2차원의 질량 없는 스칼라 보손

질량이 없는 프리 스칼라 보손은 2차원 등각장 이론의 계열로, 대칭은 아벨리아 어핀 리 대수학으로 기술된다.

그것들은 자유롭기 때문에, 즉, 비접촉식, 자유 보소닉 CFT는 정확하게 해결된다.쿨롱 가스 형식주의를 통해 최소 모델과 같은 CFT를 상호작용하는 정확한 결과를 이끌어낸다.게다가 그들은 끈 이론에 대한 세계 시트의 접근에 중요한 역할을 한다.

자유 보소닉 CFT에서, 비라소로 대수학의 중심 전하가 어떤 복잡한 값도 취할 수 있다.${\displaystyle \mathrm{그러나}}$ $c{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$1 ${\displaystyle c=$1} $값은$암묵적으로 가정되는 경우가$$ 있다.$c{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c=1}$의 경우$,$ 압축 반경의 임의 값을 갖는 압축된 자유 보소닉 CFT가 존재한다.

라그랑어 제형

자유보손 이론의 2차원의 작용은 자유보손 ${\displaystyle \pi }$의 기능이다$.$

${\displaystyle S[\phi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x{\sqrt{}}}}(g^{\mu \nu }}\partial _{\mu \pi _{\nu }\partial _}\QR\pi )\,},}}}}}}}}}}}}}}},},}}$

여기서 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 이론이 공식화된 2차원 공간의 미터법이고, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 그 공간의 Ricci 스칼라이다.$\mathb {C}$\mathb {C} 매개 변수 $Q{\displaystyle }$ { C ${\$ \mathb }을(를$$) 백그라운드 차지라고 한다.

2차원에 특별한 점은 프리보손 ${\displaystyle \pi }$의 스케일링 치수가 사라진다는$$ 것이다.이것은 비반복적인 배경 전하의 존재를 허용하며, 이론의 등정 대칭의 기원에 있다.

확률론에서 자유보손은 가우스 자유장(Gaussian free field)으로 구성될 수 있다.이것은 상관 함수의 실현을 무작위 변수의 기대값으로 제공한다.

대칭

아벨리아어 아핀 리 대수

대칭 대수학은 각각 좌회전 전류와 우이동 전류라는 두 개의 치랄 보존 전류에 의해 생성된다.

${\displaystyle J=\partial \phi \quad {\text{and}}\quad {\bar}={\bar {\partial }\phi }}$

$\partial {\displaystyle \mathrm{}J\stackrel{}{}\text{'}}$ =$∂$= 0 {\displaystyle $\partial{\$J}={\$bar{\partial$ $\}$J$=0$}. 각 전류는 아벨리안 $어핀{\displaystyle {\stackrel{}{\mathfrak{}}}_{}}$ 대수 ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 1{\$displaystyle{\hat${\mathfrak${u}}}_{$1}를 생성한다$.$좌회전 어핀 리 대수학의 구조는 좌회전 전류의 자체 OPE에 암호화되어 있다.

${\displaystyle J(y)J(z)={\frac {-{\frac {1}{1}:{2}}:{(y-z)^{2}}+O(1)}$

Equivalently, if the current is written as a Laurent series ${\displaystyle J(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}z^{-n-1}}$ about the point ${\displaystyle z=0}$, the abelian affine Lie algebra is characterized by the Lie bracket

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]={\frac {1}{1}{2}}n\delta _{m+n,0}}}$

대수학의 중심은 $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 의해 생성되며$,$ 대수학은 차원 1 또는 2의 상호 통근 서브algebras의 직접 합이다.

${\displaystyle {\hat{u}}_{1}={\text{Span}}(J_{0})}\oplus \bigoplus _{n=1}^{\text{Span}}}(J_{n},J_{-n})}}}}$

등각 대칭

$Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$의 값에 대해$,$ 아벨리안 어핀 리 대수학의 범용 봉합 대수에는 발생기가^[1] 있는 Virasoro 하위 대수형이 있다.

${\displaystyle {\reasoned}L_{n}&=-\sum _{m\in {\mathbb {Z} }}J_{n-m}J_{m}+Q(n+1)J_{n}\ ,\qquad (n\neq 0)\ ,\\L_{0}&=-2\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}J_{m}-J_{0}^{2}+QJ_{0}\,\end{aigned}}}$

이 Virasoro subalgebra의 중심 전하가

${\displaystyle c=1+6Q^{2}}$

그리고 비라소로 발전기와 아핀 리 대수 생성기의 정류 관계는

${\displaystyle [L_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}-{\frac {Q}{2}}m(m+1)\delta _{m+n,0}$

If the parameter ${\displaystyle Q}$ coincides with the free boson's background charge, then the field ${\displaystyle T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$ coincides with the free boson's energy-momentum tensor.따라서 해당 Virasoro 대수학은 극소수 순응 지도의 대수로서 기하학적 해석을 가지며, 이론의 국소 순응 대칭을 인코딩한다.

추가 대칭

중심 전하 및/또는 콤팩트화 반경의 특수 값에 대해 자유 보소닉 $이론$은${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}${\$displaystyle${\$hat {\mathfrak{u$}}$_{1$} 대칭뿐만$$ 아니라 추가 대칭도 가질 수 있다.특히 $c{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c=1}$에서는$$압축 반경의 특수 값에 대해 비아벨리안 아핀 리 알헤브라스, 초대칭 등이 나타날 수 있다.^[2]

기본 필드 첨부

자유 보소닉 CFT에서 모든 분야는 친숙한 1차 분야 또는 그 후손이다.아핀 대칭성 덕분에 아핀 후예 영역의 상관관계 기능은 원칙적으로 아핀 1차 영역의 상관관계 함수에서 추론할 수 있다.

정의

An affine primary field ${\displaystyle V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)}$ with the left and right ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$-charges ${\displaystyle \alpha ,{\bar {\alpha }}}$ is defined by its OPEs with the currents,^[1]

${\displaystyle J(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\alpha }{y-z}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)\quad ,\quad {\bar {J}}(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\bar {\alpha }}{{\bar {y}}-{\bar {z}}}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)}$

이 OPE들은 관계와 동등하다.

${\displaystyle J_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {J}}_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=0\quad ,\quad J_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=\alpha V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)\quad ,\quad {\bar {J}}_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {\alpha }}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)}$

전하 $\alpha {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \alpha }$의${\$은(는) 좌우이동 운동량이라고도 불린다.이들이 일치하면 아핀 1차 필드를 대각선이라고 하며 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$, ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle V_{\alpha }(z)=$로 표기한다.$V_{\alpha ,\alpha }(z)}$.

자유 보손의 정상 순서의 지수들은 1차적인 분야들이다.특히 필드 : ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {\varphi }^{}}$( z${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle :e^{2\alpha \phi (z)}}}}$은 모멘텀 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$ $\}\}\}$을(를) 갖는 대각선부착 일차장(frontex operator)^[3]으로$$ 불리기도 한다.

부속 기본 필드도 등정 치수를 갖는 Virasoro 기본 필드임

${\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha (Q-\alpha )}$

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \alpha (z_{}}$ ) ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$과 V ${\displaystyle Q_{}}$ -${\displaystyle {\alpha }_{}z}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)$는 탄력은 다르지만 좌우 등각 치수는 같다$$.

OPE 및 모멘텀 보존

아핀 대칭으로 인해 운동량은 자유 보소닉 CFT에 보존된다.퓨전 규칙 수준에서 이것은 두 개의 부속 기본 영역의 융합에 하나의 부속 기본 필드만 나타날 수 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}\times V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}=V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}}$

운영자 제품 확장(apperator product expansion of appine primary field

${\displaystyle V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}}{1}{1}.V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})=C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})(z_{1}-z_{2})^{-2\alpha _{1}\alpha _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{-2{\bar {\alpha }}_{1}{\bar {\alpha }}_{2}}\left(V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})+O(z_{1}-z_{2})\right)}$

여기서 $C{\displaystyle ({\alpha }_{}}$ i ,${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{}}_{}}$ α ${\displaystyle {\stackrel{}{\text{'}}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle$ C$(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}}}$은 OPE 계수이고$$, $용어$는 O$$${\displaystyle ({}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$- z $){\displaysty O(z_${1$}-z_{2}}}}})$이다.OPEs는 배경 전하에 대한 명백한 의존성이 없다.

상관 함수

구체의 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ -point$$ 기능에 대한 Affine Ward ID에 따라,^[1]

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \neq 0\implies \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\bar {\alpha }}_{i}=Q}$

또한 아핀 대칭은 위치에 $대한{\displaystyle }$ 구 N$${\$displaystyle$ N$$$}$ - 포인트 함수의 의존성을 완전히 결정한다.

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \propto \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{-2\alpha _{i}\alpha _{j}}({\bar {z}}_{i}-{\bar {z}}_{j})^{-2{\bar {\alpha }}_{i}{\bar {\alpha }}_{j}}}$

상관 함수의 단일 값은 모멘텀에 대한 제약으로 이어진다.

${\displaystyle \Delta(\alpha _{i}-\delta({\bar {\alpha }}}}{\frac {1}{2}}\mathb {Z}}}}})$

모델

비-컴팩트 자유형 보손

자유 보소닉 CFT는 모멘텀이 연속적인 값을 취할 수 있는 경우 비 컴팩트라고 불린다.compact)라고 불린다.

$Q{\displaystyle }$critical ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Q\neq 0}$을(를) 가진 비-컴팩트 자유 보소닉 CFT는 비중요 문자열 이론을 설명하는 데 사용된다$$.이러한 맥락에서 비-컴팩트 자유 상아 CFT를 선형 희석 이론이라고 한다.

$Q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Q=0}$을(를$)$ 가진 자유 보소닉 CFT. 즉,${\displaystyle }c{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle c=1$}은 1차원 표적 공간을 가진 시그마 모델이다.

• 목표 공간이 유클리드 실선인 경우 모멘텀은 $가상$의${\displaystyle }$α = ${\displaystyle \alpha \stackrel{}{}}$ α ${\displaystyle \alpha \stackrel{}{}\in }$ i R$${\$displaystyle \lpa ={\bar{\alpha }}\in i\mathb {R$ 등정 치수는 양의 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}(\alpha }$ ) $≥$ 0$(\delta )\geq$
• 목표 공간이 민코우스키안 실선이라면 모멘텀은 실제 $\alpha {\displaystyle }$=${\displaystyle \stackrel{}{}\alpha \stackrel{}{}}$ α α ${\displaystyle \alpha \mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$ {$R$ 등정 치수는 음의 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}(\alpha }$ )${\displaystyle }$α${\displaystyle }$) $(\displaystyledelta )\leq$ 0$\}$이다.
• 목표공간이 원이라면 모멘텀은 별개의 값을 취하게 되고, 우리는 압축된 자유보존을 갖게 된다.

압축된 자유형 보손

반경 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$을(를) 가진 압축된 자유형 보손은 왼쪽과 오른쪽 모멘텀이 값을 갖는 자유형 보손이다.

${\displaystyle (\alpha ,{\bar {\alpha }})=\left({\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right],{\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]\right)\quad {\text{with}}\quad (n,w)\in \mathbb {Z} ^{2}}$

정수 $n{\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n,w}$을 모멘텀과 권선수로 부른다.$압축{\displaystyle }$ 반지름의 허용 값은${\displaystyle \mathrm{Q}}$ = 0${\displaystyle Q=0}$ $및$ R${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{i}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\mathbb{}}$ Z ${\$displaystyle $R\in {\iQ}\mathb {Z}$이$($) 아니면$$ R ${\displaystyle \in }$ ∗ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $∗ {\$$displaystyty$ R\in {Z}이다.^[1]

$Q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Q=0$인 경우 반지름 $R{\displaystyle }${\$displaystyle R}$ 및 $1$ ${\displaystyle \frac{R}{}}$ ${\${\$frac${1$}{R}}}$이(가) 있는 자유 보손은 동일한 CFT를 설명한다$$.시그마 모델 관점에서 이 동등성을 T-이중성이라고 한다.

$Q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Q=0$인 경우, 압축된 자유 보손 CFT가 모든 리만 표면에 존재한다.torus $C{\displaystyle \frac{\mathbb{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathbb{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\tau }{}}$ ${\displaystyle \frac{Z\mathbb{}}{}}$ ${\$에 대한 파티션 함수는 다음과 같다$$^[3].

${\displaystyle Z_{R}(\tau )=Z_{\frac {1}{R}}(\tau )={\frac {1}{ \eta (\tau ) ^{2}}}\sum _{n,w\in \mathbb {Z} }q^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right]^{2}}{\bar {q}}^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]^{2}}}$

여기서 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ i ${\displaystyle {\tau }^{}}$ ${\$ $\}\},$ $\eta {\displaystyle }$( ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle \eta (\tau )}$는 디데킨드 eta 함수다.이 칸막이 함수는 일치 치수의 이론 스펙트럼에 대한 비라소로 대수학의 문자의 합이다.

모든 자유 보손 CFT에서와 같이, 아핀 1차 영역의 상관관계 기능은 아핀 대칭에 의해 결정되는 필드 위치에 의존한다.나머지 상수요인은 밭의 운동량과 구불구불한 수에 따라 달라지는 부호들이다.^[4]

사례 c=1의 경계 조건

노이만 및 디리클레 경계 조건

아벨리아 어핀 리 대수학의$$ $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathrm{자동형<img\; alt="\backslash mathbb\; \{Z\}\; \_\{2\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/92aedfb5c02eff978ab963421ce930f46801657e"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.605ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="220">}}$ J${\displaystyle }$→${\displaystyle }$- J ${\displaystyle J\to -J}$ 때문에 아핀 대칭을 보존하는 두 가지 종류의 경계 조건이 있다.

${\displaystyle J={\bar{J}\quad {\text{or}}\quad J=-{\bar {J}}$

만약 경계가${\displaystyle }선{\displaystyle }$ ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$ = z$''{\$ z$={\bar{z}}$인 경우$,$ 이 조건들은 자유 $보손{\displaystyle }$for{\$displaystyle \pi$}에 대한 네우만 경계 조건과 디리클레 경계 조건에 각각 해당된다$.$

경계 상태

압축된 자유 보손의 경우, 각 경계 조건의 유형은${\displaystyle }boundary{\displaystyle }$ ${\displaystyle R\frac{\mathbb{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi \mathbb{}}{}}$ Z ${\$에 의해 파라메트리된 경계 상태 패밀리로 이어진다$.$상단 하프 평면 { > ${\displaystyle \{\Im z>0\}$에 해당하는 원포인트 기능은 다음과^[5] 같다.

${\displaystyle {\begin}\left\langle V_{{(n,w)}(z)\right\angle _{\text{Diriclet},\theta }&={\e^{e^{in\}\delta _{w,0}}}}}{z-{\frac{n^{n^{n^2}}:R^{2}}}}}\\\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Neumann}},\theta }&={\frac {e^{iw\theta }\delta _{n,0}}{ z-{\bar {z}} ^{\frac {R^{2}w^{2}}{2}}}}\end{aligned}}}$

비축약 자유보존의 경우 노이만 경계 상태가 하나 있는 반면 디리클레 경계 상태는 실제 매개변수에 의해 파라메트리된다.해당 원포인트 함수는

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{\alpha \theta }}{ z-{\bar {z}} ^{2\Delta (\alpha )}}}\\\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{\text{Neumann}}&=\delta (i\alpha )\end{aligned}}}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I\mathbb{}}$ ${\$} 및${\displaystyle }$and$$$$ $R{\displaystyle }$ ${\$ {$R} }.$

등각경계조건

노이만과 디리클레 경계는 자유로운 보손의 아편 대칭을 보존하는 유일한 경계선이다.그러나, 순응적인 symmtry만 보존하는 추가적인 경계들이 존재한다.

반경이 비합리적인 경우, 추가 경계 상태는 숫자 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle$ x$\in [-1,1]$에 의해 파라메트릭된다$.$ (${\displaystyle n}$, w${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$(${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$ )$$≠ (0 ) {\$displaystyle (n,w)\neq (0,0)}$의 소멸을$$ 가진 1점 필드.그러나${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (n,w)=$ ($0,0)}$과(와) 일치된 기본 필드의 후손인 Virasoro primary 필드는 비종교적인 원포인트 함수를 가지고$$ 있다.^[5]

반경이 $합리적{\displaystyle }$ R${\displaystyle }$= ${\displaystyle p\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$ ${\displaystyle \frac{{\mathbb{}}_{}}{}}$ 경계 상태는 $다지관{\displaystyle \frac{}{}}$ S ${\displaystyle \frac{U}{}}$(${\displaystyle \frac{2}{}}$) Z ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$× ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ q ${\$}\$timetime \mathB {Z} _$^[6]q$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$에 의해 파라메타입.

관련 이론 및 일반화

다중 보손과 오비폴드

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 질량$$ 없는 스칼라 보손에서는 대칭 대수 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle N_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 제품 CFT를 구축할 수 있다$.$ 일부 또는 전체를 압축할 수 있다.

특히 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ -차원$$ 토러스(Neveu-Schwarz B-field 포함)에서 백그라운드 차지 $없이{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N$}보온을$$ 압축하면 나레인 콤팩트화라는 CFT 계열이 탄생한다.이 CFT들은 리만 표면에 존재하며, 섭동적인 끈 이론에서 중요한 역할을 한다.^[7][8]

Due to the existence of the automorphism ${\displaystyle J\to -J}$ of the affine Lie algebra ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$, and of more general automorphisms of ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}}$, there exist orbifolds of free bosonic CFTs.^[9]예를 들어, $Q{\displaystyle }$= ${\displaystyle$ $\mathb${$Z$$} _{2}}:$ 압축된 자유 보손의 오비폴드는$$ 중요한 2차원$$Ashkin-Teller 모델이다.^[4]

쿨롱 가스 형식주의

쿨롬 가스 형식주의는 자유 보소닉 CFT로부터 상호 작용하는 CFT 또는 이들의 일부 상관 기능을 구축하기 위한 기법이다.The idea is to perturb the free CFT using screening operators of the form ${\displaystyle \textstyle {\int }d^{2}z\,O(z)}$, where ${\displaystyle O(z)}$ is an affine primary field of conformal dimensions ${\displaystyle (\Delta ,{\bar {\Delta }})=(1,1)}$. In spite of이 기술은 모멘텀 보존 덕분에 정확한 결과를 이끌어 낸다.^[3]

In the case of a single free boson with background charge ${\displaystyle Q}$, there exist two diagonal screening operators ${\displaystyle \textstyle {\int }V_{b},\textstyle {\int }V_{b^{-1}}}$, where ${\displaystyle Q=b+b^{-1}}$. Correlation functions in minimal models ca 도스텐코-파테프 통합을 발생시키는 이러한 선별 연산자를 사용하여 계산된다.^[10]Louville 이론에서 상관 함수의 잔류물도 계산할 수 있으며, 이는 3점 구조 상수에 대한 DOZZ 공식의 원래 파생으로 이어졌다.^[11][12]

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 자유$$ 보슨의 경우, 정합성 Toda 이론을 포함한 비교 CFT를 정의하는 데 선별 수수료의 도입이 사용될 수 있다.이러한 비종교 CFT의 대칭은 아벨 아핀 리 대수학의 아발게브라에 의해 설명된다.스크린에 따라, 이 아발지브라들은 W-알지브라일 수도 있고 아닐 수도 있다.^[13]

쿨롬 가스 형식주의는 q-state Potts 모델과 $o{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle O(n)}$ 모델과$$ 같은 2차원 CFT에서도 사용될 수 있다.^[14]

다양한 일반화

임의의 차원에서는 일반화된 자유 이론이라고 하는 일치된 분야 이론이 존재한다.그러나 이것들은 2차원의 자유 보손 CFT를 일반화하지 않는다.전자에서는 보존되는 등정 치수(모듈로 정수)이다.후자에서는 그것이 그 모멘텀이다.

2차원에서 일반화는 다음을 포함한다.

• 질량이 없는 프리 페미온.
• 고스트 CFT.^[3]
• 초대칭 자유 CFT.

참조