.; Van Proeyen, A. (2012). "9". Supergravity. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 187–200. ISBN 978-0521194013.
^ Ortin, T. (2015). "5". Gravity and Strings (2 ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. 175–186. ISBN 978-0521768139.

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[3] Townsend, P.K. (1977). "Cosmological constant in supergravity". Phys. Rev. D. 15 (10): 2802–2804. doi:10.1103/PhysRevD.15.2802.

[4] Nakahara, M. (2003). "7". Geometry, Topology and Physics (2 ed.). CRC Press. ISBN 978-0750306065.

[Agata-5] Dall'Agata, G.; Zagermann, M. (2021). "4". Supergravity: From First Principles to Modern Applications. Springer. pp. 43–70. ISBN 978-3662639788.

[Freedman-6] Freedman, D.Z.; Van Proeyen, A. (2012). "9". Supergravity. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 187–200. ISBN 978-0521194013.

[7] Ortin, T. (2015). "5". Gravity and Strings (2 ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. 175–186. ISBN 978-0521768139.

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v t 초대칭성
일반 주제	초대칭성 초대칭 게이지 이론 초대칭 양자역학 초중력 초끈 이론 초벡터 공간 초기하학
초수학	초대수 초대수 초푸앵카레 대수 초대칭 대수학 초대칭 대수 슈퍼그룹 초공간 조화 초공간 초대 민코프스키 공간 슈퍼맨폴드
개념	슈퍼차지 R대칭 슈퍼멀티플릿 짧은 초다중점 BPS 상태 초퍼텐셜 D항 FID-기간 F항 모듈리 공간 초대칭 파괴 고니시 변칙 세이버그 이중성 세이베르그-비텐 이론 위튼 지수 웨스-주미노 게이지 현지화 뮤 문제 계층 문제가 거의 없음 전기-자기 이중성
정리	콜먼-만둘라 하그-워프산스키-소니우스 비정규화
필드 이론	웨스-주미노 N = 1 슈퍼 양-밀스 N = 4 슈퍼 양-밀스 슈퍼 QCD MSSM NMSSM 6D(2,0) 초적합 ABJM 초적합
초중력	순수 4D N = 1 초중력 N = 8 초중력 고차원 측정된 초중력
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