배선에 대한 정류 정리

수학에서, 트레이스에 대한 정류 정리는 트레이스의 존재 하에서 힐베르트 공간에 작용하는 특정 폰 노이만 대수의 정류자를 명시적으로 식별한다.

첫 번째 그러한 결과는 1930년대에 프란시스 조셉 머레이와 존 폰 노이만에 의해 증명되었고 이산 그룹 또는 확률 측도를 보존하는 측정 가능한 변환과 관련된 동적 시스템에 의해 생성된 폰 노이만 대수에 적용된다.

또 다른 중요한 적용은 단모듈식 국소 콤팩트 그룹의 단일 표현 이론이며, 이 이론이 정규 표현 및 기타 밀접하게 관련된 표현에 적용되어 왔다.특히 이 프레임워크는 어빙 시걸과 포레스트 스틴스프링에 의한 단일 국소 콤팩트 그룹에 대한 플랜체렐 정리의 추상 버전과 로저 고덴션에 의한 겔판드 쌍과 관련된 구면 함수에 대한 추상 플랜체렐 정리로 이어졌다.그들의 연구는 1950년대에 자크 딕스미에에 의해 힐베르 대수의 이론의 일부로서 최종 형태로 완성되었다.

1960년대 후반이 되어서야 대수 양자장 이론과 루돌프 하그의 학파에 의한 양자 통계 역학의 결과에 의해 부분적으로 자극을 받아, 보다 일반적인 비표면 토미타가-다케사키 이론은 폰 노이만 대수의 새로운 시대를 예고하며 발전했다.

유한배선에 대한 정류정리

H는 힐베르트 공간이고 M a von Neumann 대수는 다음과 같이 단위 벡터 δ를 갖는 H 위에 있다고 하자.

MΩ은 H로 밀도가 높다.
M' δ는 H로 조밀하며, 여기서 M은 M의 정류자를 나타낸다.
(ABΩ, δ) = (BAΩ, δ) (M의 모든 a, b에 대하여).

벡터 δ는 순환 분리 트레이스 벡터라고 불립니다.마지막 조건은 δ에 대응하는 행렬 계수가 M 위의 삼차 상태를 정의하는 것을 의미하기 때문에 트레이스 벡터라고 불립니다.δ는 위상 M-모듈로서 H를 생성하기 때문에 순환이라고 한다.M에서 a에 대해 AΩ = 0이면 aM'Ω = (0), 따라서 a = 0이기 때문에 분리라고 한다.

따라서 지도는

Ja\Omega =a^{*}\Omega

a in M의 경우, 항등식(J² = I)을 제곱하는 H의 켤레-선형 등각계를 정의한다.연산자 J는 보통 모듈러 활용 연산자라고 불립니다.

JMJ와 M이 서브스페이스 MΩ으로 통근하는 것이 즉시 확인되므로^[1],

JMJ\subseteq M^{\prime}

Murray와 von Neumann의 정류정리는 다음과 같이 기술한다.

JMJ=M^{\prime }

이를 확인할^[2] 수 있는 가장 쉬운 방법 중 하나는 실제 부분_sa 공간 MΩ의 폐쇄인 K를 도입하는 것입니다.여기서_sa M은 M의 자기접점 요소를 나타냅니다.따라서

H=K\oplus iK,

내부 곱의 실제 부분에 대한 직교 직합입니다.이것은 J의 ±1 eigenspace에 대한 실제 직교 분해일 뿐입니다. 반면 M의_sa a와 M'_sa의 경우 ab는 자기접합이기 때문에 내적(ABΩ, δ)은 실재합니다.따라서 M이 M으로 대체되어도 K는 변경되지 않는다.

특히 δ는 M'에 대한 트레이스 벡터이며, M이 M'로 치환되어도 J는 변경되지 않는다. 따라서 반대되는 포함은

\displaystyle JM^{\prime}J\subseteq M}

이어서 M'과 M'의 역할을 바꿉니다.

예

직시하기 쉬운 정류정리의 가장 간단한 예 중 하나는 유한군 δ가 유한차원 내부적 공간 $(δ)$ 에 좌우 $\ell ^{2}(\Gamma )$ 정례 δ와 $δ$ 에 의해 작용하는 경우이다.이러한 단일 표현은 다음 공식에 의해 주어진다. $(\displayda (g)f)(x)=f(g^{-1}x), ,(\rho (g)f)(x)=f(xg)$ f in $\ell ^{2}(\Gamma )$ 2 $\ell ^{2}(\Gamma )$ ( $\ell ^{2}(\Gamma )$ ) ${\displaystyle$ \ $ell ^{2$ }(\ $Gamma)}$ 의 $\ell^2(\Gamma)$ 경우, 정류정리는 다음을 의미한다. $\displaystyle \prime \prime \prime }^{\rho (\gamma)^{\prime },\rho (\gamma)^{\prime }=\prime da (\gamma)^{\prime }$ 연산자 J는 다음 식에 의해 주어진다. $Jf(g)=오버라인 {f(g^{-1}}}}.$ δ가 임의의 카운터레크리트 ^[3]그룹이 될 수 있는 경우에도 동일한 결과가 유지됩니다.폰 노이만 대수 ((γ)'는 보통 γ의 군 폰 노이만 대수라고 불린다.
다른 중요한 예는 확률 공간(X, μ)에 의해 제공된다.아벨리안 폰 노이만 대수A^∞ = L(X, μ)은 H² = L(X, μ)에서 곱셈 연산자에 의해 작용하며, 상수 함수 1은 순환 분리 추적 벡터이다.따라서 $A'=A,$ 그래서 A는 B(H)의 최대 아벨리안 하위 대수, H 위의 모든 유계 연산자의 폰 노이만 대수이다.
세 번째 예시는 위의 두 가지를 조합한 것입니다.에르고드 이론에서 나온, 그것은 폰 노이만이 폰 노이만 대수를 연구한 최초의 동기 중 하나였다.(X, μ)를 확률 공간, δ를 (X, μ)의 측정 보존 변환의 계수 가능한 이산군이라고 하자.따라서 그룹은 다음 공식에 따라 힐베르트 공간 H = L²(X, μ)에서 단일적으로 작용한다. $({displaystyle U_{g}f(x)=f(g^{-1}x),}$ f in H에 대하여 그리고 아벨리안 폰 노이만 대수 A = L^∞(X, μ)을 정규화한다.허락하다 $(\displaystyle H_{1}=H\otimes\ell^{2}(\Gamma ))$ 힐베르트 ^[4]공간의 텐서 곱군-측정 공간 구성 또는 교차곱 폰 노이만 대수 $M=A\rtimes\Gamma$ 는 $A\otimes I$ A $A\otimes I$ I $(\displaystyle$ A $\otimes$ I $)$ 와 $A\otimes I$ 정규화 $U_{g}\otimes \lambda (g)$ $U_{g}\otimes \lambda (g)$ $U_{g}\otimes \lambda (g)$ （ $U_{g}\otimes \lambda (g)$ ) \ $displaystyle U_{g}\otimes \lambda$ ^[5]( $U_{g}\otimes \lambda (g)$ g )에 의해 생성된 H 위의₁ von Neumann 대수로 정의됩니다.
$벡터$ $\Omega =1\otimes \delta _{1}$ $=$ 1 $\Omega =1\otimes \delta _{1}$ 1 { $displaystyle$ \ $Omega$ = 1 \ $otimes$ _ ${$ } 은 $\Omega =1\otimes \delta _{1}$ 순환 분리 트레이스 벡터입니다.또한 모듈러 활용 연산자 J와 정류자 M을 명시적으로 동정할 수 있다.

그룹-측정 공간 구성의 가장 중요한 경우 중 하나는 δ가 정수 Z의 그룹인 경우, 즉 단일 가역 측정 변환 T의 경우이다.여기서 T는 확률 측도 μ를 보존해야 한다.T(또는 보다 일반적으로 δ)가 무한 등가 측정값만 보존하는 경우 및 Tomita의 전체 힘-을 처리하기 위해 반한 트레이스가 필요하다.측정의 동등성 클래스가 T(또는 ^[6]^[7]δ)에 의해 유지되더라도 동등성 클래스에 불변성 측정이 없을 때 다케사키 이론이 필요하다.

반한선상에 대한 정류정리

M이 폰 노이만 대수이고₊ M이 M에서 양의 연산자 집합이라고 하자.^[3] 정의에 따르면, M에 대한 반무한 트레이스 (때로는 그냥 트레이스)는 다음과 같이₊ M에서 [0, θ]까지의 함수 θ이다.

$\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ ( μ₊ b $\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ ) $=$ μ $\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ ( $\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ ) + $\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ $\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ b ){ $displaystyle$ \ displaystyle ( \ $displayda a$ + \ $mu$ b )= \ $displayda$ \ $display$ ( $a$ ) + $mu$ \ $semilinity$ ( $\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ b $\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ ) } ( a ) 、 b ) μ 、 0 ( semilineriarity ) ;
$\tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)$ M 내 a₊ 및 M 내 u 단위 연산자의 경우 $\tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)$ u a $\tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)$ u u $\tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)$ $=$ ( $\tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)$ a $\tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)$ ) \ $displaystyle$ \ $left$ ( $uau^{*}$ \ right ) = \ $display$ ( a $\tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)$ ) u 단위 불변성
θ는 M(정규성)의 직교 투영 패밀리에 완전히 가산된다.
M의 각 투영은 유한한 트레이스를 가진 투영의 직교 직합(반초기성)이다).

또한 0이 아닌 투영마다 0이 아닌 경우에는 충실한 트레이스라고 불립니다.

θ가 M 위의 충실한 트레이스라면, H = L²(M, θ)을 내부 생성물 공간의 힐버트 공간 완성이라고 하자.

M_{0}=\left\{a\in M\mid\mid\left(a^{*}a\right)<\infty \right\

내생물에 관하여

\displaystyle (a,b)=\display \left(b^{*}a\right).}

폰 노이만 대수 M은 H에 왼쪽 곱셈으로 작용하며 그 이미지와 동일시 될 수 있다.허락하다

Ja=a^{*}

a in₀ M의 경우.연산자 J는 다시 모듈러 결합 연산자로 불리며 J = I를 만족하는² H의 켤레 선형 등각계로 확장된다.머레이와 폰 노이만의 정류정리

JMJ=M^{\prime }

이 경우에도 유효합니다.이 결과는 다양한 ^[3]^[8]방법으로 직접 입증될 수 있지만, 다음과 같은 기본적인 사실을 반복적으로 사용함으로써 유한한 배선에 대한 결과로부터 바로 뒤따른다.

만약₁₂ M µ₂ M이 두 개의 폰 노이만 대수라면, 강한₁ 연산자 위상에서 I로 증가하는 M의₁ 정류자의 투영_n p족에 대해₁ p M = p_n M이다_n₂.

힐베르트 대수

힐베르트 대수의 이론은 힐베르트-슈미트 ^[9]연산자에서 시작하는 트레이스 클래스 연산자에 대한 추적을 정의하는 고전적인 방법을 공식화하기 위해 고덴탈("유니터리 대수")과 세갈, 딕스미에에 의해 도입되었다.집단의 표현 이론에서의 적용은 자연스럽게 힐버트 대수의 예로 이어진다.반한의 배선을 부여받은 모든 폰 노이만 대수는 그것과 관련된 정칙적인 "완료"^[10] 또는 "완전" 힐베르트 대수를 가지고 있다. 그리고 반대로 정확히 이 형태의 완성된 힐베르트 대수는 모든 힐베르트 대수와 규범적으로 연관될 수 있다.힐베르트 대수의 이론은 머레이와 폰 노이만의 정류 이론을 추론하는데 사용될 수 있다; 마찬가지로 힐베르트 대수에 대한 주요 결과는 트레이스에 대한 정류 이론으로부터 직접 추론될 수 있다.힐베르트 대수의 이론은 토미타에서 반한정 가중치에 대한 정류 이론을 증명하는 도구로서 다케사키에 의해^[7] 일반화되었다.다케사키 이론은 국가를 ^[2]^[11]^[12]다룰 때 생략할 수 있다.

정의.

힐베르트^[3]^[13]^[14] 대수는 x→x*이고 다음과 같은 내적(,)을 갖는 ${\mathfrak {A}}$ A(\ $displaystyle\mathfrak {A})$ 이다 ${\mathfrak {A}}$ .

$($ , b) A {\displaystyle {\ $mathfrak$ {A}}의 a, b에 대해 ${\mathfrak {A}}$ (b*, a*);
A의 ${\mathfrak {A}}$ 고정 a에 의한 왼쪽 곱셈(\ $display\mathfrak {A})$ 은 ${\mathfrak {A}}$ 유계 연산자.
*는 인접, 즉 (xy, z) = (y, x*z)이다.
모든 제품 xy의 선형 스팬은 A $(\$ 로 조밀합니다.

예

무한 차원 힐베르트 공간의 힐베르트-슈미트 연산자는 내부곱 (a, b) = Tr (b*a)과 함께 힐베르트 대수를 형성한다.
(X, μ)가 무한 측정 공간인 경우, 대수^∞ L(X) ${\$ \ $displaystyle \cap$ } $\cap$ ²(X)은 L(X)의² 일반적인 내적을 갖는 힐베르트 대수이다.
만약 M이 충실한 반무한 궤적을 갖는 폰 노이만 대수라면, 위에서 정의한 *-하위 대수₀ M은 내적(a, b) = θ(b*a)를 갖는 힐베르트 대수이다.
G가 단변형 국소 콤팩트군일 경우, 컨볼루션 대수 L(G) ${\$ \ $displaystyle$ \ $\cap$ ² $\cap$ } L(G)은 L(G)의² 통상 내적을 갖는 힐베르트 대수이다¹.
(G, K)가 겔판드 쌍일 경우, 컨볼루션¹ 대수 L(K\G/K) ${\$ \ $display$ \cap $\cap$ } L $($ K\G/ $\cap$ ²)은 L(G)의² 통상적인 내적을 갖는 힐버트 대수이다. 여기서^p L(K\G/K)은 K-공간에서 닫힌 부분변수 함수를 나타낸다.
힐베르트 대수의 어떤 조밀한 *-하위 대수도 힐베르트 대수이다.

특성.

H를 내부곱에 대한 A $(\$ 의 ${\mathfrak {A}}$ 힐베르트 공간 완성이라고 하고, J는 H의 켤레 선형 분해능의 확장을 나타내며, A $(\$ 의 ${\mathfrak {A}}$ 표현 θ와 반표현 θ를 좌우 곱셈으로 정의한다.양이온:

(\displaystyle \displayda (a)x =ax, , , \rho (a)x = xa )

이러한 작업은 H에 대한 작업으로 계속 확장됩니다.이 경우 힐베르트 대수의 정류정리는 다음과 같이 기술한다.

\displaystyle \prameda({\mathfrak {A})^{\prime \prime }=\rho({\mathfrak {A})^{\prime }}}

더군다

({displaystyle M=\lambda({\mathfrak {A}})^{\prime \prime}})

연산자에 의해 생성된 폰 노이만 대수, 그리고

JMJ=M^{\prime }

이러한 결과는 Godernment(1954년)와 Segal(1953년)에 의해 독립적으로 증명되었다.

증거는 힐베르트 공간 완성도 H의 "경계 요소" 개념에 의존한다.

H의 x 원소는 ${\mathfrak {A}}$ 의 ${\mathfrak {A}}$ a → xa가 H의 유계 연산자(x)까지 확장하면 유계(A ${\mathfrak {A}}$ { $displaystyle$ ${mathfrak {A}$ 에 ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}$ )라고 한다.이 경우,^[15] 다음을 증명하는 것은 간단합니다.

Jx는 또한 x*로 표기되는 유계 요소이며, δ(x*) = δ(x)*이다.
a → ax는 H에 대해 유계 연산자 θ(x) = Jθ(x*)J에 의해 주어진다.
M은 x의 경계를 갖는 θ(x)에 의해 생성된다.
x, y 경계에 대한 θ(x) 및 θ(y) 통근.

정류정리는 마지막 주장에서 바로 뒤따른다.특히

({displaystyle M=\lambda({\mathfrak {B}}})').}

모든 경계 ${\mathfrak {B}}$ B $(\$ style $\mathfrak {B})$ 의 ${\mathfrak {B}}$ 공간은 A $(\$ 를 ${\mathfrak {A}}$ 밀도 *-하대수로 ${\mathfrak {A}}$ 하는 힐베르트 대수를 형성합니다.B $(\$ displaystyle $\mathfrak {B})$ 에 ${\mathfrak {B}}$ 대해 경계가 있는 H(\ $displaystyle$ \displaystyle\mathfrak { $})$ 의 요소는 실제로 B $(\$ 에 있어야 하므로 완료 또는 가득하다고 합니다. 함수 m는₊ 다음과 같이 정의됩니다.

(x)=(a,a)}

x = λ(a)* a(a)* otherwise(a) 및 otherwise(,)가 아닌 경우, M에 대한 충실한 반확정 트레이스를 생성한다.

({displaystyle M_{0}=mathfrak {B}).}

다음과 같이 됩니다.

충실한 반미니트 트레이스를 가진 H 위의 폰 노이만 대수와 힐베르트 공간 완성도 H의 풀 힐베르트 대수 사이에 일대일 대응이 있다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 브라텔리 & 로빈슨 1987, 81-82페이지
^ ^a ^b 리펠 & 반 대엘 1977
^ ^a ^b ^c ^d 딕스미어 1957
^ H는₁ 곱 측도에 대하여 X x Ω 위의 제곱 적분 가능 함수의 공간으로 식별할 수 있다.
^ A와 연산자_g U에 의해 생성된 H에 대한 폰 노이만 대수와 혼동해서는 안 된다.
^ 코네스 1979
^ ^a ^b 2002년 다케사키
^ 다케사키 1979년, 324~325쪽
^ 사이먼 1979
^ 딕스미어는 아체베 또는 막시말이라는 형용사를 사용한다.
^ 페더센 1979
^ 브라텔리 & 로빈슨 1987
^ 딕스미어 1977, 부록 A54–A61.
^ 디우도네 1976
^ 고덴셜 1954, 페이지 52-53

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Takesaki, M. (2002), Theory of Operator Algebras II, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42248-X

[1] 브라텔리 & 로빈슨 1987, 81-82페이지

[rieffel-2] 리펠 & 반 대엘 1977

[dixmier57-3] 딕스미어 1957

[4] H는₁ 곱 측도에 대하여 X x Ω 위의 제곱 적분 가능 함수의 공간으로 식별할 수 있다.

[5] A와 연산자_g U에 의해 생성된 H에 대한 폰 노이만 대수와 혼동해서는 안 된다.

[6] 코네스 1979

[Takesaki_2002-7] 2002년 다케사키

[8] 다케사키 1979년, 324~325쪽

[9] 사이먼 1979

[10] 딕스미어는 아체베 또는 막시말이라는 형용사를 사용한다.

[11] 페더센 1979

[12] 브라텔리 & 로빈슨 1987

[13] 딕스미어 1977, 부록 A54–A61.

[14] 디우도네 1976

[15] 고덴셜 1954, 페이지 52-53

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