바이어싱

함수
x ↦ f (x)
도메인 및 코도메인의 예
$(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{B}}$ ${\$ $\},$ $\displaystyle \mathb {B} }$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathb{B} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$ $\displaystyle \mathb {Z} }$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\$ $\},$ ${\displaystyle \mathb {R} }$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathb{R} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{C}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathb {C} }$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathb{C} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$
클래스/속성
상수 아이덴티티 선형 다항식 이성적 대수학 분석적 부드러움 연속 측정 가능 주입식 굴욕적인 비주사적
시공
제한 구성 λ 반비례
일반화
부분적 다중값 암묵적
v t

수학에서 편향함수, 일대일 대응, 또는 반전함수라고도 하는 편향함수는 두 세트의 원소 사이의 함수로서, 한 세트의 각 원소는 다른 세트의 원소와 정확히 짝을 이루고, 다른 세트의 각 원소는 정확히 한 세트의 원소와 짝을 이룬다.손상되지 않은 요소는 없다.수학 용어로, 비주사함수 f: X → Y는 집합 X를 집합 Y에 대한 일대일(주사적) 및 위(주사적) 매핑이다.^[1]일대일 대응이라는 용어는 일대일 함수(주입 함수,그림 참조)와 혼동해서는 안 된다.

세트 X에서 세트 Y로의 편향은 Y에서 X까지의 역 함수를 가진다.X와 Y가 유한 집합인 경우, 바이어싱의 존재는 동일한 수의 원소를 가지고 있음을 의미한다.무한대의 경우 그림이 더 복잡해, 무한대의 다양한 크기를 구분하는 방법인 추기경 숫자의 개념으로 이어진다.

집합에서 그 자체에 이르는 생체적 함수를 순열이라고도 하며 집합의 모든 순열의 집합이 대칭 그룹을 형성한다.

이형성, 동형성, 차이점성, 순열성, 투사성 맵의 정의를 포함한 수학의 많은 영역에서 생물적 함수는 필수적이다.

정의

X와 Y 사이의 쌍(Y가 X와 다를 필요가 없는 경우)이 바이어싱이 되려면 다음 네 가지 속성을 유지해야 한다.

1. X의 각 요소는 Y의 최소 한 요소와 쌍을 이루어야 한다.
2. X의 어떤 요소도 Y의 둘 이상의 요소와 쌍을 이룰 수 없다.
3. Y의 각 요소는 적어도 하나의 X의 요소와 쌍을 이루어야 한다.
4. Y의 어떤 요소도 둘 이상의 X의 요소와 쌍을 이룰 수 없다.

속성 (1)과 (2)를 만족한다는 것은 페어링이 도메인 X와의 함수라는 것을 의미한다.특성 (1)과 (2)를 단일 문장으로 작성하는 것이 더 일반적이다.X의 모든 요소는 Y의 한 요소와 정확히 짝을 이룬다.성질을 만족시키는 기능(3)은 "토론토 Y"라고 하며, 거절(또는 굴절 함수)이라고 한다.성질(4)을 만족시키는 기능을 「일대일 함수」라고 하며, 주사(또는 주사 함수)라고 한다.^[2]이 용어와 함께, 바이어싱은 추측과 주사, 또는 다른 말로, 바이어싱은 "일대일"과 "토론토"^[3] 둘 다인 함수다.

때때로 반대는 f : X y Y에서와 같이 꼬리가 있는 두 개의 머리 오른쪽 위 화살표(U+2916 right RIGHWARDS TWIGH-HEAR WITH TWORWARD WITH WITH WITH TOWARD WITH WITLE)로 표시된다.이 기호는 두 개의 머리 오른쪽 위 화살표(U+21A0 right RIGHWARDS TWORD HEAD ARWARD)를 조합한 것으로, 때로는 돌출부를 나타내는 데 사용되기도 하며, 오른쪽 위 화살표(U+21A3 ↣ RIGHWARDS WITH WITH WITH WITH WITH WITH WITHWARD TAIRATE)가 사용되기도 한다.

예

야구 또는 크리켓 팀의 타격 라인업

야구 또는 크리켓 팀의 타격 라인업(또는 모든 선수가 라인업에서 특정 위치를 차지하고 있는 모든 스포츠 팀의 모든 선수 명단)을 고려하십시오.세트X는 팀의 선수(야구의 경우 9사이즈)가 되고 세트 Y는 타순의 포지션(1위, 2위, 3위 등)이 된다.이 순서에서 어느 선수가 어떤 위치에 있느냐에 의해 "페어링"이 주어진다.각 플레이어가 리스트의 어딘가에 있기 때문에 속성(1)은 만족한다.순서에 따라 선수가 두 명 이상 타석에 앉지 않기 때문에 속성(2)은 만족한다.프로퍼티 (3)은 순서의 각 포지션에 대해 선수 배팅이 일부 있고, 프로퍼티(4)는 2명 이상의 선수가 결코 리스트의 같은 포지션에서 배팅하지 않는다고 명시하고 있다.

교실의 좌석과 학생

교실에는 일정한 수의 좌석이 있다.한 무리의 학생들이 방으로 들어가고 강사가 그들에게 앉으라고 한다.강사는 잠시 방 안을 둘러본 뒤 학생 세트와 좌석 세트 사이에 편차가 있다고 선언하고, 각 학생은 자신이 앉아 있는 좌석과 짝을 지어 앉는다.강사가 이러한 결론에 도달하기 위해 관찰한 것은 다음과 같다.

1. 모든 학생이 한 자리에 앉아 있었다(서 있는 사람은 아무도 없었다).
2. 한 자리보다 더 많은 자리에 앉은 학생은 없었다.
3. 모든 좌석에는 누군가가 앉아 있었다(빈자리가 없었다).
4. 그 안에 한 명 이상의 학생이 있는 좌석은 없었다.

강사는 어느 한 세트도 세지 않고도 학생들이 있는 만큼 좌석이 많다는 결론을 내릴 수 있었다.

더 많은 수학적 예와 일부 비예시

• 임의의 집합 X에 대해 ID 함수 1_X: X → X, 1_X(x) = x는 비주사적이다.
• 함수 f: R → R, f(x) = 2x + 1은 비주사적이다. 각 y에 대해 f(x) = y와 같은 고유한 x = (y - 1)/2가 있기 때문이다. 보다 일반적으로 reals에 대한 선형 함수 f: R → R, f(x) = 도끼 + b(여기서는 a가 0이 아닌 경우)는 바이어스다.각 실제 숫자 y는 실제 숫자 x = (y - b)/a에서 얻는다.
• 함수 f: R → (-168/2, //2)가 f(x) = arctan(x)에 의해 주어지는 것으로서, 각 실제 숫자 x는 간격에서 정확히 하나의 각도 y와 쌍을 이루어 태닝(y) = x(y = arctan(x))가 되기 때문에, 함수 f는 비주사적이다.om/2의 정수 배수를 포함하도록 코도메인(-π/2, π/2)을 더 크게 만들면 이 아크탄 함수에 의해 π/2의 배수와 쌍을 이룰 수 있는 실제 숫자가 없기 때문에 이 함수는 더 이상 (굴절) 위에 있지 않을 것이다.
• 지수함수 g: R → R, g(x) = e는^x 비주사적이지 않다. 예를 들어, R에는 g(x) = -1과 같은 x가 없으며, g가 (주사적) 위에 있지 않음을 보여준다.그러나 코도메인이 양의 $실수{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$≡ ${\displaystyle (0\mathrm{}}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle )}$로 제한되는 경우, ${\$ ($0,\inft \right)$, g는 비거주적일 수 있으며, 그 역(아래 참조)은 자연 로그 함수 ln이다.
• 함수 h: R → R⁺, h(x) = x는² 비주사적이지 않다. 예를 들어, h(-1) = h(1) = 1은 h가 일대일(내주)이 아님을 보여준다.그러나 도메인이 $R{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$[ ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$로 제한되어 있으면 h는 양 제곱근함수인 것이다.
• 칸토르-베른슈타인-슈뢰더 정리(Cantor-Vernstein-Schroder 정리)에 의해 X와 Y, 그리고 X → Y와 같은 두 가지 주입함수 f → Y → X를 주어지면, 비주사함수 h: X → Y가 존재한다.

인버스

도메인 X(기능 표기법에서 f: X → Y로 나타냄)를 가진 바이어싱 f도 Y에서 시작하여 X로 가는 역관계(화살을 돌려서)를 정의한다.임의함수에 대해 "화살을 돌리는" 과정은 일반적으로 함수를 산출하지 않지만, 이 역관계는 도메인 Y와의 함수라고 바이어싱의 특성 (3)과 (4)는 말한다.더욱이 특성(1)과 (2)는 이 역함수가 추사 및 주사, 즉 역함수가 존재하며 또한 편사라고 말한다.역함수를 갖는 함수는 역함수라고 한다.함수는 편향된 경우에만 변환할 수 있다.

간결한 수학적 표기법으로 표기된 함수 f: X → Y는 조건을 만족하는 경우에만 편향적이다.

Y의 모든 y에 대해 X의 고유한 x와 y = f(x)가 있다.

야구 배팅 라인업 예시를 계속하면서 정의되고 있는 기능은 선수 중 한 명의 이름을 입력하는 것으로 받아들여 타순에서 그 선수의 위치를 출력한다.이 기능은 바이어스 기능이므로 타순에서 입력을 하는 역기능을 가지고 있으며, 그 포지션에서 타자가 될 선수를 출력한다.

구성

The composition ${\displaystyle g\,\circ \,f}$ of two bijections f: X → Y and g: Y → Z is a bijection, whose inverse is given by ${\displaystyle g\,\circ \,f}$ is ${\displaystyle (g\,\circ \,f)^{-1}\;=\;(f^{-1})\,\circ \,(g^{-1})}$.

반대로 두 함수 중$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\,\circle \,f}$의 합성물이 비굴적인 경우 f는 주입성이고 g는 굴절성이라는 것을 따를 뿐이다.

카디널리티

X와 Y가 유한 집합인 경우, X와 Y가 동일한 수의 원소를 갖는 경우에만 X와 Y 두 집합 사이에 편차가 존재한다.실제로 자명 집합론에서 이것은 "원소의 동일한 수"(동등도)의 정의로 받아들여지며, 이 정의를 무한 집합으로 일반화하면 무한 집합의 다양한 크기를 구분하는 방법인 추기경 수의 개념으로 이어진다.

특성.

• 함수 f: R → R은 그 그래프가 모든 수평선과 수직선을 정확히 한 번 만나는 경우에만 편향적이다.
• X가 집합인 경우, X에서 그 자체로, 기능 구성(∘)의 작동과 함께, X의 대칭 그룹, 즉 S(X), S(S_X) 또는 X!(X 요인)로 다양하게 나타내는 X의 대칭 그룹을 형성한다.
• 반대는 세트의 기본을 보존한다: 카디널리티 A를 가진 도메인의 부분 집합 A와 카디널리티 B를 가진 코도메인의 부분 집합 B에 대해, 하나는 다음과 같은 동일성을 가진다.

  f(A) = A 및 f⁻¹(B) = B.

• X와 Y가 카디널리티가 동일한 유한 집합과 f: X → Y인 경우 다음과 같다.
  1. f는 편견이다.
  2. f는 추론이다.
  3. f는 주사다.
• 유한 집합 S의 경우, 원소의 가능한 총 순서의 집합과 S에서 S까지의 오차 집합 사이에 편차가 있다.즉, S 요소의 순열 수는 해당 집합의 총 순열 수(이름, n!)와 동일하다.

범주론

반대는 정확히 집합 및 집합 함수의 집합 범주에 있는 이형성이다.그러나, 그 반대는 항상 더 복잡한 범주에 대한 이형성인 것은 아니다.예를 들어, 집단의 Grp 범주에서 형태는 집단 구조를 보존해야 하기 때문에 동형성이어야 하므로, 이형성들은 집단 이형성으로서, 이형성들은 편향성 동형성이다.

부분 함수에 대한 일반화

일대일 대응의 개념은 부분적인 기능에 일반화되는데, 부분적인 반대는 주입만 하면 되지만, 부분적인 반대라고 불린다.이러한 이완의 이유는 (적절한) 부분 함수가 이미 그 영역의 일부에 대해 정의되지 않았기 때문에, 따라서 그 역 함수를 전체 함수로 제한해야 할 설득력 있는 이유가 없기 때문이다. 즉, 그 영역의 모든 곳에서 정의된다.특정 베이스 세트에 대한 모든 부분적 편향 집합을 대칭 역 세미그룹이라고 한다.^[4]

동일한 개념을 정의하는 또 다른 방법은 A에서 B로 부분적인 편향은 R이 다음과 같은 편향 f의 그래프라는 특성과의 관계 R(부분적인 함수로 밝혀짐)이라고 하는 것이다.A′→B′, 여기서 A′은 A의 부분집합이고 B′은 B의 부분집합이다.^[5]

부분적 편향은 같은 세트에 있을 때, 일 대 일 부분 변환이라고 부르기도 한다.^[6]뫼비우스 변환이 확장된 복합면으로의 완성보다는 단지 복잡한 면에 정의되어 있는 것이 그 예다.^[7]

참고 항목

• 악스-그로텐디크 정리
• 바이어스, 주입 및 분사
• 비주사수
• 비주사적 증거
• 범주론
• 다중값 함수

메모들

참조

이 주제는 세트 이론의 기본 개념이며 세트 이론에 대한 소개를 포함하는 모든 텍스트에서 찾을 수 있다.증빙서류에 대한 소개를 다루는 거의 모든 텍스트에는 세트 이론에 관한 섹션이 포함될 것이므로, 주제는 다음 중 하나에서 찾을 수 있다.

• Wolf (1998). Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman.
• Sundstrom (2003). Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall.
• Smith; Eggen; St.Andre (2006). A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole).
• Schumacher (1996). Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley.
• O'Leary (2003). The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall.
• Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House.
• Maddox (2002). Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press.
• Lay (2001). Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall.
• Gilbert; Vanstone (2005). An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall.
• Fletcher; Patty. Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent.
• Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan.
• Devlin, Keith (2004). Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press.
• D'Angelo; West (2000). Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall.
• Cupillari (1989). The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth. ISBN 9780534103200.
• Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole.
• Barnier; Feldman (2000). Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall.
• Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA.

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 비주사성과 관련된 미디어가 있다.

• "Bijection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Bijection". MathWorld.
• 수학의 일부 단어의 초기 사용: 주입, 투약 및 투약에는 주입의 역사와 관련 용어가 있다.