월드의 분해

수학, 특히 연산자 이론에서, 헤르만 월드와 존 폰 노이만의 이름을 딴 월드 분해 또는 월드-본 노이만 분해는 주어진 힐버트 공간의 등축 선형 연산자에 대한 분류 정리다.그것은 모든 등거리 측정은 일방적 이동과 단일적 운영자의 직접적인 사본의 합이라고 명시하고 있다.

시계열 분석에서, 정리는 정지된 이산 시간 확률적 과정이 한 쌍의 관계없는 과정으로 분해될 수 있다는 것을 암시한다. 하나는 결정론적이고 다른 하나는 이동 평균 과정이다.

세부 사항

H를 힐버트 공간으로 하고, L(H)을 H의 경계 연산자로 하고, V ∈ L(H)을 등거리법으로 한다.월드의 부패는 모든 등위계 V가 형태를 취한다고 말한다.

${\displaystyle V=(\oplus _{\alpha \in A}S)\oplus U}$

일부 지수 집합 A에 대해, 여기서 S는 힐버트 공간 H에_α 대한 일방적 이동이고 U는 단일 운영자(공백 가능)이다.가족 {H_α}은(는) 이형 힐버트 공간으로 구성되어 있다.

증거는 다음과 같이 스케치할 수 있다.V의 연속적인 애플리케이션은 그 자체에 이형적으로 내장된 H의 복사본의 내림차순을 제공한다.

${\displaystyle H=H\supset V(H)\supset V^{2}(H)\supset \cdots =H_{0}\supset H_{1}\1}\supset H_{2}\supset \cdots ,}}$

여기서 V(H)는 V의 범위를 나타낸다.위에서_i 정의한 H = Vⁱ(H)정의가 있는 경우

${\displaystyle M_{i}=H_{i}\minus H_{i+1}=V^{i}(H\minus V(H))\quad {\text{{}용)\quad i\geq 0\;,}$

그때

${\displaystyle H=(\oplus _{i\geq 0}{i}}}\oplus (\cap _{i_{i})\cap _{i}=K_{1}\oplus K_{2}.}$

K와₁ K는₂ V의 불변 서브 스페이스임이 분명하다.

그래서 V(K₂) = K₂. 다시 말해 K로₂ 제한되는 V는 굴절성 등측법, 즉 단일 운영자 U.

더욱이, 각_i M은 다른 M과 이형이며, V는_i M과_i+1 M 사이의 이형성이다. V는 M을_i "전환_i+1"한다.각 M의_i 치수가 일부 기수 α라고 가정하자.우리는₁ K가 힐버트공간의 직접적인 합으로 쓰여질 수 있다는 것을 안다.

${\displaystyle K_{1}=\oplus H_{\alpha }}}$

여기서 각 H는_α V의 불변적인 하위 공간이고, V는 각 H로_α 제한된 일방적 이동 S이다.그러므로

${\displaystyle V=V\vert _{K_{1}\oplus V\vert _{K_{2}}=(\oplus _{\alpha\in A}S)\oplus U,}$

월드가 V를 분해한 거야

언급

월드 분해로부터 즉시 적절한, 즉 비위생적인 이소계수의 스펙트럼이 복잡한 평면에 있는 단위 원반이라는 것이다.

위 증거의 표기법에서 _i≥0if H_i = {0}일 경우 등위계 V는 순수하다고 한다.순수 이성계 V의 다중성은 V*의 커널의 치수, 즉 V의 월드 분해에서 인덱스 집합 A의 카디널리티다.즉, 순수한 다변성 N의 등분법이 형태를 취한다.

${\displaystyle V=\oplus _{1\leq \alpha \leq N}S.}$

이 용어에서 Wold 분해는 이등분법을 순수한 이등분법(Isometry)과 단일 운영자의 직접적인 합으로 표현한다.

모든ⁿ n m m에 대해 V(M) ⊥ V^m(M)이 ⊥이면 서브공간 M은 V의 유랑 서브공간이라고 한다.특히 위에서 정의한 각 M은_i V의 방황하는 서브공간이다.

일련의 등각도

이 구간은 확장이 필요하다.추가하면 도움이 된다. (2008년 6월)

위의 분해는 정수에 의해 지수화된 일련의 등각계로 약간 일반화될 수 있다.

등측량법에 의해 생성된 C*-알지브라

등위계 V ∈ L(H)을 고려한다.V에 의해 생성된 C*(V)를 가리킴. 즉, C*(V)는 V와 V*에서 다항식의 표준 닫힘입니다.월드 분해는 C*(V)의 특성을 나타내기 위해 적용할 수 있다.

C(T)를 장치 원 T의 연속 기능이 되도록 한다.우리는 일방적 이동 S에 의해 생성된 C*-알지브라 C*(S)는 다음과 같은 형태를 취하고 있음을 기억한다.

C*(S) = {T_f + K T는_f 연속 기호 f ∈ C(T)를 가진 토우플리츠 연산자, K는 콤팩트 연산자}이다.

이 식별에서 S = T_z 여기서 z는 C(T)의 ID 함수다.대수 C*(S)는 토플리츠 대수라고 한다.

정리(Coburn) C*(V)는 토플리츠 대수에 이형이며, V는_z T의 이형상이다.

증명서는 토플리츠 대수학의 설명에서 C(T)와의 연결에 달려 있으며, 단일 연산자의 스펙트럼이 원 T에 포함되어 있다는 것이다.

토우플리츠 대수학의 다음과 같은 특성이 필요할 것이다.

1. ${\displaystyle T_{f}+T_{g}=T_{f+g}\,}$
2. ${\displaystyle T_{f}^{*}=T_{\bar {f}.}$
3. 세미코뮤터 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$T ${\displaystyle f_{}}$ g $displaystyle T_{f}$$T_{g}-T_{fg}\,}$은(는) 소형이다.

월드의 부패는 V가 T와_z 일부 단일 U를 복사한 직접적인 합이라고 말한다.

${\displaystyle V=(\oplus _{\alpha \in A}T_{z}\oplus U.}$

그래서 우리는 연속 기능 미적분 f → f(U)를 호출하고 정의한다.

${\displaystyle \Phi :C^{*}(S)\오른쪽 화살표 C^{*(V)\quad {\text{by}}\quad \Phi(T_{f}+K)=\oplus _{\alpha \in A}({f}+K)\oplus f(U).}$

이제 φ이 V로 일방적 전환을 지도하는 이형성임을 확인할 수 있다.

위의 속성 1에 의해 φ은 선형이다.지도 φ은 어떤 0이 아닌 f ∈ C(T)에 대해서도 T가_f 콤팩트하지 않기 때문에, 따라서 T_f + K = 0은 f = 0을 내포하기 때문에 주입된다. of의 범위는 C*-algebra이므로, φ은 C*(V)의 최소성에 의해 굴절적이다.속성 2와 연속 기능 미적분은 ensure이 *-작동을 보존함을 보장한다.마지막으로 세미코뮤터 속성은 φ이 곱셈임을 나타낸다.그러므로 정리는 유지된다.

참조

• Coburn, L. (1967). "The C*-algebra of an isometry". Bull. Amer. Math. Soc. 73 (5): 722–726. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11845-7.
• Constantinescu, T. (1996). Schur Parameters, Factorization and Dilation Problems. Operator Theory, Advances and Applications. Vol. 82. Birkhäuser. ISBN 3-7643-5285-X.
• Douglas, R. G. (1972). Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Academic Press. ISBN 0-12-221350-5.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985). Hardy Classes and Operator Theory. Oxford University Press. ISBN 0-19-503591-7.