알렉산더 다항식

수학에서 알렉산더 다항식은 각 매듭 유형에 정수 계수를 갖는 다항식을 할당하는 매듭 불변제다.제임스 와델 알렉산더 2세는 1923년에 최초의 매듭 다항식인 이것을 발견했다.1969년에 존 콘웨이는 현재 알렉산더-콘웨이 다항식이라고 불리는 이 다항식의 버전을 보여주었는데, 1984년에 존스 다항식이 발견되기 전까지는 그 중요성이 실현되지 않았지만, 스키닌 관계를 사용하여 계산될 수 있었다.콘웨이가 알렉산더 다항식을 재작업한 직후, 그의 다항식에 관한 알렉산더의 논문에도 비슷한 스키인 관계가 전시되어 있다는 것이 실감났다.^[1]

정의

K를 3-sphere에서 매듭짓게 하라.X를 K의 매듭보충의 무한 순환 커버가 되게 하라.이 덮개는 K의 세이퍼트 표면을 따라 매듭보완물을 절단하고 경계가 있는 결과 다지관의 무한히 많은 복사본을 주기적으로 접착함으로써 얻을 수 있다.X에 작용하는 커버 변형 t가 있다.H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$) {\$displaystyle H_{1}(X)}$으로 표시된 X의 첫 번째 호몰로지(정수 계수가 있는 경우)를 고려하십시오$.$변환 t는 호몰로지(homology)에 작용하므로 우리는 $Laurent{\displaystyle \mathbb{}}$ 다항식 Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle t,}$ t${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[t,t^{-1}]}$의 링 위에 있는$$ H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystysty H_{1}(X)}$ 모듈을 고려할 수 있다$.$이것은 알렉산더 불변제 또는 알렉산더 모듈이라고 불린다.

이 모듈은 정밀하게 표현할 수 있다. 이 모듈의 표시 행렬을 알렉산더 행렬이라고 한다.만약 발생기 수, r이 관계 수, s보다 작거나 같으면, 우리는 매트릭스의 r 마이너들에 의해 모든 r에 의해 생성된 이상을 고려한다; 이것은 제롯 피팅 이상 또는 알렉산더 이상이며 제시 매트릭스의 선택에 의존하지 않는다.r > s일 경우 이상을 0으로 설정한다.알렉산더 이상이 주체가 되면 발전기를 가져라. 이것을 알렉산더 다항식 매듭이라고 한다.이것은 Laurent monomial${\displaystyle }$± ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$에 의한 곱셈까지만 고유하기 때문에 종종 특정한 독특한 형태를 수정한다$.$알렉산더가 정상화를 선택한 것은 다항식에게 양수 항을 갖도록 하는 것이다.

알렉산더는 알렉산더 이상이 0이 아니며 항상 주체가 된다는 것을 증명했다.따라서 알렉산더 다항식은 항상 존재하며, $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$( $){\displaystyle \Delta _{K}(t)}$를 나타내는 매듭 불변형이다$.$한 문자열로 구성된 매듭에 대한 알렉산더 다항식은 t의² 다항식이고, 미러 이미지 매듭에 대해서도 동일한 다항식이다.즉, 그것은 그것의 거울 이미지로 매듭과 매듭을 구별할 수 없다.

다항식 계산

다음의 알렉산더 다항식 계산 절차는 그의 논문에서 J. W. 알렉산더에 의해 주어졌다.^[2]

n개의 교차점이 있는 매듭의 방향도를 취하십시오. 매듭 다이어그램에는 n + 2개의 영역이 있다.알렉산더 다항식(Alexander polyomial)을 계산하려면 먼저 크기(n, n + 2)의 발생 행렬을 생성해야 한다.n 행은 n 교차점에 해당하며, n + 2 열은 영역에 해당된다.매트릭스 항목의 값은 0, 1, -1, t, -t 중 하나이다.

특정 지역과 교차점에 해당하는 입력을 고려한다.지역이 건널목에 인접하지 않은 경우, 입력은 0이다.지역이 건널목에 인접한 경우, 그 위치에 따라 진입이 달라진다.다음 표는 들어오는 언더크로싱 선의 관점에서 횡단에서의 지역 위치에 의해 결정되는 입력을 나타낸다.

언더크로싱 전 왼쪽: -t

언더크로스 전 우측: 1

언더크로스 후 왼쪽: t

언더크로스 후 우측: -1

행렬에서 인접 영역에 해당하는 2개의 열을 제거하고 새로운 n by n 행렬의 결정 인자를 구한다.제거된 열에 따라 답은 ${\displaystyle {곱셈}^{}}$에 따라 달라지는데$,{\displaystyle }$ 여기서 $n의 힘$은 반드시 매듭의 교차 횟수가 아니다$.$이러한 모호성을 해소하기 위해서는 t의 가능한 가장 큰 힘을 나누어 필요할 경우 -1로 곱하여 상수 항이 양수되도록 한다.이것은 알렉산더에게 다항식을 준다.

알렉산더 다항식도 세이퍼트 행렬에서 계산할 수 있다.

After the work of J. W. Alexander, Ralph Fox considered a copresentation of the knot group ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\backslash K)}$, and introduced non-commutative differential calculus Fox (1961), which also permits one to compute ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$. Detailed exposition of this a알렉산더 다항식들에 대한 연구는 Crowell & Fox(1963년)라는 책에서 찾을 수 있다.

다항식의 기본 특성

알렉산더 다항식은 대칭이다$$: ${\displaystyle {\Delta }_{}}$K (${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$) = ${\displaystyle {\Delta }_{}}$K (${\displaystyle t}$ )$${\$displaystyle \Delta _{K}(t^{-1}=\Delta _{K}(t)}$

From the point of view of the definition, this is an expression of the Poincaré Duality isomorphism ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)}$ where ${\displaystyle G}$ is the quotient of the field of fractions of ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ by ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$, considered as a ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$-module, and where ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}}$ is the conjugate ${\displaystyle \mathbb{Z}[t,t^{-1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$-module to ${\displaystyle H_{1}X}$ ie: as an abelian group it is identical to ${\displaystyle H_{1}X}$ but the covering transformation ${\displaystyle t}$ acts by ${\displaystyle t^{-1}}$.

또한 알렉산더 다항식은 1: ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{K}{}_{}}$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$± 1 ${\displaystyle \Delta _{K}(1)=\pm$ 1$\}$의 단위를 평가한다.

정의의 관점에서, 이것은 매듭보완물이 피복 $변환{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$에 의해 생성된 호몰로지 서클이라는 사실의 표현이다$.$ 보다 일반적으로 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가${\displaystyle )}$ ${\displaystyle n}$ k ${\displaystyle ({H\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$) = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 순위(H_{1}M)=1}$가 알렉산더가 있을 정도로 3-manifold인 경우.다항식 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \Delta _{M}(t)}$은 무한 반복 커버 공간의 이상적인 순서로 정의된다$$.이 경우 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \Delta _{M}(1$)은 서명까지 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle H_{1}M}$의 비틀림 하위 그룹의 순서와 동일하다$.$

대칭적이며 1에서 한 단위로 평가되는 모든 일체형 Laurent 다항식은 매듭의 알렉산더 다항식(Alexander 다항식)이라고 알려져 있다(Kawauchi 1996).

다항식의 기하학적 유의성

알렉산더 이상은 주체가므로 매듭 그룹의 정류자 하위 그룹이 완벽할 경우에만(즉, 자체 정류자 하위 그룹과 동일) $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=1}.$

위상적으로 절편 $매듭$의 경우, 알렉산더 다항식은 Fox-Milnor 조건 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$ (${\displaystyle t{}^{}}$- 1 )${\displaystyle \Delta _{K}(t)=f(t)f$$(t^{-$$1})$를 만족하며, 여기서$$ $f{\displaystyle }$($)$는 다른$$ 일부 필수 다항이다.

두 배의 매듭 속은 알렉산더 다항식의 정도에 의해 아래에 경계된다.

Michael Freedman은 3-sphere의 매듭이 토폴로지적으로 잘린다는 것을 증명했다. 즉, 매듭의 알렉산더 다항식이 사소한 경우 4-ball에서 "로컬하게 평평한" 위상학적 원반을 경계한다(Freedman and Quinn, 1990).

^[3] 물리적 모델에서 도출된 주 합계를 통해 알렉산더 다항식의 첫 번째 구성을 설명한다.이러한 주제와 물리학과의 다른 연관성에 대한 조사가 제공된다.^[4]

표면과 부드러운 4차원 위상과의 다른 관계가 있다.예를 들어, 어떤 가정에서는 2차원 토러스 주변을 제거하고¹ S와 교차한 매듭보완물로 교체하는 수술을 함으로써 매끄러운 4-매니폴드를 수정하는 방법이 있다.결과는 원문에 대한 4마니폴드의 부드러운 동형체인데, 지금은 시버그-위튼 불변성체가 알렉산더 다항식 매듭으로 곱셈에 의해 수정되었다.^[5]

대칭이 있는 매듭은 알렉산더 다항식을 제한한 것으로 알려져 있다.(Kawauchi 1996)의 대칭 부분을 참조한다.그럼에도 불구하고 알렉산더 다항식은 강한 반전성과 같은 일부 대칭을 검출하지 못할 수 있다.

매듭이 원 위의 섬유들을 보완한다면, 매듭의 알렉산더 다항식은 단색인 것으로 알려져 있다(가장 높은 순서와 ${\displaystyle \mathrm{가장}}$ 낮은 순서의 계수는 $\pm {\displaystyle }$ 1$[\displaystyle \pm 1}).$${\displaystyle {실제로}_{}}$ $S{\displaystyle }$→ ${\displaystyle C_{}}$ K${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$1}$가$$매듭보완물인$$ 섬유다발이라면$$ g${\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g:$$S\to S}$ represent the monodromy, then ${\displaystyle \Delta _{K}(t)={\rm {Det}}(tI-g_{*})}$ where ${\displaystyle g_{*}\colon H_{1}S\to H_{1}S}$ is the induced map on homology.

위성 작전과의 관계

매듭 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 패턴 매듭 $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ K$'}$이(가) 있는 위성 매듭인 경우($$내장 $f{\displaystyle }$: S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$→ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$S^{1}\times D^{2}\to S^{3}}$ such that ${\displaystyle K=f(K')}$, where ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}}$ is an unknotted solid torus containing ${\displaystyle K'}$), then ${\displaystyl$$e \Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\}}}(t^{a})$$\Delta _{K'}(t)}$, where ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ is the integer that represents ${\displaystyle K'\subset S^{1}\times D^{2}}$ in ${\displaystyle H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z} }$.

예:connect-sum ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {K{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}\mathrm{}}_{}}$# K ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {K{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}{{}_{}}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {K{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}{{}_{}}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \Delta _{K_{1}\#K_{2}}($t)=\$Delta$ _{$K_{1$}}}}}\{$K_{$1$}(t$)\$델타 _{K_{2}}(t$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(${\displaystyle 가}$) 지지되지 않은 화이트헤드 이중이라면 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ K${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty \Delta _{K}(t)=\pm$ 1$}$.

알렉산더-콘웨이 다항식

알렉산더는 알렉산더 다항식이 틀어진 관계를 만족한다는 것을 증명했다.존 콘웨이는 나중에 이것을 다른 형태로 재발견하여, 비코트의 값 선택과 함께 스키닌 관계가 다항식을 결정하기에 충분하다는 것을 보여주었다.콘웨이의 버전은 정수 계수가 있는 z의 다항식이며, $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \nabla (z)}$로 표시되며, 알렉산더-콘웨이 다항식(Alexander 다항식 또는 콘웨이-알렉산더 다항식이라고도 한다.

$L{\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$은(는) 그림에 표시된 것처럼 다이어그램의 지정된 교차 영역에 대한 교차 및 평활 변경으로 인한 링크 다이어그램이라고 가정합시다$$.

콘웨이의 비뚤어진 관계는 다음과 같다.

• ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$( ${\displaystyle O}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \nabla (O)=1}($여기서 O는 unknot의 다이어그램임)
• ${\displaystyle \nabla(L_{+})-\nabla(L_{-}=z\nabla(L_{0})}$

The relationship to the standard Alexander polynomial is given by ${\displaystyle \Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(t-t^{-1})}$. Here ${\displaystyle \Delta _{L}}$ must be properly normalized (by multiplication of ${\displaystyle \pm t^{n/2}}$) to satisfy the skein relationship $\Delta {\displaystyle \mathrm{}({}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$) -${\displaystyle \mathrm{\Delta }({}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{t}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Delta }({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \Delta(L_{+})-\Delta(L_{-}-}-}=(t^{1/2}-t^{1/2/$2)}$\Delta (L_{0$ 이 관계는 Laurent 다항식(t^1/2)을 제공한다는 점에 유의하십시오.

Trefoil의 Conway 다항식 계산 예제는 매듭 이론을 참조하십시오.

플로어 호몰로지와의 관계

사이비-홀모픽 곡선을 사용하고, 매듭 플로어 호몰로지라고 불리는 큰 줄무늬의 아벨리아 그룹을 각 동위원소 등급의 매듭에 연결했다.매듭 플로어 호몰로학의 등급화된 오일러 특성은 알렉산더 다항식이다.알렉산더 다항식은 매듭의 속성에 하한을 주는 반면, 매듭 Floer homology는 그 속들을 감지한다는 것을 보여주었다.마찬가지로 알렉산더 다항식은 원 위의 섬유화를 보완하는 매듭에 장애물을 주는 반면, 매듭 플로어 호몰로지(Floer homology)는 매듭이 원 위의 섬유질을 보완하는 시기를 완전히 결정한다는 것을 보여주었다.매듭 Floer homology 그룹은 Heegaard Floer homology of invariants의 일부분이다. 자세한 내용은 Floer homology를 참조하라.

메모들

참조

• Adams, Colin C. (2004) [1994]. The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3678-1. (스크린 관계 접근법을 이용한 접근 가능 도입)
• Alexander, J. W. (1928). "Topological invariants of knots and links". Transactions of the American Mathematical Society. 30 (2): 275–306. doi:10.2307/1989123. JSTOR 1989123.
• Crowell, Richard; Fox, Ralph (1963). Introduction to Knot Theory. Ginn and Co. after 1977 Springer Verlag.
• Fox, Ralph (1961). "A quick trip through knot theory". In Fort, M.K. (ed.). Proceedings of the University of Georgia Topology Institute. Englewood Cliffs. N. J.: Prentice-Hall. pp. 120–167. OCLC 73203715.
• Freedman, Michael H.; Quinn, Frank (1990). Topology of 4-manifolds. Princeton Mathematical Series. Vol. 39. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08577-7.
• Kauffman, Louis (2006) [1983]. Formal Knot Theory. Courier. ISBN 978-0-486-45052-0.
• Kauffman, Louis (2012). Knots and Physics (4th ed.). World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4383-00-4.
• Kawauchi, Akio (2012) [1996]. A Survey of Knot Theory. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9227-8. (Alexander 다항식의 여러 버전 간의 관계를 설명하는 몇 가지 다른 접근 방식)
• Ozsváth, Peter; Szabó, Zoltán (2004). "Holomorphic disks and knot invariants". Advances in Mathematics. 186 (1): 58–116. arXiv:math/0209056. Bibcode:2002math......9056O. doi:10.1016/j.aim.2003.05.001. S2CID 11246611.
• Ozsváth, Peter; Szabó, Zoltán (2004b). "Holomorphic disks and genus bounds". Geometry and Topology. 8 (2004): 311–334. arXiv:math/0311496. doi:10.2140/gt.2004.8.311. S2CID 11374897.
• Ni, Yi (2007). "Knot Floer homology detects fibred knots". Inventiones Mathematicae. Invent. Math. 170 (3): 577–608. arXiv:math/0607156. Bibcode:2007InMat.170..577N. doi:10.1007/s00222-007-0075-9. S2CID 119159648.
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• Rolfsen, Dale (1990). Knots and Links (2nd ed.). Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-16-4. (알렉산더 불변제를 사용한 고전적 접근법, 알렉산더 다항식과의 매듭 및 연결 표 설명)

외부 링크

• "Alexander invariants", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "메인 페이지"와 "알렉산더-콘웨이 다항식", 매듭 아틀라스.– 계산된 알렉산더 및 콘웨이 다항식(Alexander)