4학년

차등 기하학에서 4단(또는 4단) $∂{\$ 은 ${\boldsymbol {\partial }}$ 벡터 미적분학에서 나온 ${\vec {\boldsymbol {\nabla }}}$ 경사도 ${\vec {\boldsymbol {\nabla }}}$ → ${\$ 의 4 벡터 아날로그다.

특수상대성이론과 양자역학에서는 4단계를 사용하여 다양한 물리적 4벡터와 텐서 사이의 특성과 관계를 정의한다.

표기법

이 문서는 (+ -) 메트릭 서명을 사용한다.

SR과 GR은 각각 특수상대성이론과 일반상대성이론의 약칭이다.

$c$ $[\displaystyle c}$ 는 진공에서 빛의 속도를 나타낸다 $c$ .

$\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ ㎕ $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ = $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ 1, $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ - $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ , $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ - $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ , - $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag}[1,-1,-1]$ 은 $\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ SR의 평탄한 스페이스타임 메트릭이다.

물리학에는 4벡터 표현을 쓰는 다른 방법이 있다.

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}

is a four-vector style, which is typically more compact and can use vector notation, (such as the inner product "dot"), always using bold uppercase to represent the four-vector, and bold lowercase to represent 3-space vectors, e.g.

{\displaystyle {\vec

{\mathbf{a}}}}\cdot {\vec {\mathbf {b

3-공간 벡터 규칙의 대부분은 4-벡터 수학에서 유사점을 갖는다.

A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }

is a Ricci calculus style, which uses tensor index notation and is useful for more complicated expressions, especially those involving tensors with more than one index, such as

{\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^

{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu

F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }

라틴 텐서 인덱스 범위는 {1, 2, 3}이며, 3-공간 벡터를 나타낸다. 예를 $A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}$ , A $A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}$ i $A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}$ = ( $A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}$ , 2, $A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}$ ) = $A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}$ → $A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}$ {\ $displaystyle$ A $^{i}=\pref(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\\\\mathbf {a$

The Greek tensor index ranges in {0, 1, 2, 3}, and represents a 4-vector, e.g. $A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A}$ .

In SR physics, one typically uses a concise blend, e.g. $\mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)$ , where $a^{0}$ represents the temporal component and ${\vec {\mathbf {a} }}$ represents the spatial 3-component.

SR의 텐서는 일반적으로 4D $(m,n)$ , $(m,n)$ ) ${\displaystyle$ (m $,n)}$ -tensor이며 $(m,n)$ , $m$ $m$ 개의 $m$ 상위 지수와 n $n$ 의 $n$ 하위 지수를 가지며, 4D는 각 지수가 취할 수 있는 값 수를 나타낸다.

민코프스키 측정에 사용되는 텐서 수축은 어느 한쪽으로도 갈 수 있다(아인슈타인 표기법 참조).^[1]^{: 56, 151–152, 158–161}

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}

정의

4-벡터 및 Ricci 미적분 표기법으로 압축된 4-분위 공변량 성분은 다음과 같다.^[2]^[3]^{: 16}

{\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\mu _{z}\right)=\mu }={\mu }={}_{,\mu }}}}}

위의 마지막 부분의 쉼표, ${}_{,\mu }$ , ${\$ 은(는) $X^{\mu }$ X $X^{\mu }$ ${\$ 에 대한 부분 분화를 의미한다 ${}_{,\mu }$ $X^{\mu }$

반대되는 구성 요소는 다음과 같다.^[2]^[3]^{: 16}

\mathbf {\partial } =\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\c}{t}}{c},-\c},-\c}-\cHB _{y}-\cHB _{z}\오른쪽)

${\$ 에 대한 대체 기호는 $\Box$ ◻ ${\displaystyle$ $\Box}$ 및 D이다 $\partial _{\alpha }$ $\Box$ (그러나 $\Box$ $\partial ^{\mu }\partial _{\mu }$ ${\$ $displaystyle$ $[\$ _ ${\mu$ }}, d'Al'Allum operator).

In GR, one must use the more general metric tensor $g^{\alpha \beta }$ , and the tensor covariant derivative $\nabla _{\mu }={}_{;\mu }$ , (not to be confused with the vector 3-gradient ${\vec {\nabla }}$ ).

공변량 $∇{\$ $nu$ $\nabla _{\nu }$ $}}$ 은(는) 4단계의 $∂{\$ $\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }$ }}을 $\nabla _{\nu }$ $\partial _{\nu }$ (를) 포함하며, Christoffel 기호 $\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }$ μ ${\$ 을 통한 $spechnology$ curvature?

강력한 동등성 원리는 다음과 같이 말할 수 있다.^[4]^{: 184}

SR에서 텐서 표기법으로 표현할 수 있는 모든 물리적 법칙은 곡면 스페이스타임의 국소 관성 프레임에서 정확히 동일한 형태를 가진다.SR의 4단계 콤마(,)는 단순히 GR의 공변성 파생 세미콜론(;)으로 변경되며, 둘 사이의 연결은 Christoffel 기호를 사용한다.이것은 상대성 물리학에서 "코마와 세미콜론 규칙"으로 알려져 있다.

따라서 예를 들어 SR에서 $T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ $T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ $T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ μ $T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ , $T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ = 0 ${\displaystyle T^{\$ mu $\nu }{}_{,\mu }=0},$ GR에서는 $T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0$ $T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0$ $T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0$ ; $T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0$ = $T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0$ ${\displaystytle$ T $^{}{}_{;\mu }=0}.$

a (1,0)-텐서 또는 4-벡터에서는 다음과 같다.^[4]^{: 136–139}

{\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}

a(2,0)-tensor의 경우 이는 다음과 같다.

{\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}

사용법

4학년생들은 특수상대성(SR)에서 다양한 방법으로 사용된다.

이 글 전체에서 공식은 SR의 평평한 스페이스타임 밍코스키 좌표에 대해 모두 올바르지만 일반 상대성(GR)의 보다 일반적인 곡선 공간 좌표에 대해 수정해야 한다.

보존법의 원천이자 4가지 다양성으로서

다이버전스는 각 지점에서 벡터 필드의 소스의 양을 주는 서명된 스칼라 필드를 생성하는 벡터 연산자다.이 메트릭 시그니처[+,-,-]에서 4-Gradient는 음의 공간 구성요소를 가지고 있다는 점에 유의하십시오.민코우스키 미터법이 대각선이기 때문에 4D 도트 제품을 복용할 때 취소된다[+1,-1,-1,-1].

$X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$ $X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$ μ $X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$ = ( $X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$ t , $X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$ → ) $X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$ {\ $displaystyle$ X $^{\mu }=\좌측(ct,{\vec {\mathbf {x}}}}}}\우측)$ 의 4-diversity of spacetime 치수는 다음과 $X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$ 같다.

\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4

4전류 밀도의 4전위

J^{\mu }=\left(\rho c, {\vec {\mathbf{j}}}}}\rho_{o}U^{\mu }}=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u}}}}}}\좌(\rho c,\rho {\bech {u}}}}}오른쪽)

비용 보존 관련 법률을 제정한다.^[1]^{: 103–107}

{\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0

즉, 전하 밀도의 변화 시간 속도는 $\partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}$ $\partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}$ $\partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}$ = - $\partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}$ ∇ → $\partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}$ $\partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}$ → $\$ beccdot{\ $bec{j}}}}}}$ 의 음의 공간적 차이와 같아야 한다 $\partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}$

즉, 상자 안의 전하가 임의로 변경될 수 없고, 전류를 통해 상자를 드나드는 것이다.이것은 연속성 방정식이다.

4-숫자 플럭스(4-분진) $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ = $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ ( $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ → $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ ) $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ = $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ = $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ = c, $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ → $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ ) $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ = $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ ( $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ → ) = (n $c,$ n u → $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ ) ${\$ N $^{\mathbf{n}}}=n_no}$ $U^{\mu }}=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u}}}}}}\좌(nc,n{\vec {\mathbf {u}}}}}}}오른쪽)$ 는 $N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)$ 입자 보존에 사용된다.^[4]^{: 90–110}

{\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdotn{\vec {\mathbf{u}}}}}=0

이것은 입자수 밀도에 대한 보존 법칙인데, 전형적으로 2차수 밀도와 같은 것이다.

전자파 4전위 ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ = ( ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ c ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ , a ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ → ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ) ${\$ }}{ $c},{\vec$ {\ $mathbf$ {a $}}}}}}\right)$ 의 4차원 전위는 로렌츠 게이지 조건에서 사용된다 ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ .^[1]^{: 105–107}

{\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\becla }}}\cdot {\vec{a}=0

이는 전자파 4전위 보존법에 준하는 것이다.

횡방향 무궤도 4D(2,0)- $h_{TT}^{\mu \nu }$ $h_{TT}^{\mu \nu }$ T $h_{TT}^{\mu \nu }$ μ μ $h_{TT}^{\mu \nu }$ ${\$ $TT}^{\mu \nu}$ 는 약한 영역 한계에서 중력 방사선을 나타낸다 $h_{TT}^{\mu \nu }$ (즉, 선원에서 멀리까지 자유롭게 전파).

{\displaystyle \mathbf {\partial

TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{

TT}^{\mu \nu }=0}

\mathbf {\partial } \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0

: 가로 조건

자유롭게 중력파를 전파하기 위한 보존 방정식과 동등한 것이다.

스페이스타임 번역과 관련된 보존된 노에더 전류인 $T^{\mu \nu }$ 응력-에너지 $T^{\mu \nu }$ T ${\$ 의 4-diversity는 SR의 4가지 보존 법칙을 제시한다.^[4]^{: 101–106}

에너지의 보존(임시 방향)과 선형 운동(별도의 공간 방향 3개)의 보존.

{\boldsymbol {\partial }\cdot T^{\mu \nu \nu }{\nu }}{}_{}},\nu }=0^{}=(0,0,0,0,0)}}}

흔히 다음과 같이 쓴다.

\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{}}{}_{,\nu }=0

여기서 단일 0은 실제로 4-105

0^{\mu }=(0,0,0,0)

0^{\mu }=(0,0,0,0)

=

0^{\mu }=(0,0,0,0)

(

0^{\mu }=(0,0,0,0)

0^{\mu }=(0,0,0,0)

0^{\mu }=(0,0,0,0)

0 )

{\displaystyle 0^{\mu }=

(

0,

0,

0,

0,

0)}}}}

인 것으로 파악된다

0^{\mu }=(0,0,0,0)

When the conservation of the stress–energy tensor ( $\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }$ ) for a perfect fluid is combined with the conservation of particle number density ( ${\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0$ ), both utilizing the 4-gradient, one can d유체역학과 천체물리학에서 특수상대성이론의 영향을 설명하는 오일러 방정식의 일반화인 상대론적 오일러 방정식을 침식한다.이러한 방정식은 유체 3공간 속도가 빛의 속도보다 훨씬 낮고, 압력이 에너지 밀도보다 훨씬 낮으며, 후자가 나머지 질량 밀도에 의해 지배되는 경우 고전적인 오일러 방정식으로 감소한다.

평탄한 스페이스 시간에서 데카르트 좌표를 사용할 때 이를 스트레스-에너지 텐서의 대칭과 결합하면 각운동량(상대적인 각운동량)도 보존된다는 것을 알 수 있다.

\partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }

여기서 이 0은 실제로 a(2,0)-autor 0이다.

SR Minkowski 메트릭 텐서용 Jacobian 매트릭스

Jacobian 행렬은 벡터 값 함수의 모든 1차 부분 파생상품의 행렬이다.

4단계의 $X^{\nu }$ 에 작용하는 $\partial ^{\mu }$ $\partial ^{\mu }$ 4단계의 $\partial ^{\mu }$ {\ $displaystyle$ $\partial ^{\mu }}}$ 에 작용하는 \displaystyle $X^{\nu }}}$ SR $X^{\nu }$ Minkowski 공간 메트릭 ${\$ ^[3]^{: 16} :

{\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{\partial}[\mathbf{X}]=\partial ^ᆱ[X^{\nu}]=X^{\nu_{,}\mu}&=\leftᆭ\left[\left(ct,{\vec{x}}\right)\right]=\leftᆮ[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&, ={\begin{bmatrix}{\frac{\par.tial_{t}}{c}}ct&,{\frac{_{t\partial}}{c}}x&,{\frac{_{t\partial}}{c}}y&,{\frac{_{t\partial}}{c}}z\\-\partial _{)}ct&,-\partial _{)}x&,-\partial _{)}y&,-\partial _{)}z\\-\partial _{y}ct&,-\partial _{y}x&,-\partial _{y}y&,-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&,-\partial _{z}x&,-\partial _{z}y&,-\partial _{z}z\end{bmatrix.}}={\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&, 0\\0&, -1&, 0&, 0\\0&, 0&, -1&, 0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}\[3pt]&=\bmatrix}[1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{정렬}}}

민코스키 메트릭의 경우, $\left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]$ 요소 $\left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]$ [ $\mu$ $\left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]$ = 1 $\left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]$ / [ $\left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]$ $\left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]$ $\left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]$ \ $displaystyle \left[\eta \mu }\right]=1/\eta _{\mu$ $\$ $mu }\right]($ μ ${\displaystymuley$ \ $mu },$ μ μ $\left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]$ μ μ μ μ μ μ μ ])는 모두 0이다 $\mu$ .

카르테시안 밍코우스키 미터법의 경우, $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ = μ μ μ μ = $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ μ $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ = $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ diag [ $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ , $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ - $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ , $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ - $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ , - $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ {\ $displaystyle \eta$ \eta $^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\diag}=\diag}=\$ diag}}}}.[ $1,-1]$ 가 된다 $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$

Generally, $\eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]$ , where $\delta _{\mu }^{\nu }$ is the 4D Kronecker delta.

로렌츠 변환을 정의하는 방법

로렌츠 변환은 다음과^[4]^{: 69} 같이 텐서 형태로 쓰여진다.

X^{\mu '}}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }}}}}}}}}

그리고

\Lambda _{\nu }^{\mu '}

㎕

\Lambda _{\nu }^{\mu '}

{\

은(는) 상수에 불과하므로

\Lambda _{\nu }^{\mu '}

, 그렇다면

{\dfrac {\dfrac {\partial X^{\mu '}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu ^{\mu '}}}}}}}}}}}}}}}}{\mu '}}}}}}}}}}}}}}}

따라서, 4학년의 정의에 의해

\partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}

이 정체성은 기본이다.4-벡터 성분의 역에 따른 4-Gradient 변환의 성분.그래서 4학년은 "아체티팔"의 한 형태다.

전체 적정시간 파생상품의 일부로

4단계의 $U^{\mu }$ 4-속도 $U^{\mu }$ $U^{\mu }$ ${\$ 의 스칼라 제품은 적절한 시간 d d ${\frac {d}{d\tau }}$ ${\$ 에 대한 총 파생물을 제공한다 ${\frac {d}{d\tau }}$ ^[1]^{: 58–59}

{\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{U}\cdot \mathbf{\partial}&.=U^{\mu}\eta _{\mu \nu}\partial ^{\nu}=\gamma \left(c,{\vec{너}}\right)\cdot \left({\frac{\partial_{t}}{c}},-{\vec{\nabla}}\right)=\gamma \left(c{\frac{\partial_{t}}{c}}와{\vec{너}}\cdot{\vec{\nabla}}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac{dx}{dt}}\partial _{)}+{\fr.ac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } \end{aligned}}}

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial }$ $\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial }$ $\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial }$ ${\$ { $U} \cdot \mathbf$ {\ $partial }}}}$ 이(가 $\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial }$ ) 로렌츠 스칼라 불변제라는 사실은 적절한 ${\frac {d}{d\tau }}$ d ${\frac {d}{d\tau }}$ ${\frac {d}{d\tau }}$ { ${\frac {d}{d\tau }}$ {\ $d}{d\tau}}}$ 에 관한 총 파생상품이 로렌츠 스칼라 불변제라는 것을 ${\frac {d}{d\tau }}$ 보여준다.

따라서 예를 들어 4-속도 U $U^{\mu }$ ${\$ U $^{\mu$ }}은 $U^{\mu }$ $($ 는) 적절한 시간에 대해 $X^{\mu }$ 4-위치 $X^{\mu }$ {\ $displaystyle$ X $^{\mu }$ 의 파생물이다.

{\dfrac {d}{d\tau}}}\mathbf {X} =(\mathbf {U}\cdot \mathbf {\partial })\mathbf {X}\cdot \mathbf {\partial } [\mathbf {X}= ]}U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }

또는

{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U}

또 다른 예로는 4-가속 $A^{\mu }$ $A^{\mu }$ ${\$ A $^{\mu}}}$ 이 $A^{\mu }$ (가) $U^{\mu }$ U μ {\ $displaystyle$ U $^{\mu$ $U^{\mu }$ :

{\begin{aigned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U})\cdot \mathbf {U}\mathbf {U} \mathbf {U}\mathbf {U= ]U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\왼쪽[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha}{\begin{bmatrix}\{\frac{_{t\partial}}{c}}\gamma c&, 0\\0&,{\vec{\nabla}}\gamma{\vec{너}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&, =\gamma \left(c{\frac{\partial_{t}}{c}}\gammac,{\vec{너}}\cdot\nabla \gamma{\vec{너}}\right)=\gamma \left(_{t}\gamma,{\frac{d}{dt}}\left[\gamma{\vec{너}}\right]\rightc\partial)=\gamma \left(c{\dot{\gamma. }},{\dot{\gamma }{\vec{u}}+\gamma {\dot {\vec{u}}\right)=\mathbf {A}\ended}}

또는

{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A}

패러데이 전자기 텐서를 정의하고 맥스웰 방정식을 도출하는 방법으로

패러데이 전자기 텐서 $F^{\mu \nu }$ $F^{\mu \nu }$ μ ${\$ 은 물리적 시스템의 틈새 시간에 전자기장을 설명하는 수학적 물체다 $F^{\mu \nu }$ .^[1]^{: 101–128}^[5]^{: 314}^[3]^{: 17–18}^[6]^{: 29–30}^[7]^{: 4}

4단계를 적용하여 비대칭 텐서를 만들면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{x}&B_{bmatrix}}}

여기서:

Electromagnetic 4-potential $A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)$ , not to be confused with the 4-acceleration ${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma$ $}}},{\dot{\dot{u}}+{\vec {u}\오른쪽)}}\dot{\vec}\오른쪽)}$
전기 스칼라 전위는 $\phi$ $\phi$ 이다.
${\vec {\mathbf {a} }}$ 3공간 벡터 전위는 → ${\$

4단계를 $J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)$ 적용하고 4전류 밀도를 J $J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)$ = $J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)$ = $J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)$ $J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)$ , $J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)$ j $J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)$ → ) ${\$ J $^{\beta$ }}=\ $mathbf {J} =\좌측(c\rho ,{\vec {\$ mathbf{ $j}}}}}}}\right})$ 으로 정의하면 $J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)$ 맥스웰 방정식의 텐서식을 도출할 수 있다.

\partial _{\alpha }F^{\\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}}}}}

\partial \partial _{\gamma }{\alpha \beta }+\partial _{\gamma \f_}{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gama \gma \ma \ma \ma }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 두 번째 줄은 비안치 정체성(야코비 정체성)의 버전이다.

4파장을 정의하는 방법

파동 벡터는 파동을 설명하는 데 도움이 되는 벡터다.여느 벡터처럼 크기와 방향을 가지고 있는데, 두 가지 모두 중요하다.그것의 크기는 파장의 웨이븐넘버 또는 각도 웨이븐넘버(파장에 역비례)이며, 그것의 방향은 일반적으로 파장의 전파 방향이다.

4파장 $K^{\mu }$ $[\$ K $^{\mu }}}}$ 은 민코프스키 스페이스에 있는 파동의 $\Phi$ \ $\Phi$ {\ $displaystyle \Phi}($ 또는 음극상 4단계)의 4학년이다 $K^{\mu }$ .^[6]^{: 387}

K^{\mu }=\mathbf {K} =\왼쪽({\frac {\omega }}{c}},{\vec {\mathbf{k}}}}\mathbf {\partial }=\partial ]

이는 수학적으로 파동의 위상(또는 더 구체적으로 말하면 평면파)의 정의와 동등하다.

\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k}}}}}}\cdot {\vec {\mathbf {x}}}}}=-\Phi

where 4-position $\mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)$ , $\omega$ is the temporal angular frequency, ${\vec {\mathbf {k} }}$ is the spatial 3-space wavevector, and $\Phi$ is the Lorentz scalar invar1단계의

\partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K}

평면파

\omega

\omega

및

{\vec {\mathbf {k} }}

→

{\

이(가)

t

t

{\vec {\mathbf {x} }}

x

{\vec {\mathbf {x} }}

→

{\

의 명시적 함수가 아니라는 가정 하에

{\vec {\mathbf {x} }}

SR 평면 파형 $\Psi _{n}(\mathbf {X} )$ ( X $\Psi _{n}(\mathbf {X} )$ ) $\Psi _{n}(\mathbf {X$ )의 명시적 형식은 다음과 같이 쓸 수 있다 $\Psi _{n}(\mathbf {X} )$ .^[7]^{: 9}

\Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}

where

A_{n}

is a (possibly complex) amplitude.

일반파 $\Psi (\mathbf {X} )$ ( $\Psi (\mathbf {X} )$ ) $\Psi (\mathbf {X} )$ 은 다중 평면파의 중첩이 될 것이다 $\Psi (\mathbf {X} )$ .

\Psi(\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[]A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}) \cdot \mathbf {X}}\오른쪽]=\sum _{n}\왼쪽[A_{n}e^{i(\Phi _{n}}\오른쪽]

다시 4학년을 이용해서

\partial [\PSI(\mathbf {X} )]=\partial \왼쪽[AE^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \왼쪽[AE^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\PSI(\mathbf {X} )]

또는

\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}

=

\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}

-

\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}

\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}

{\

}

=-i\mathbf {K

이것은 복합 값 평면파의 4단계 버전이다.

달랑베르트 연산자로써

특수상대성, 전자성, 파동 이론에서 달렘베르트 연산자 또는 파동 연산자로도 불리는 달렘베트 연산자는 민코프스키 공간의 라플레이스 연산자다.이 운영자는 프랑스의 수학자 겸 물리학자인 장 르 론드 달렘베르트의 이름을 따서 지어졌다.

$\mathbf {\partial }$ ${\$ 의 제곱은 $\mathbf {\partial }$ 4-Laplacian으로, 달랑베르트 연산자로 불린다.^[5]^{: 300}^[3]^{: 17‒18}^[6]^{: 41}^[7]^{: 4}

\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.

두 개의 4-벡터의 도트 제품인 만큼, 달렘베르티안은 로렌츠 불변성 스칼라다.

때때로 3차원 표기법과 유사하게 기호 $◻{\displaystyle \Box}$ 와 $\Box$ $\Box ^{2}$ $\Box ^{2}$ ${\$ }}는 각각 4학년과 달렘베르트어 기호에 사용된다 $\Box ^{2}$ .그러나 더 일반적으로 기호 $\Box$ $\Box$ 은 $\Box$ (는) 달렘베르트어용으로 예약되어 있다.

달렘베트교에서 사용되는 4학년의 몇 가지 예는 다음과 같다.

스핀-0 입자에 대한 클라인-고든 상대론적 양자파 방정식에서 (ex)힉스 보손:

\left[(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0

전자파장용 파동 방정식( 로렌츠 게이지( ( $(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0$ ⋅ $(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0$ ) = ( $(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0$ ( $(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0$ $(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0$ μ $(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0$ ) = $(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0$ ${\displaystyle$ (\ $mathbf {\partial$ }\ $cdot \mathbf {A}}}=\partial _{\mu ^{}\mu }\rig)=0}$ $(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0$ }:

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mathbf {0}

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mathbf {0}

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mathbf {0}

)

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mathbf {0}

= 0

{\

}

\cdot \mathbf {\partial

}

)\mathbf {A} =\mathbf {0}

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mathbf {0}

(진공백 중)

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}

)

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}

=

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}

{\

}

\cdot \mathbf {\partial

}

)\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}(

회전 효과를 포함하지 않음)

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

)

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

= e

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

μ

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

μ {

(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

{ { {\

displaystyle (\mathbf {\partial

}

\cdot \mathbf {\partial })A^{\mu }=e{\psi }}}\ma ^{\}}}}\mu

}}}\

csina }}}}(

회전 효과를 포함한 양자 전자역학원)

여기서:

전자기 4전위 $\mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)$ = $\mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)$ $\mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)$ = ( $\mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)$ $\mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)$ , a $\mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)$ → $\mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)$ ) ${\$ 은 $\mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)$ 전자기 벡터 전위 전위다.
4-전류 $\mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)$ = $\mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)$ = ( $\mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)$ c $\mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)$ , $\mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)$ → $\mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)$ ) {\ $displaystyle \mathbf$ { $J}$ =J $^{\alpha$ }=\ $left(\rho c,\vec {j}\right)}$ 은 전자기 $\mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)$ 전류 밀도다.
디락 감마 행렬 $\gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ = ( $\gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ $\gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ $\gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ $\gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ , $\gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ $\gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ , $\gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ ) ${\$ rigma }\rigma $}}}}}}}\$ rigma $\gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ \rigma }\ $riga$ \rigma \rigma \rigma \rigm

중력파의 파동 방정식에서(유사한 로렌츠 게이지 $\left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0$ ( $\left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0$ $\left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0$ $\left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0$ $\left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0$ ) 사용 $\left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0$ = $\left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0$ ${\displaystyle \left(\partial _{\mu }h_{\$ mu }h_{}}}{{}}}}}} $TT}^{\mu \nu }\오른쪽)=0}$ ^[6]^{: 274–322})

{\ } mathbf {\mathbf {\ }\cdot \mathbf {\mathbf }) }TT}^{\mu \nu }=0}

여기서

h_{TT}^{\mu \nu }

h_{TT}^{\mu \nu }

h_{TT}^{\mu \nu }

μ

h_{TT}^{\mu \nu }

{\

TT}^{\mu \nu }}}

은

h_{TT}^{\mu \nu }

(는) 약한 영역 한계에서 중력 복사를 나타내는 가로 추적 없는 2-tensor이다(즉, 선원에서 멀리 자유롭게 전파된다).

$h_{TT}^{\mu \nu }$ $h_{TT}^{\mu \nu }$ $h_{TT}^{\mu \nu }$ $h_{TT}^{\mu \nu }$ {\ $displaystyle h_{}$ 에 대한 추가 조건 $TT}^{\mu \nu}}}$ 은(는) 다음과 $h_{TT}^{\mu \nu }$ 같다.

{\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{

TT}^{\mu \nu }=h_{

TT}^{0\nu }=0}

: 순수 공간적

{\displaystyle \eta_{\mu \nu }h_{

TT}^{\mu \nu }=h_{

TT\nu }^{\nu }=0}

: 트레이스리스

{\displaystyle \mathbf {\partial

TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{

TT}^{\mu \nu }=0}

: 가로

4차원 버전의 Green 기능:

{\displaystyle(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial }G\왼쪽[\cdot \mathbf {X} -\mathbf {X'} \delta ^{4)\ref[\mathbf {X}\right]}

여기서 4D 델타 기능은 다음과 같다.

\delta ^{(4)}{\mathbf {X} ]={\frac {1}{1}{4}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K}\cdot \mathbf {X}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

4D Gauss의 정리 / Stokes의 정리 / 발산 정리 구성 요소로서

벡터 미적분학에서 가우스의 정리 또는 오스트로그라스키의 정리라고도 하는 발산 정리는 표면을 통한 벡터장의 흐름(즉, 유동)과 표면 내부의 벡터장의 거동을 연관시킨 결과물이다.더 정확히 말하면, 발산 정리는 닫힌 표면을 통과하는 벡터장의 바깥쪽 플럭스가 표면 내부의 영역에 걸쳐 발산되는 부피와 동일하다고 기술하고 있다.직관적으로, 그것은 모든 원천의 합에서 모든 싱크의 합을 뺀 것이 어떤 지역에서 그물흐름을 발생시킨다고 기술한다.벡터 미적분학, 그리고 보다 일반적으로 미분 기하학에서 스톡스의 정리(일반화된 스톡스의 정리라고도 함)는 다지관에 대한 미분형 통합에 관한 진술로, 벡터 미적분학에서 나오는 여러 가지 정리를 단순화하고 일반화한다.

\int _{\Oomega }d^{4}X\왼쪽(\partial _{\mu }\mu }오른쪽)=\point _{\partial \Oomega }dS\left(V^{}N_{\mu }\mu }오른쪽)}

또는

\int _{\Mathbf {\partial }X(\mathbf {V})=\cdot \cdot \mathbf {V}\cdot \mathbf {N}}}}

어디에

\mathbf {V} =V^{\mu }

=

\mathbf {V} =V^{\mu }

\mathbf {V} =V^{\mu }

{\

은

\mathbf {V} =V^{\mu }

(는)

\Omega

\Oomega

에 정의된 4 벡터 필드다.

\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }

\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }

\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }

=

\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }

[\

}

\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu

}}}}}은(는

\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }

)

V

V

의 4차원이다.

\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }

\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }

\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }

=

\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }

\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }

\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }

{\

= V

^{\mu }N_{\mu }}}}}}}

방향

N

을 따라

V

V

{\displaystyle

V

}

의 구성 요소다

\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }

.

\Omega

\Oomega

은

\Omega

(는) Minkowski spacetime의 4D 단순 연결 영역이다.

\partial \Omega =S

\partial \Omega =S

=

\partial \Omega =S

\partial \Oomega =S

은(는) 자체 3D 볼륨 요소

d

dS

을(를) 갖는 3D 경계선이다

\partial \Omega =S

.

\mathbf {N} =N^{\mu }

=

\mathbf {N} =N^{\mu }

\mathbf {N} =N^{\mu }

{\

=

N^{\mu }}}}

은(는) 바깥쪽을 가리키는 정규 분포다

\mathbf {N} =N^{\mu }

.

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

=

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

(

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

(

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

x

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

=

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

(

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

= (

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

y

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

z

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

)

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

{\

dstyle

d

^{4}X=(c\,dt)\좌측(d^{3}x\right)=(c\,

dt

)=(dx\,

dy\,

dz)}

는

d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)

4D 차등 볼륨 요소다.

상대론적 분석 역학에서 SR 해밀턴-자코비 방정식의 구성요소로서

해밀턴-자코비 방정식(HJE)은 고전 역학의 공식으로 뉴턴의 운동 법칙, 라그랑기 역학, 해밀턴 역학과 같은 다른 공식과 동등하다.해밀턴-자코비 방정식은 기계 시스템의 보존 수량을 파악하는 데 특히 유용하며, 기계적 문제 자체가 완전히 해결될 수 없는 경우에도 가능할 수 있다.HJE는 또한 입자의 움직임이 파동으로 표현될 수 있는 역학의 유일한 공식이다.이런 의미에서 HJE는 빛의 전파와 입자의 움직임 사이에 유추를 찾는 이론물리학(적어도 18세기 요한 베르누이에게 바치는 것)의 오랜 목표를 달성했다.

일반화된 상대론적 모멘텀 $\mathbf {P_{T}}$ T ${\$ $T}}}$ 입자는 $\mathbf {P_{T}}$ 다음과^[1]^{: 93–96} 같이 쓸 수 있다.

\mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A}

where

\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)

and

\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)

이것은 본질적으로 4 총 모멘텀 P $\mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)$ = $\mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)$ ( $\mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)$ $\mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)$ $\mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)$ , p $\mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)$ → $\mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)$ ) ${\$ $T}} =\왼쪽({\frac {E_{)$ $T}{c},{\vec {\mathbf{p_{$ $시스템$ 의 $\mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)$ T} $}}$ }}. 최소 결합 규칙을 사용하는 필드의 테스트 입자.입자 $\mathbf {P}$ ${\$ 의 고유 운동량과 $\mathbf {A}$ 입자 $전하$ q ${\$ $displaystyle \$ $mathbf$ { $A$ $}$ 과(와)의 상호 작용으로 인한 운동량이 있다 $q$

상대론적 해밀턴-자코비 방정식은 총 운동량을 작용 $S$ $S$ 의 음의 4단위와 동일하게 설정하여 얻는다 $S$

\mathbf {P_{T}} =-\mathbf {\partial } [S]=\left({\frac {E_}){T}{c},{\vec {\mathbf{p_{T}} }}\오른쪽)=\왼쪽({\frac {H}{c}}},{\vec {\mathbf {p_{}}T}}}}}}}=-\mathbf {\partial } [S]=-\왼쪽({\frac {\partial _{t}}}),-{\vec {\mathbf {\nabla}}}}\오른쪽)[S]

임시 구성 요소는 다음과 같다: $E_{T}=H=-\partial _{t}[S]$ T $E_{T}=H=-\partial _{t}[S]$ = $E_{T}=H=-\partial _{t}[S]$ = - $E_{T}=H=-\partial _{t}[S]$ $E_{T}=H=-\partial _{t}[S]$ [ $E_{T}=H=-\partial _{t}[S]$ $E_{T}=H=-\partial _{t}[S]$ $E_{T}=H=-\partial _{t}[S]$

공간 구성 요소: p ${\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\mathbf {\nabla } }}[S]$ → = ${\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\mathbf {\nabla } }}[S]$ → ${\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\mathbf {\nabla } }}[S]$ [ ${\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\mathbf {\nabla } }}[S]$ ${\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\mathbf {\nabla } }}[S]$ ${\displaystyle {\vec$ {\ $mathbf {p_{$ $T}}}}}{\vec {\mathbf {\nabla }}}}$

$H$ 서 H $H$ 는 $H$ 해밀턴 사람이다.

이는 실제로 4파장치가 위로부터의 위상의 마이너스 4등급과 동일하다는 것과 관련이 있다. ${\displaystyle$

HJE를 얻으려면 먼저 로렌츠 스칼라 불변성 규칙을 4-모멘텀에 사용한다.

\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}

그러나 최소 커플링 규칙으로 볼 때:

\mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A}

자:

{\begin{aligned}(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} )\cdot (\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} )&=(m_{0}c)^{2}\\(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\(-\mathbf {\partial } [S]-q\mathbf {A} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\end{aligned}}

시간적 및 공간적 구성요소에 침입:

{\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-(\mathbf {\nabla } [S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &(\mathbf {\nabla } [S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\오른쪽 화살표 &(\mathbf {\nabla } [S]-q\mathbf {a}}^{2}-{\frac {1}{c^{2}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\liged}}}}}}}}}}정렬

여기서 마지막은 상대론적 해밀턴-자코비 방정식이다.

양자역학에서 슈뢰딩거 관계의 구성요소로서

4학년은 양자역학과 연결되어 있다.

4-모멘텀 $\mathbf {P}$ ${\$ 과 $\mathbf {P}$ (와)^[7]^{: 3–5} 4-displaystyle relations $\mathbf {\partial }$ ${\$

\mathbf {P} =\frac {E}{c},{\vec {p}\오른쪽)=i\hbar \mathbf {\partial } =i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}}}},-\vec, {\vec {\nablablabla}}\rig)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

시간적 구성요소는 다음을 제공한다. ${\$

공간 구성 요소: ${\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}$ → ${\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}$ = - ${\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}$ ${\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}$ { ${\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}$ → {\ $displaystyle {\bec}=-i\hbar {\vec{\$ bec{\ $nabla}}}}$

이것은 실제로 두 개의 개별적인 단계로 구성될 수 있다.

첫 번째:^[1]^{: 82–84}

\mathbf {P} =\왼쪽({\frac {E}{c},{\vec {p}\오른쪽)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }}{c},{\vec {k}\오른쪽)

다음 중 4개 버전의 전체 버전:

(임시 성분) Planck-Einstein 관계 $E=\hbar \omega$ = $E=\hbar \omega$ ${\displaystyle$ E $=\hbar$ \hbar \ $omega}$

(공간 성분) de Broglie material wave relationship ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$ → ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$ = ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$ → {\ $displaystyle {\$ bec $}=\hbar {\vec {k}}}$

두 번째:^[5]^{: 300}

{\displaystyle \mathbf{K} =\좌({\frac {\omega }},{\vec {k}\우)=i\mathbf {\partial }=i\좌({\frac {\partial _{t},-\vec {\nabla }}우)

복잡한 가치의 평면 파형에 대한 파동 방정식의 4차원 버전일 뿐이다.

시간적 구성요소는 다음을 제공한다: $\omega =i\partial _{t}$ = $\omega =i\partial _{t}$ $\omega =i\partial _{t}$ $\omega =i\partial _{t}$ ${\$

${\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}$ 구성 요소: ${\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}$ → ${\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}$ = ${\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}$ - i ${\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}$ → ${\$

양자 정류 관계의 공변량 형태의 구성 요소로서

양자역학(물리학)에서 표준적 정류관계는 정관적 결합수량(정규적 결합수량) 사이의 근본적 관계(정규적 결합수량은 정의에 의해 하나가 다른 것의 푸리에 변환인 양)이다.

\left[P^{\mu }}},X^{\nu }\right]=i\hbar \partial ^{\mu }}}\i\hbar \partial ^{\nu }\right]=i\hbar \eta \{\nu \nu \nu \nu \}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

^[7]^{: 4}

\left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}

\left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}

\left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}

,

\left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}

\left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}

\left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}

=

\left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}

\left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}

\left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}

j

{\

: 공간 구성 요소 가져오기:

\left[p^{j},x^{k}\right]=-i\hbar \delta ^{jk}

: because

\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]

\left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}

[a,b]=-[b,a]

\left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}

p

\left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}

\left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}

=

\left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}

\left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}

j

{\

[a,b]=-[b,a]

j}

:

[a,b]=-[b,a]

[ a

,b

-

[a,b]=-[b,a]

[

]=-[b,a]}}}}}}

이(가) 있기 때문이다.

\left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}

\left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}

\left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}

,

\left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}

\left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}

\left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}

=

\left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}

\left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}

\left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}

{\

: reabeling indexespecting quantum communication rule을 제공한다.

상대론적 양자역학에서 파동 방정식과 확률 전류의 구성 요소로서

4단위는 다음과 같은 몇 가지 상대론적 파동 방정식의 구성요소다.^[5]^{: 300–309}^[3]^{: 25, 30–31, 55–69}

스핀-0 입자에 대한 클라인-고든 상대론적 양자파 방정식에서 (ex)힉스 보손:^[7]^{: 5}

\left[\lift(\lift(\lift)(\mu }\오른쪽)\{\mu }\fract\fract_{m_{0}c}{\hbar }}}}^{2}\right]\ft=0

스핀-1/2 입자에 대한 Dirac 상대론적 양자파 방정식에서(예: 전자):^[7]^{: 130}

\left[i\lift ^{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right]\property =0

여기서 $\gamma ^{\mu }$ $[\$ 은 Dirac 감마 행렬이고 and $\gamma ^{\mu }$ $\psi$ 은 상대론적 파형 함수다 $\psi$ .

$\psi$ $\psi$ 은(는) 클라인-고든 방정식의 경우 로렌츠 스칼라, 디락 방정식의 경우 스피너이다 $\psi$ .

감마 매트릭스 자체가 SR의 근본적인 측면인 Minkowski 메트릭스를 다시 언급하는 것은 좋은 일이다.^[7]^{: 130}

\left\{\gamma ^{\mu }}}\gamma ^{\nu }\nu }+\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\nu \nu \nu \i_{4}}}}}

4 확률 전류 밀도의 보전은 연속성 방정식에서 다음과 같다.^[7]^{: 6}

\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\\\vec {\nabla}}}}}}\cdot {\vec {\mathbf {j}}}}}}}}=0

4-확률 전류 밀도는 상대론적 공변량 식을 가지고 있다.^[7]^{: 6}

J_{prob}^{\mu }={\frac {i\hbar }{0}}}\왼쪽(\psi ^{*}\psi \partial ^{\mu }\psi \partial ^{}\mu }}\psi ^{}\*}\ripsi }오른쪽)}

4차 충전 전류 밀도는 충전량(q)에 4 확률 전류 밀도를 곱한 값이다.^[7]^{: 8}

J_{\text}}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{0}}\좌측(\psi ^{*}\psi \partial ^{\mu }\psi \partial ^{}}\mu }}}\*}오른쪽)

특수상대성이론으로부터 양자역학과 상대론적 양자파 방정식을 도출하는 핵심 요소로서

상대론적 파동 방정식은 공변량이 되기 위해 4-벡터를 사용한다.^[3]^[7]

표준 SR 4 벡터부터 시작:^[1]

4자리의

\mathbf {X} =\left(ct, {\vec {\mathbf {x}}}\오른쪽)

4시 15분

\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u}}}}오른쪽)

4시 15분

\mathbf {P} =\왼쪽({\frac {E}{c},{\vec {\mathbf {p}}}}}오른쪽)

4파장

\mathbf {K} =\좌측({\frac {\omega }}}{c},{\vec {\mathbf {k}}}}}\우측)

4-162

\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)

= (

\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)

\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)

\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)

,

\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)

-

\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)

→

\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)

)

{\

,

{\

becc {\

mathbf {\}}}}}}

각 4벡터가 로렌츠 스칼라에 의해 다른 것과 관련이 있는 이전 절의 다음과 같은 간단한 관계를 참고하십시오.

\mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X}

=

\mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X}

\mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X}

X

{\

\tau

서 {

\tau

{\

displaystyle \tau}

은

\tau

(는) 적절한 시간이다.

\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U}

=

\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U}

\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U}

\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U}

{\

m_{0}

서 m

m_{0}

{\

은

m_{0}

(는) 나머지 질량이다.

\mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P}

=

\mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P}

\mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P}

\mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P}

{\

플랑크-아인슈타인 관계와 드 브로글리 물질 파동 관계의 4 벡터 버전이다.

\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}

=

\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}

-

\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}

\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}

{\

}

=-i\mathbf {K

이것은 복합 값 평면파의 4단계 버전이다.

이제 표준 로렌츠 스칼라 제품 규칙을 각 제품에 적용하십시오.

displaystyle \mathbf {U} \c^{2}

displaysty \mathbf {P} \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}:

{\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\좌측({\frac {m_{0}c}{\hbar }}}}}}}}{\hbar }}}{2}}:

{\displaystyle \mathbf {\hbar }\cdot \mathbf {\mathbf {\} =\left\frac {-im_{0}c}{\hbar }}}^{2}=\좌측값 {m_{0}c}{\hbar }^{2}}:

마지막 방정식 (4급 스칼라 제품)은 근본적인 양자 관계다.

로렌츠 스칼라 필드 $\psi$ $\psi$ 에 적용하면 양자 상대론적 파동 방정식의 가장 기본적인 클라인-고든 방정식을 얻게 된다 $\psi$ ^[7]^{: 5–8}

\left[\mathbf {\put } \cdot \mathbf {\frac {m_{0}c}{\hbar }}}{{\hbar }}}^{2}\right]\cdes =0

슈뢰딩거 방정식은 클라인-고든 방정식의 저속도 제한 사례( $v$ ≪ $c$ )이다.^[7]^{: 7–8}

로렌츠 스칼라 필드 $\psi$ 이 $A^{\mu }$ (가) 아닌 4벡터 $A^{\mu }$ A $A^{\mu }$ {\ $displaystyle$ A $^{\mu }}}$ 에 양자 관계를 적용하면 다음과 같은 Proca 방정식을 얻게 된다 $\psi$ ^[7]^{: 361}

\left[\mathbf {\put } \cdot \mathbf {\frac {m_{0}c}{\hbar }}}:{2}\right]A^{}}{}}}=0^{\mu }}}}}}}}}

나머지 질량 항이 0(빛과 같은 입자)으로 설정된 경우, 자유 Maxwell 방정식이 제공된다.

{\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0^{\mu }}}}}}}}}}}"

다음과 같은 최소 연결 규칙을 사용하여 더 복잡한 형태와 상호작용을 도출할 수 있다.

RQM 공변량 파생 모델의 구성 요소로서(내부 입자 공간)

현대의 기초 입자 물리학에서는 현재 존재하는 것으로 알려진 여분의 RQM장(내부 입자 공간)을 활용하는 게이지 공변량 파생물을 정의할 수 있다.

고전적 전자파(자연 단위)에서 알려진 버전은 다음과 같다.^[3]^{: 39}

D^{\mu }=\partial ^{\mu }-igA^{\mu }}

우리가 현재 알고 있는 표준 모델의 기본 상호작용에 대한 완전한 공변량 파생상품은 다음과 같다(^[3]^{: 35–53}자연 단위).

{\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-ig_{1}{\frac {1}{2}}:YB^{\mu }-ig_{2}{\frac {1}{1}:{2}}\tau _{i}^{{i}^{\mu }-ig_{3}{\frac {1}{1}{1}{a}}\cdot G_{a}^\mu }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{

또는

\mathbf {D} =\mathbf {\partial } -ig_{1}{\frac {1}{2}}Y\mathbf {B} -ig_{2}{\frac {1}{2}}\mathbf {\tau _{i}} \cdot \mathbf {W_{i}} -ig_{3}{\frac {1}{2}}\mathbf {\lambda _{a}} \cdot \mathbf {G_{a}}

여기서 스칼라 제품 합계 $({\displaystyle \cdot }$ )는 텐서 인덱스가 아닌 내부 공간을 가리킨다.

B^{\mu }

B^{\mu }

{\

은(는) U(1) 침입 = (1) 전자파 힘 게이지 보손에 해당한다

B^{\mu }

.

W_{i}^{\mu }

W_{i}^{\mu }

W_{i}^{\mu }

{\

은(는) SU(2) 불변도 = (3) 약한 힘 게이지 보손(i = 1, …, 3)에 해당한다

W_{i}^{\mu }

.

G_{a}^{\mu }

G_{a}^{\mu }

{\

은

G_{a}^{\mu }

(는) SU(3) 불변도 = (8) 색상 힘 게이지 보손에 해당한다(a = 1, …, 8).

연결 상수 $(g_{1},g_{2},g_{3})$ $(g_{1},g_{2},g_{3})$ , $(g_{1},g_{2},g_{3})$ 2, $(g_{1},g_{2},g_{3})$ $(g_{1},g_{2},g_{3})$ ) ${\displaystyle (g_{1},g_{2},g_{3})$ 는 $(g_{1},g_{2},g_{3})$ 실험을 통해 반드시 발견되어야 하는 임의의 숫자다.일단 $g_{i}$ 의 $g_{i}$ 에 $g_{i}$ 대해 g i {\ $displaystyle$ g_{ $i}$ 를 고정하고 $g_{i}$ 나면 비-아벨라니아 변환의 경우 모든 표현으로 알려져 있다는 점을 강조할 필요가 있다.

이 내부 입자 공간들은 경험적으로 발견되었다.^[3]^{: 47}

파생

3차원에서 그라데이션 연산자는 벡터 필드의 두 점 사이에 통합된 선이 이 두 점에서의 스칼라 필드 사이의 차이와 같도록 스칼라 필드를 벡터 필드에 매핑한다.이를 근거로 4차원으로의 자연적 확장은 다음과 같아야 하는 것으로 잘못 나타날 수 있다.

\properset {?}}}{=}\frac \frac \refac }{\refla t}},{\becc {\bla }\오른쪽

틀리다

단, 선 적분에는 벡터 도트 제품의 적용이 수반되며, 이것을 4차원 스페이스타임으로 연장하면, 사용된 규약에 따라 공간 좌표나 시간 좌표에 기호의 변화가 도입된다.이는 스페이스타임의 비유클리드적 특성 때문이다.이 글에서는 공간 좌표 $($ 양성 측정기준 규약 $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ μ $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ = $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ diag [ $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ 1 $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ - $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ , $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ - 1, - $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ , $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ - $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag$ [ $1,-1,-1]})$ 에 음의 기호를 붙인다. $\eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ (1/c)의 계수는 4-벡터의 모든 성분에 대한 정확한 단위 치수 [길이]⁻¹를 유지하는 것이며 (-1)은 4-Grando Lorenz 공변량을 유지하는 것이다.위의 표현식에 이 두 가지 수정 사항을 추가하면 4학년생에 대한 올바른 정의를 얻을 수 있다.

\property \}=\left\frac {1}{c}{\frac {\fract }{\fract t},-{\vec{\\bela }}}

맞아요.^[1]^{: 55–56}^[3]^{: 16}

참고 항목

참조에 대한 참고 사항

물리학에서 스칼라, 4벡터, 텐서의 사용에 관해서는, 다양한 저자들이 같은 방정식에 대해 약간 다른 표기법을 사용한다.예를 들어, 어떤 사람들은 $불변$ 정지 질량에 $m$ m {\ $displaystyle$ m $}$ 을(를) 사용하고, 다른 사람들은 불변 정지 질량에 $m_{0}$ $m_{0}$ {\ $displaystyle m_{$ 0}을(를) 사용하고 $상대성$ 질량에 $m$ m $m$ 을(를) 사용한다.많은 저자들이 $c$ $c$ 과 $c$ $\hbar$ ( $\hbar$ ) $display$ {\displaystyle \ $hbar }$ 과 $(와$ ) G {\displaystyle $G}$ 의 요소를 치수 없는 통합으로 $G$ 설정한다.다른 것들은 일부 또는 모든 상수를 보여준다. $어떤$ 저자는 v $v$ 을(를) 속도에 사용하고 $v$ $,$ 어떤 $저자$ 는 u {\ $displaystyle$ $u$ }을(를) 사용하며 $u$ 어떤 저자는 $K$ $K$ 을 4파장(임의의례)으로 $K$ 사용한다.다른 $\mathbf {K}$ 은 $k$ $k$ 또는 $k$ K ${\$ $k^{\mu }$ k $k^{\mu }$ ${\$ $k^{\mu }$ 또는 $k^{\mu }$ $k_{\mu }$ $K$ $K^{\nu }$ ${\$ 또는 $K^{\nu }$ N ${\displaystystyle$ N $N$ $등$ 을 사용한다.Some write the 4-wavevector as $\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)$ , some as $\left(\mathbf {k} ,{\frac {\omega }{c}}\right)$ or $\left(k^{0},\mathbf {k} \right)$ or $\left(k^{0},k^{1},k^{2},k^{3}\right)$ $\left(k^{0},k^{1},k^{2},k^{3}\right)$ or $\left(k^{1},k^{2},k^{3},k^{4}\right)$ or $\left(k_{t},k_{x},k_{y},k_{z}\right)$ or ${\di$ $splaystyle \left(k^{1},k^{2},k^{3},ik^{4}\오른쪽$ 일부는 치수 단위가 4-벡터 전체에서 일치하도록 하고 다른 일부는 그렇지 않다.어떤 것은 4-벡터 이름에서 시간적 요소를 가리키고, 다른 것은 4-벡터 이름에서 공간적 요소를 가리킨다.어떤 사람들은 그것을 책 전체에 섞고, 어떤 때는 하나를 사용하다가 나중에 다른 하나를 사용하기도 한다.미터법(+ - - -)을 사용하는 사람도 있고 미터법(- + + + +)을 사용하는 사람도 있다.어떤 사람들은 4-벡터를 사용하지 않지만, 모든 것을 구식 E와 3-공간 벡터 p처럼 한다.중요한 것은, 이 모든 것들이 다른 것들보다 더 명확하고 간결한, 단지 논설적인 스타일일 뿐이다.물리학은 전체적인 파생에 걸쳐 일관된 스타일을 사용하는 한 동일하다.^[7]^{: 2–4}

참조

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^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k Kane, Gordon (1994). Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces (Updated ed.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-62460-5.
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^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p Greiner, Walter (2000). Relativistic Quantum Mechanics: Wave Equations (3rd ed.). Springer. ISBN 3-540-67457-8.

추가 읽기

S. 힐데브란트, "분석 II"(미적분 II), ISBN 3-540-43970-6, 2003
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