허바드 모형

허바드 모델은 전도 시스템과 절연 시스템 사이의 전환을 설명하기 위해 특히 솔리드 스테이트 물리학에서 사용되는 대략적인 모델이다.^[1] 존 허바드의 이름을 딴 허바드 모델은 격자 안에서 입자를 상호작용하는 단순한 모델로서, 해밀턴어(아래 예 참조)에서는 단 두 개의 용어만 있는데, 격자 사이트 간에 입자를 터널링("호핑")할 수 있는 운동 용어와 현장 상호작용으로 구성되는 잠재적 용어가 그것이다. 입자는 허바드의 원래 작품에서와 같이 페르미온이나 보손일 수 있으며, 이 경우 모델을 "보스-허바드 모델"이라고 한다.

Hubbard 모델은 충분히 낮은 온도에서 주기적인 전위 입자에 대한 유용한 근사치로, 모든 입자가 가장 낮은 Bloch 대역에 있다고 가정할 수 있으며, 입자 사이의 장거리 상호작용을 무시할 수 있다. 격자의 서로 다른 부위에서 입자 간의 교호작용이 포함되는 경우, 모델을 "확장 허바드 모델"이라고 부르는 경우가 많다. 특히 U가 가장 흔하게 나타내는 허바드 용어는 DFT 밀도기능이론을 이용한 첫 번째 원리에 기반한 시뮬레이션에서 적용된다. DFT 시뮬레이션에 Hubbard 용어를 포함시키는 것은 전자 국소화 예측을 개선하고 따라서 절연 시스템에서 금속 전도 예측의 부정확한 예측을 방지하므로 중요하다.^[2]

이 모델은 원래 1963년에 고체로 전자를 묘사하기 위해 제안되었다.^[3] 이후 고온 초전도, 양자 자력, 전하 밀도 파동 연구에 적용됐다.^[4] 허바드 모델은 운동 에너지("홉핑" 항)와 격자의 원자와의 상호작용("원자" 전위)만을 포함하는 긴축 모델에 전자 사이의 단거리 상호작용을 도입한다. 전자 사이의 상호작용이 강할 때 허바드 모델의 동작은 촘촘한 바인딩 모델과 질적으로 다를 수 있다. 예를 들어 Hubbard 모델은 단위 셀당 홀수 전자 수를 갖는 등 도체에 대한 일반적인 기준을 만족함에도 불구하고 전자 사이의 강한 반발로 절연되는 물질인 Mott 절연체의 존재를 정확하게 예측한다.

협소 에너지 밴드 이론

허바드 모델은 고체 상태의 물리에서 나오는 촘촘한 바인딩 근사치를 기반으로 하며, 이 근사치는 주기적인 전위로 움직이는 입자를 설명하며, 때로는 격자라고도 한다. 실제 물질의 경우, 이 격자의 각 부위는 이온 코어와 일치할 수 있으며, 입자는 이온의 발란스 전자일 것이다. 촘촘한 바인딩 근사치에서 해밀턴어는 각 격자 부지를 중심으로 한 국부적인 주(州)인 워니에 주(州)의 용어로 쓰여 있다. 이웃 격자 사이트의 Wannier 주는 결합되어 있어 한 사이트의 입자가 다른 사이트로 "홉"할 수 있다. 수학적으로 이 연결 장치의 강도는 인근 사이트 간에 "호핑 적분" 또는 "전송 적분"에 의해 주어진다. 이 시스템은 껑충껑충 뛰는 집적대의 강도가 거리에 따라 빠르게 떨어질 때 체결 한계 안에 있다고 한다. 이 결합을 통해 각 격자 부위와 관련된 상태가 혼합될 수 있으며, 그러한 결정체계의 고유성은 에너지 수준이 분리된 에너지 대역으로 나누어진 Bloch의 기능이다. 밴드의 폭은 호핑 적분 값에 따라 달라진다.

허바드 모델은 격자의 각 부위에서 반대회전 입자 사이의 접촉 상호작용을 도입한다. 전자 시스템을 설명하기 위해 Hubbard 모델을 사용할 때, 이러한 상호작용은 선별된 쿨롱 상호작용에서 기인하여 혐오스러울 것으로 예상된다. 그러나 매력적인 상호작용도 자주 고려되었다. 허바드 모델의 물리학은 시스템의 운동 에너지를 특징짓는 깡충깡충 적분 강도와 상호작용 항의 강도의 경쟁에 의해 결정된다. 따라서 Hubbard 모델은 특정 상호작용 시스템에서 금속에서 절연체로의 전환을 설명할 수 있다. 예를 들어, 금속 산화물이 가열될 때 금속 산화물을 설명하는데 사용되어 왔는데, 여기서 가장 가까운 간격의 해당 증가는 현장 전위가 지배적인 지점까지 깡충깡충 적분을 감소시킨다. 마찬가지로, 허바드 모델은 희토류 원소의 원자 수가 증가함에 따라 격자 매개변수(또는 원자 사이의 각도도 변할 수 있음 - 크리스탈 구조를 참조)가 증가하므로 희토류 화로체와 같은 시스템에서 도체에서 절연체로의 전환을 설명할 수 있다.현장 반발에 비해 점프 일체형의 상대적 중요성 증가

예: 수소 원자의 1D 체인

수소 원자는 소위 s 궤도에는 전자가 1개만 있는데, 이 전자는 스핀 업$(↑$ {\$displaystyle \uparrow }$) 또는 스핀 다운$($display $style \downarrow }})$이 가능하다.$$ 이 궤도에는 스핀 업(spin up)과 다운(down)을 가진 전자(poli excusion)가 최대 두 개까지 점유할 수 있다(Pauli 제외 원리 참조).

이제 수소 원자의 1D 체인을 생각해 보자. 대역 이론에 따르면, 우리는 1s 궤도들이 정확히 반만 채워지는 연속적인 대역을 형성할 것으로 예상할 것이다. 따라서 수소 원자의 1D 체인은 종래의 대역 이론에 따라 도체가 될 것으로 예측된다.

그러나 이제 수소 원자 사이의 간격이 점차 증가하는 경우를 생각해 보자. 어느 순간 우리는 체인이 절연체가 되어야 한다고 기대한다.

반면 허바드 모델의 관점에서 표현된 해밀턴은 현재 두 개의 용어로 구성되어 있다. 첫 번째 용어는 호핑 적분 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 의해 파라미터화된 시스템의 운동 에너지를 설명한다$.$ 두 번째 용어는 전자 반발력을 나타내는$$ 강도 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 현장 상호작용이다. 두 번째 정량화 표기법으로 쓰여진 Hubbard Hamiltonian은 그 형태를 취한다.

${\displaystyle {\hat {H}}=-t\sum _{i,\sigma }\left({\hat {c}}_{i,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i,\sigma }\right)+U\sum _{i}{n}_{n}_{i\uparrow }{\hat{n}_{i\downarrow }}}$

where ${\displaystyle {\hat {n}}_{i\sigma }={\hat {c}}_{i\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }}$ is the spin-density operator for spin ${\displaystyle \sigma }$ on the ${\displaystyle i}$-th site. The total density operator is ${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {n}}_{i\uparrow }+{\hat {n}}_{i\downarrow }}$ and occupation of ${\displaystyle i}$-th site for the wavefunction ${\displaystyle \Phi }$ is ${\displaystyle n_{i}$$=\langle \Phi \vert {\hat {n}_{i}\vert \Phi \angle$ $\}\}$일반적으로 t는 양성으로 간주되며 U는 일반적으로 양성으로 간주되거나 음성으로 간주되지만, 현재와 같이 전자 시스템을 고려할 때 양성으로 간주된다.

제2기 공로가 없는 해밀턴인을 고려한다면, 우리는 단순히 정규 밴드 이론에서 나온 빡빡한 결합 공식을 가지고 있을 뿐이다.

그러나 두 번째 항을 포함하면 교호작용 대 점핑 비율인 $U{\displaystyle /t}$ ${\displaystyle U/t$이 변화함에 따라 도체에서 절연체로의 전환을 예측하는 보다 현실적인 모델을 얻게 된다. 예를 들어, 이 비율은 원자간 간격을 증가시킴으로써 수정할 수 있는데, $이것$은 U ${\displaystyle U}$에 영향을 주지 않고$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 크기를 감소시킨다$.$ $U{\displaystyle /t1}$ ${\displaystyle U/t\g$ 1$}$의 한계에서$$체인은 단지 일련의 고립된 자기 모멘트로 분해된다. $U{\displaystyle /t}$ ${\displaystyle U/t}$이(가) 너무 크지 않은 경우, 겹침 적분은 인접 자석 모멘트 간의 초자성 교호작용을 제공하므로 모델의 파라미터에 따라 강자성, 반자성 등 다양한 흥미로운 자석 상관 관계를 유발할 수 있다. 1차원 허바드 모델은 렙과 우가 베테안사츠를 이용해 해결했다. 숨겨진 대칭성이 발견되었고 산란 행렬, 상관 함수, 열역학, 양자 얽힘 등이 평가되었다.^[5]

더욱 복잡한 시스템

허바드 모델은 수소 원자의 1D 체인 같은 시스템을 설명하는 데 유용하지만, 보다 복잡한 시스템에서는 허바드 모델이 고려하지 않는 다른 영향이 있을 수 있다는 점에 유의해야 한다. 일반적으로 절연체는 Mott-Hubbard형 절연체(Mott 절연체 참조)와 전하 전달 절연체로 나눌 수 있다.

Mott-Hubbard 절연체에 대한 다음 설명을 고려하십시오.

${\displaystyle(\mathrm {Ni} ^{2+}\mathram {O} ^{2-}_{2}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{3+}\mathrm {O} ^{2-}+}\mathrmatrmatrm {O} ^{1-} ^{O} ^{2-}.}$

이는 단위 세포 사이의 전도를 전달 적분으로 설명할 수 있는 수소 체인용 허바드 모델과 유사하다고 볼 수 있다.

그러나 전자가 다른 종류의 행동을 보이는 것은 가능하다.

${\displaystyle \mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{1-}}}}$

이를 전하 전달이라고 하며, 충전 전달 절연체가 발생한다. 이는 단위 세포 내에서만 단위 세포 간 전자 전달이 없기 때문에 Mott-Hubbard 절연체 모델과는 상당히 다르다는 점에 유의한다.

이 두 가지 효과 모두 복잡한 이온계통에서 존재하고 경쟁할 수 있다.

수치적 처리

허바드 모델이 임의의 차원에서 분석적으로 해결되지 않았다는 사실은 이러한 강하게 상관된 전자 시스템에 대한 수치적 방법에 대한 강도 높은 연구로 이어졌다.^[6][7] 이 연구의 주요 목표는 특히 2차원 모델의 저온 위상도를 결정하는 것이다. 유한한 시스템에 대한 Hubbard 모델의 대략적인 수치적 처리가 여러 가지 방법을 통해 가능하다.

그러한 방법 중 하나인 Lanczos 알고리즘은 시스템의 정적 및 동적 특성을 생성할 수 있다. 이 방법을 사용한 지상 상태 계산은 상태 수 크기의 벡터 3개를 저장해야 한다. 주 수는 시스템의 크기에 따라 기하급수적으로 확장되며, 이는 격자 내의 사이트 수를 현재^[when?] 사용 가능한 하드웨어의 경우 약 20개로 제한한다. 프로젝터와 유한 온도 보조 필드 몬테 카를로에는 시스템의 특정 특성도 얻을 수 있는 두 가지 통계적 방법이 존재한다. 저온의 경우, 소위 페르미온 사인 문제로 인한 온도 감소와 함께 계산 노력이 기하급수적으로 증가하게 되는 수렴 문제가 나타난다.

허바드 모델은 또한 동적 평균장 이론(DMFT) 내에서 연구될 수 있다. 이 계획은 Hubbard Hamiltonian을 단일 사이트 불순물 모델에 매핑하는데, 이 매핑은 공식적으로 무한 차원 및 유한 차원에서만 정확하며 모든 순수 국부 상관관계의 정확한 처리에 해당한다. DMFT는 특정 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 및 특정$$ 온도에 대한 Hubbard 모델의 로컬 Green 기능을 계산하도록 허용한다. DMFT 내에서 스펙트럼 기능의 진화를 계산할 수 있으며 상관관계가 증가함에 따라 상부 및 하부 Hubbard 대역의 외관을 관찰할 수 있다.

참고 항목

• 블로흐의 정리
• 전자 밴드 구조
• 고체물리학
• 보세-허버드 모형
• t-J 모델
• 하이젠베르크 모델(퀀텀)
• 동적 평균장 이론
• 스토너 기준

참조

추가 읽기

• Hubbard, J. (1963). "Electron Correlations in Narrow Energy Bands". Proceedings of the Royal Society of London. 276 (1365): 238–257. Bibcode:1963RSPSA.276..238H. doi:10.1098/rspa.1963.0204. JSTOR 2414761. S2CID 35439962.
• Bach, V.; Lieb, E. H.; Solovej, J. P. (1994). "Generalized Hartree–Fock Theory and the Hubbard Model". Journal of Statistical Physics. 76 (1–2): 3. arXiv:cond-mat/9312044. Bibcode:1994JSP....76....3B. doi:10.1007/BF02188656. S2CID 207143.
• Lieb, E. H. (1995). "The Hubbard Model: Some Rigorous Results and Open Problems". Xi Int. Cong. Mp, Int. Press (?). 1995: cond–mat/9311033. arXiv:cond-mat/9311033. Bibcode:1993cond.mat.11033L.
• Gebhard, F. (1997). "Metal–Insulator Transition". The Mott Metal–Insulator Transition: Models and Methods. Springer Tracts in Modern Physics. Vol. 137. Springer. pp. 1–48. ISBN 9783540614814.
• Lieb, E. H.; Wu, F. Y. (2003). "The one-dimensional Hubbard model: A reminiscence". Physica A. 321 (1): 1–27. arXiv:cond-mat/0207529. Bibcode:2003PhyA..321....1L. doi:10.1016/S0378-4371(02)01785-5. S2CID 44758937.