쌍곡군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

집단 이론에서 기하학적 집단 이론에서 보다 정확히 말하면, 쌍곡 그룹이라는 단어 또는 그로모프 쌍곡 그룹이라고도 알려진 쌍곡 그룹은 고전적 쌍곡 기하학에서 추출한 특정 특성을 만족하는 단어 메트릭스를 갖춘 정밀하게 생성된 그룹이다.쌍곡집단의 개념은 미하일 그로모프(1987년)에 의해 도입되고 발전되었다.그 영감은 쌍곡 기하학이나 저차원 위상(특히 쌍곡리 리만 표면의 근본 그룹에 관한 막스 딘의 결과, 3차원 위상에서의 보다 복잡한 현상)과 결합집단 이론 등 기존의 다양한 수학 이론에서 비롯되었다.1987년의 매우 영향력 있는 (1000개가 넘는 인용문) 장에서 그로모프는 광범위한 연구 프로그램을 제안했다.쌍곡성 집단 이론의 사상과 기초 자료도 조지 모스토우, 윌리엄 서스턴, 제임스 W. 캐넌, 엘리야후 립스 등의 작품에서 비롯된다.null

정의

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 정밀하게 생성된 그룹으로$$ 하고, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 발전기의$$ 일부 유한 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 Cayley 그래프로 설정한다$$.세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에는 길이 1인 그래프 메트릭(가장자리가 1이고 두 꼭지점 사이의 거리가 가장자리를 연결하는 경로에서 가장자리의 최소 개수가 됨)이 부여되어$$ 길이 공간으로 변한다.$이어$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 그룹은 X {\$displaystyle X}$이(가$)$ 그로모프 의미에서 쌍곡 공간이라면 쌍곡선이라고 한다.즉, 이는 $\Delta {\displaystyle }$> 0 {\$displaystyle$X}의 지오데틱 삼각형이 Δ {\$displaystyle$ \$delta$$}$ -thin이$$ 되도록$$ 하는 >$${\$displaystyle$$\delta$$$$}$ -hyperbolic이$$ 존재함을 의미한다(그러자 공간은 $\Delta {\displaystyle }$ ${\delta \delta$ }이라고 한다).null

이 정의의 선행은 유한 생성 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 선택에 달려 있다$.$ 이는 다음의 두 가지 사실에서 나온 것이 아니다.

• 두 개의 유한 생성 집합에 해당하는 Cayley 그래프는 항상 준 등축계 그래프와 다른 그래프 간이다.
• 지오데틱 그로모프-하이퍼볼릭 공간과 준 등축적인 모든 지질 공간은 그 자체로 그로모프-하이퍼볼릭이다.

따라서 우리는 생성 세트를 참조하지 않고 정확하게 생성된 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$이(가) 쌍곡이라고 정당하게 말할 수 있다.{\delta\displaystyle}-hyperbolic 공간은 자체 δ′일부 δ에{\displaystyle \delta의}-hyperbolic′>0{\displaystyle \delta '>0}모두 원래 δ{\delta\displaystyle}과 quasi-isometry에, 따라서 그것을 하지 않아에 후자의 달려 반면에, 공간 δ에quasi-isometric 있습니다. 만드$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$ -hyperbolic이라고$$ 말하는 감각.null

언급

그Švarc–Milnor lemma[2]경우 연착한 그룹 G제대로 일관성 없이고 조밀한데 지수( 그러한 행동이 종종 기하학적이라고 불린다)을 포함한 적절한 길이 우주 Y{Y\displaystyle}행위{G\displaystyle}다는 것을 유한하게 생성됩니다, G{G\displaystyle}에 대한 케일리 그래프 Y에게{\dispquasi-isometric 있다.놓다$스타일 Y$ 따라서 그룹은 적절한 쌍곡선 공간에 기하학적 작용이 있는 경우에만 쌍곡선(완전히 쌍곡선이 된다.null

If ${\displaystyle G'\subset G}$ is a subgroup with finite index (i.e., the set ${\displaystyle G/G'}$ is finite), then the inclusion induces a quasi-isometry on the vertices of any locally finite Cayley graph of ${\displaystyle G'}$ into any locally finite Cayley graph of ${\displaystyle G}$. THus $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ G$'}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 그 자체일$$ 경우에만 쌍곡선이다$$.좀 더 일반적으로, 두 집단이 동일하다면, 다른 집단이 동일하다면 한 집단은 쌍곡선이다.null

예

기본 쌍곡선 그룹

쌍곡선 그룹의 가장 간단한 예는 유한한 그룹이다(Cayley 그래프는 지름이 유한하므로 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$delta }$ -hyperbolic이$$ 이$$ $지름$과 동일한$Δ$ {\displaystyle \$delta }).$null

또 다른 간단한 예는 무한 순환 $그룹{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$$}$에 의해 주어진다. 생성 세트${\displaystyle }${${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystyle \mathb$$${$Z}}$의 Cayley 그래프는 선이므로$$ 모든 삼각형은 선 세그먼트이며 그래프는 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 0$}-$hybolic이다$$.사실상 주기적인 모든 그룹(유한 $지수$의 Z ${\$의 복사본 포함)도 쌍곡선(예: 무한 다이헤드 그룹)이다.null

이 등급의 그룹 멤버들은 종종 초등 쌍곡선 그룹이라고 불린다(이 용어는 쌍곡선 평면에서의 동작에서 변형된다).null

나무에 작용하는 자유 그룹 및 그룹

Let ${\displaystyle S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ be a finite set and ${\displaystyle F}$ be the free group with generating set ${\displaystyle S}$. Then the Cayley graph of ${\displaystyle F}$ with respect to ${\displaystyle S}$ is a locally finite tree and hence a 0-hyperbolic space. 따라서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은 쌍곡선 그룹이다$$.null

보다 일반적으로 우리는 국소적으로 유한한 나무에서 적절하게 불연속적으로 작용하는$$ $그룹{\displaystyle }$ G ${\디스플레이$ 스타일 G$}$을(를) 볼 수 있다(이 맥락에서 정점의 $G$ ${\디스플레이$ 스타일 G$}$의 스태빌라이저는 정확히 유한하다는 것을 의미한다).실제로, $이$는 G$${\$displaystyle$ G$}$이(가) 콤팩트한 지수로 작용하는 불변 하위 트리를 가지고$$ 있다는 사실과 Svarc - Milnor 보조정리(Milnor lema)에서 비롯된다.그러한 집단은 사실상 자유롭다(즉, 정밀하게 생성된 유한 지수의 자유 부분군을 포함한다). 이것은 그들의 쌍곡성에 대한 또 다른 증거를 제공한다.null

An interesting example is the modular group ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$: it acts on the tree given by the 1-skeleton of the associated tessellation of the hyperbolic plane and it has a finite index free subgroup (on two generators) of index 6 (for example the set of matrices in ${\display$ID modulo 2로 축소되는$$ $스타일 G}$은(는) 그러한 그룹이다).이 예제의 흥미로운 특징에 주목하십시오. 쌍곡선 공간(쌍곡선 평면)에서 적절하게 불연속적으로 작동하지만, 이 동작은 cocompact가 아니다(실제 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은 쌍곡면에 준등각도가 아니다).null

후치안 그룹

푸치안 그룹의 예를 모듈형 그룹의 예로 쌍곡면(동일하게, $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ L ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathb {R} )}$의 이산형 부분군)에서 적절하게 불연속적인 동작을 인정하는 그룹이 있다.$$쌍곡면은 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$ - 하이퍼볼릭$$ 공간이며, 따라서 Svarc—Milnor lima는 우리에게 cocompact Fuchsian 그룹이 쌍곡이라는 것을 알려준다.null

그러한 예는 음의 오일러 특성의 닫힌 표면의 기본 그룹이다.실제로 이러한 표면은 푸앵카레-코에베 균일화 정리가 암시하는 쌍곡면의 인수로 구할 수 있다.null

cocompact Fuchsian 그룹의 또 다른 예는 삼각형 그룹에 의해 주어진다: 거의 대부분 거의 다 쌍곡선이다.null

음곡률

닫힌 표면의 예를 일반화하면, 엄격히 음의 단면 곡률을 가진 콤팩트한 리만 다지관의 기본 그룹은 쌍곡선이다.예를 들어${\displaystyle ,}$ 서명 형식의 직교 또는 단일 ${\displaystyle \mathrm{그룹}}({\displaystyle n}$ , 1${\displaystyle }$) {\$displaystyle (n,1)$에서 cocompact 래티스는 쌍곡선이다$$.null

CAT(k) 공간에 대한 기하학적 작용을 인정하는 그룹에 의해 추가 일반화가 이루어진다.^[3]이전의 어떤 구조에도 상응할 수 없는 예들이 있다(예를 들어, 쌍곡선 건물에 기하학적으로 작용하는 그룹).null

소규모 취소 그룹

작은 취소 조건을 만족시키는 프레젠테이션을 하는 그룹은 쌍곡선이다.이것은 위에 주어진 것과 같은 기하학적 기원을 가지지 않은 예시들을 제공한다.사실 쌍곡선 집단의 초기 발달에 대한 동기 중 하나는 작은 취소의 기하학적 해석을 더 많이 하는 것이었다.null

랜덤 그룹

어떤 의미에서는, "대부분" 정밀하게 제시된 집단들이 정의 관계가 큰 쌍곡선이다.이것이 의미하는 바에 대한 정량적 설명은 랜덤 그룹을 참조하십시오.null

비예시

• 쌍곡선이 아닌 집단의 가장 간단한 예는 자유 순위 2 아벨리안 $그룹{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle \mathb{Z}^{$2$\}\}.$ 실제로 쌍곡선(예를 들어 동음이의 존재 때문에)이 아닌 것으로 쉽게 볼 수 있는 유클리드 평면에 준 등축적이다.
• 보다 일반적으로 Z ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$을 하위 그룹으로 포함하는$$ 그룹은 쌍곡선이 아니다.^[4][5]특히 상위 랭크에 있는 래티들은 리 그룹을 구현하며, 비경쟁 매듭 보완물의 기본$$ 그룹 ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {S3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus$ K$)}$은 이 범주에 속하므로 쌍곡성이 아니다.이는 닫힌 쌍곡선의 클래스 그룹을 매핑하는 경우에도 해당된다.
• Baumslag-Solitar 그룹 B(m,n)와 일부 B(m,n)에 대한 부분군 이형체를 포함하는 모든 그룹은 쌍곡선(B(1,1) = ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 이것은 이전 예를 일반화한다.
• 단순 1등급 Lie 그룹의 균일하지 않은 격자는 그룹이 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ L ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathb {R}$)에 등가인 경우에만 쌍곡선이다($$동일하게 연관된 대칭 공간은 쌍곡면이다).이것의 예는 쌍곡 매듭 그룹에 의해 주어진다.다른 하나는 비안치 그룹인데, 예를 들어 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{L}}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \sqrt{}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm$ {$SL} _{2}({\sqrt{-1$ .

특성.

대수적 특성

• 쌍곡선 집단은 Tits 대안에 만족한다: 그들은 사실상 해결가능하거나(이 가능성은 오직 기초적인 쌍곡선 집단에 의해서만 충족된다) 또는 그들은 비아벨라니아 자유 집단에 대한 부분군 이형성을 가지고 있다.
• 비초등 쌍곡선 그룹은 매우 강한 의미에서 단순하지 않다: $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 비초등 쌍곡선이라면 H ${\displaystyle H}$과 $G{\displaystyle /H}$ ${\displaystyle G/H}$이($가{\displaystyle }$) 모두 무한$$ 부분군 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle ◃}$ G ${\displaystyleftefte)$가 있다.
• 잔여적으로 유한하지 않은 쌍곡선 그룹이 존재하는지 여부는 알려지지 않았다.

기하학적 특성

• 비원초적(무한적이고 가상의 순환이 아닌) 쌍곡군은 항상 지수 성장률을 가진다(이는 Tits 대안의 결과물이다).
• 쌍곡선 집단은 선형 이등변수 불평등을 만족시킨다.^[6]

동질적 특성

• 쌍곡선 집단은 항상 정밀하게 제시된다.사실, 사람들은 분명히 립스 콤플렉스(Rips complex)를 건설할 수 있는데, 이 복합체는 수축이 가능하고 그룹이 기하학적으로^[7] 작용하여 F형이다_∞.그룹이 비틀림이 없는 경우, 그 작용은 자유롭기 때문에 그룹이 유한한 코호몰로지 차원을 가지고 있음을 보여준다.
• 2002년에 I. Minyev는 쌍곡선 집단이 정확히 정확하게 생성된 집단이며, 이 집단들은 경계 코호몰학과 일반 코호몰로지 사이의 비교 지도가 모든 정도에서, 또는 동등하게 2도에서도 좌절적이라는 것을 보여주었다.^[8]

알고리즘 속성

• 쌍곡선 그룹은 해결 가능한 단어 문제를 가지고 있다.그들은 양전자적이고 자동적이다.^[9]실제로 이들은 강하게 지질학적으로 자동화된 것, 즉 그룹에는 자동 구조가 있는데, 여기서 수용자라는 단어가 수용하는 언어는 모든 지오데틱 단어의 집합이다.
• 쌍곡선 집단은 분해할 수 없는 것으로 표시된 이형성 문제를 가지고 있는 것으로 2010년에 나타났다.^[10]이는 이형성 문제, 궤도 문제(특히 결합 문제), 화이트헤드의 문제 등이 모두 결정 불가능한 것임을 의미한다는 점이 눈에 띈다.
• 캐논과 스웬슨은 무한대에 2-sphere를 가진 쌍곡선 그룹이 자연 분할 규칙을 가지고 있다는 것을 보여주었다.^[11]이것은 캐넌의 추측과 관련이 있다.

일반화

비교적 쌍곡선 그룹

상대적으로 쌍곡선 집단은 집단적으로 쌍곡선을 일반화하는 집단이다.만약 적절한 hyperbolic 공간 X{X\displaystyle}에 X{X\displaystyle}의 경계에 있고,톤" 좋은"은(반드시 cocompact) 적절하게 불연속 동작은 인정하는 아주 roughly[12]G{G\displaystyle}쌍곡선 컬렉션 G{\displaystyle{{G\mathcal}에}}여러 종파의 상대적이다그$경계{\displaystyle }$ 지점의 G$$ ${\displaystyle G}$에 있는 안정기는 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 부분군입니다$.$ $이$는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$과 G ${\displaystyle G}$의 $동작$이 모두 초보적이지$$ 않은 경우(특히 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyty X}$은 무한대:모든 집단은 한 점에 대한 그것의 작용을 통해 상대적으로 자신에게 쌍곡선이다!)null

이 세분류의 흥미로운 예로는 특히 1등급 반실행 Lie 그룹의 불균형 래티(예: 유한 부피의 비 컴팩트 쌍곡 다지관의 기본 그룹)가 포함된다.비예제는 상위 랭크 리 그룹과 매핑 클래스 그룹의 래티스다.null

아킬린드릭 쌍곡선 그룹

훨씬 더 일반적인 개념은 아세틸린학적으로 쌍곡선 집단의 개념이다.^[13]미터법 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 동작의 동역성은 동작의 적절한 불연속성을 약화시키는 것이다$$.^[14]null

집단은 그로모프-하이퍼볼릭 공간(필수적으로 적절하지 않은)에서 비원소적 아킬론적 작용을 인정하면 아킬린드학적으로 쌍곡선이라고 한다.이 개념은 곡선 콤플렉스에 대한 그들의 행동을 통해 클래스 그룹을 매핑하는 것을 포함한다.상위 랭크 리 그룹의 격자는 (여전히!) 신근상적으로 쌍곡선이 아니다.null

CAT(0) 그룹

또 다른 방향에서 CAT(0) 그룹은 CAT(0) 공간의 기하학적 작용을 인정하는 그룹이다.여기에는 유클리드 결정체 그룹과 상위 랭크 리 그룹의 균일한 격자가 포함된다.null

CAT(0)가 아닌 쌍곡선 그룹이 존재하는지 여부는 알려지지 않았다.^[15]null

메모들

참조

• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Vol. 319. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 3-540-64324-9. MR 1744486.

• Bowditch, Brian (2006). A course on geometric group theory (PDF). MSJ Memoirs. Vol. 16. Tokyo: Mathematical Society of Japan. doi:10.1142/e003. ISBN 4-931469-35-3. MR 2243589.

• Bowditch, Brian (2012). "Relatively hyperbolic groups" (PDF). International Journal of Algebra and Computation. 22 (3): 1250016, 66 pp. doi:10.1142/S0218196712500166. MR 2922380.

• Cannon, James W.; Swenson, Eric L. (1998). "Recognizing constant curvature discrete groups in dimension 3". Transactions of the American Mathematical Society. 350 (2): 809–849. doi:10.1090/S0002-9947-98-02107-2. MR 1458317.
• Charney, Ruth (1992). "Artin groups of finite type are biautomatic". Mathematische Annalen. 292 (4): 671–683. doi:10.1007/BF01444642. MR 1157320.
• Dahmani, François; Guirardel, Vincent (2011). "The isomorphism problem for all hyperbolic groups". Geometric and Functional Analysis. 21 (2): 223–300. arXiv:1002.2590. doi:10.1007/s00039-011-0120-0.
• Ghys, Étienne; de la Harpe, Pierre, eds. (1990). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov [Hyperbolic groups in the theory of Mikhael Gromov]. Progress in Mathematics (in French). Vol. 83. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi:10.1007/978-1-4684-9167-8. ISBN 0-8176-3508-4. MR 1086648.
• Gromov, Mikhail (1987). "Hyperbolic groups". In Gersten, Steve M. (ed.). Essays in group theory. Mathematical Sciences Research Institute Publications. Vol. 8. New York: Springer. pp. 75–263. doi:10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN 0-387-96618-8. MR 0919829.
• Mineyev, Igor (2002). "Bounded cohomology characterizes hyperbolic groups". Quarterly Journal of Mathematics. 53 (1): 59–73. doi:10.1093/qjmath/53.1.59. MR 1887670.
• Osin, Denis (2016). "Acylindrically hyperbolic groups". Transactions of the American Mathematical Society. 368 (2): 851–888. arXiv:1304.1246. doi:10.1090/tran/6343. MR 3430352.

추가 읽기

• Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). Géométrie et théorie des groupes : les groupes hyperboliques de Gromov [Geometry and theory of groups: Gromov hyperbolic groups]. Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 1441. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0084913. ISBN 3-540-52977-2. MR 1075994.
• Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Symbolic dynamics and hyperbolic groups. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1539. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0092577. ISBN 3-540-56499-3. MR 1222644.
• "Gromov hyperbolic space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]