와이트먼 공리

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양자장 이론
파인만 도표
역사
배경 장 이론 전자기학 약한 힘 강한 힘 양자역학 특수상대성 일반상대성 게이지 이론
대칭 양자역학의 대칭 C대칭 P-대칭 T-대칭 공간 번역 대칭 시간 변환 대칭 회전 대칭 로렌츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 깨짐 자연대칭파단 양-밀스 이론 노에더 전하 위상 전하
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표준 모델 양자전기역학 전기와크 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전 이론 위상 양자장 이론 끈 이론 초대칭 테크니컬러 만물론 양자 중력
과학자들 앤더슨 안셀름 아티야 바그만 베치 벨라빈 벤더 베테 비요르켄 블뤼어 보골류보프 브로스키 브라우트 캘런 캐스웰 콜먼 콘스 드위트 디락 다이슨 잉글러트 파데예프 파딘 페르미 파인만 피에르즈 포크 프리츠슈 프롤리히 털로 덮인 글래쇼 글림 겔판트 겔만 골드스톤 그리보프 징그럽다 굽타 구랄니크 하그 하이젠베르크 힉스 하겐 't 후프트' 일리오풀로스 잇직슨 이바넨코 재피 조나라시니오 조던 조스트 켈렌 카슬러 켄달 키블 클레바노프 콘체비치 쿠라예프 양고기 란다우 리 리 레만 르페이지 리파토프 낮음 뤼데르 마이아니 메이저나나 몰다세나 미그달 밀스 뮐러 나이마르크 남부 네베우 니시지마 오메 오펜하이머 오스터왈더 파리시 파울리 폴리티저 폴리아코프 포메란추크 포포프 프로카 루엘 살람 슈바르츠 슈윙거 시걸 세이베르크 스카이르메 스토라 슈테켈베르크 수다르산 시만지크 서링 토모나가 튜틴 벨트만 비라소로 병동 와인버그 바이스코프 갠젤 웨스 웨테리히 바일 윅 와이트먼 위그너 윌체크 윌슨 비튼 양 유카와 자몰로드치코프 자몰로드치코프 짐머만 진 저스틴 주버 주미노
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물리학에서 아서 와이트만의 이름을 딴 와이트만 공리(Gårding–Wightman 공리라고도 함)^[1][2][3]는 양자장 이론의 수학적으로 엄격한 공식화에 대한 시도다.아서 와이트먼은 1950년대 초에 공리를 공식화했지만,^[4] 그것들은 하그-루엘 산란^[6][7] 이론이 그들의 중요성을 확인한 후 1964년에야^[5] 처음 출판되었다.null

공리는 건설적인 양자장 이론의 맥락에서 존재하며, 그것들은 양자장의 엄격한 처리에 대한 기초를 제공하고, 사용된 섭동적 방법에 대한 엄격한 기초를 제공하고자 함을 의미한다.밀레니엄 문제 중 하나는 양-밀스 분야의 경우 위트만 공리를 실현하는 것이다.null

이론적 근거

Wightman 공리의 한 가지 기본 개념은 Poincaré 집단이 단위적으로 활동하는 Hilbert 공간이 있다는 것이다.이러한 방식으로 에너지, 운동량, 각운동량 및 질량 중심(부스트에 대응)의 개념을 구현한다.null

또한 4-모멘텀의 스펙트럼을 양의 광원추(및 그 경계)로 제한하는 안정성 가정이 있다.그러나, 이것은 지역성을 구현하기에 충분하지 않다.그 때문에, Wightman 공리에는 퀀텀 필드라고 불리는 위치 종속 연산자가 있는데, 이 연산자는 푸앵카레 집단의 공변량 표현을 형성한다.null

양자장 이론은 자외선 문제를 겪기 때문에 한 점에 있는 한 장의 가치는 잘 정의되지 않는다.이것을 극복하기 위해, Wightman 공리는 자유장 이론에서도 발생하는 자외선을 길들이기 위한 시험 기능에 얼룩을 지우는 아이디어를 소개한다.공리는 무한 연산자를 다루고 있기 때문에 연산자의 도메인을 지정해야 한다.null

위트만 공리는 우주처럼 분리된 들판 사이에 공칭성 또는 반공일성을 부과함으로써 이론의 인과 구조를 제한한다.null

그들은 또한 진공이라고 불리는 푸앵카레 잉바리안트 상태의 존재를 가정하고 그것이 독특하다고 요구한다.더욱이 공리는 진공 상태가 "순환" 즉, 얼룩진 필드 운영자가 생성하는 다항식 대수학의 진공 상태 요소에서 평가하여 얻을 수 있는 모든 벡터의 집합이 힐버트 공간 전체의 밀도 있는 부분 집합이라고 가정한다.null

마지막으로, 인과적 폐쇄가 전체 민코프스키 공간인 민코프스키 공간에서의 지원으로 시험 기능보다 얼룩진 영역의 다항식들이 임의로 정확하게 근사할 수 있다는 원시적 인과관계 제한(즉, 약한 위상에서의 연산자의 한계)이 있다.우주 공간

공리

W0 (상대론적 양자역학의 가정)

양자역학은 폰 노이만(Von Neumann)에 따라 설명된다. 특히 순수한 상태는 광선에 의해, 즉 어떤 분리 가능한 복잡한 힐버트 공간의 1차원 아공간으로 주어진다.In the following, the scalar product of Hilbert space vectors Ψ and Φ will be denoted by ${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle }$, and the norm of Ψ will be denoted by ${\displaystyle \lVert \Psi \rVert }$. The transition probability between two pure states [Ψ] and [Φ] can be defined in terms of non-zero vector repψ과 φ은 원한을 품다.

${\displaystyle P([\PSI ], [\Phi ])={\frac {\langle \Psi \rangle ^{2}}:{\lVert \rVert ^{2}\lVert \rVert \rVert \rVert ^{2}}:$

그리고 대표적인 벡터인 ψ과 φ이 선택되는 것과 무관하다.null

대칭 이론은 위그너에 따라 기술된다.유진 폴 위너가 1939년 자신의 유명한 논문에서 상대론적 입자를 성공적으로 기술한 것을 활용하기 위해서다.Wigner의 분류를 참조하십시오.Wigner는 상태 간의 전환 확률을 특수 상대성 변형에 의해 관련된 모든 관찰자와 동일하다고 가정했다.보다 일반적으로, 그는 어떤 이론이 그룹 G 하에서 불변한다는 진술을 어떤 두 개의 광선 사이의 전이 확률의 불변성 측면에서 표현되도록 고려했다.그 성명은 그 집단이 광선 집합, 즉 투사적 공간에 작용한다고 가정한다.렛 (a,L)은 푸앵카레 그룹(이종 로렌츠 그룹)의 한 요소가 된다.따라서 a는 공간-시간 원점 x ↦ x - a의 변화를 나타내는 실제 로렌츠 4벡터로서, 여기서 x는 민코프스키 공간⁴ M에 있고 L은 로렌츠 변환으로 모든 벡터(ct,x)의 로렌츠 거리 c²t² - x xx를 보존하는 4차원 공간-시간의 선형 변환으로 정의할 수 있다.힐버트 공간의 모든 레이 Ⅱ와 모든 그룹 요소(a,L)에 대해 변환된 레이 Ⅱ(a,L)가 주어지고 변환에 의해 전환 확률은 변하지 않는다면 푸앵카레 그룹에서는 이론이 불변한다.

$\displaystyle \left\langle \Psi (a,L)\Phi (a,L)\right\langle =\left\Psi ,\Phi \right\rangle }}$

위그너 정리는 이러한 조건에서 힐버트 공간의 변환은 선형 또는 반선형 연산자(더구나 규범을 보존하면 단일 또는 반유니터리 연산자)라고 말하고 있으며, 광선의 투사 공간에 대한 대칭 연산자는 힐버트 공간의 기저로 들어올릴 수 있다.각 그룹 요소(a, L)에 대해 수행되는 이 작업은 (a, L)에 의해 변형된 레이 ray이 U(a, L)를 포함하는 레이와 같도록 힐버트 공간에 단일 또는 반독성 연산자 U(a, L)의 가족을 얻는다.만약 우리가 그 정체성과 연결된 집단의 요소들에 주의를 제한한다면, 반독재 사건은 일어나지 않는다.null

Let (a, L) and (b, M) be two Poincaré transformations, and let us denote their group product by (a, L).(b,M); from the physical interpretation we see that the ray containing U(a, L)[U(b, M)ψ] must (for any psi) be the ray containing U((a, L). (b, M))ψ (associativity of the group operation).광선에서 힐버트 공간으로 돌아가면 이 두 벡터는 한 단계에 따라 다를 수 있다(단일화 연산자를 선택하기 때문에 표준이 아니다), 즉 두 그룹 요소(a, L)와 (b, M)에 의존할 수 있다), 즉 우리는 집단의 대표성이 아니라 오히려 투영적인 대표성을 가지고 있다.이러한 단계는 스핀 a의 입자에 대한 예로서 각 U(a)를 재정의하여 항상 취소할 수는 없다.위그너는 푸앵카레 그룹에게 가장 좋은 것은

${\displaystyle U(a,L)U(b,M)=\pm U(a,L)(b,M)}$

즉, 위상은 ${\displaystyle \pi$}의 배수$.$ 정수 스핀(피온, 광자, 그라비톤...)의 입자는 추가 위상 변경에 의해 +/- 기호를 제거할 수 있지만, 반오드 스핀의 표현에 대해서는 2˚ 각도로 어떤 축을 돌면서 기호가 불연속적으로 변경될 수 있다.그러나 우리는 비균형 SL(2,C)이라 불리는 푸앵카레 집단의 커버 그룹을 표현할 수 있다; 이것은 원소(a, A)를 가지고 있는데, 이전과 같이, a는 4벡터지만, 현재 A는 단위 결정인자를 가진 복합 2 × 2 행렬이다.우리는 U(A, A)에 의해 우리가 얻는 유니터리 연산자를 의미하며, 이것들은 U(A,A)의 수집이 비균형 SL(2,C)의 집단법에 따른다는 점에서 우리에게 지속적이고, 단일하며, 참다운 표현을 준다.null

2˚ 회전 시 신호 변화 때문에, 스핀 1/2, 3/2 등으로 변환하는 에르미트 연산자는 관측할 수 없다.이것은 단일성 초선택 규칙으로 나타난다: 스핀 0, 1, 2 등의 상태와 스핀 1/2, 3/2 등의 상태 사이의 위상은 관측할 수 없다.이 규칙은 상태 벡터의 전체 위상의 관측 불가에 추가된다.관측 가능성과 state v)에 관하여, 우리는 다음과 같은 해석에 따라 작용하는 반정수의 spincaré 그룹의 U(a, L)와 반정수의 subspace에 대한 비균형 SL(2,C)의 U(a, A)를 얻는다.

U(a, L) v)에 해당하는 앙상블은 좌표 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{L}}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( ${\displaystyle x}$-${\displaystyle }$) ${\displaystyle x^{\prime }=L^{-1}(x-a)}}$에 해당하는 앙상블은 좌표 x에 대해 해석되며, 홀수 서브스페이스에 대해서도 마찬가지로 해석된다.null

시공간 번역의 그룹은 상호 교환적이기 때문에 운영자들은 동시에 대각선화 될 수 있다.이들 그룹의 발전기는 우리에게 P ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ j = 1, 2, 3의 네 가지 자기 적응 연산자를 주는데, 이 연산자는 동질 그룹 아래에서 에너지-모멘텀 4벡터라고 불리는 4벡터로 변한다.null

Wightman의 제로트 공리의 두 번째 부분은 표현 U(a, A)가 스펙트럼 조건을 만족한다는 것이다. 즉 에너지-모멘텀의 동시 스펙트럼이 전방 원뿔에 포함되어 있다.

${\displaystyle {}_{}\mathrm{P}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\displaystyle P_{0}\geq$ 0$}$ ...........$$${\displaystyle P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}$

공리의 세 번째 부분은 힐베르트의 공간에 광선으로 대표되는 독특한 상태가 있다는 것인데, 푸앵카레 집단의 작용에 따라 불변적이다.그것은 진공이라고 불린다.null

W1(영역의 가정 및 필드의 연속성)

각 시험 함수 f에 대해,^{[clarification needed]} A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$, …${\displaystyle }$, ${\displaystyle A_{}}$n (${\displaystyle f}$ )$${\$displaystyle A_{1$}(f$),\ldots$ ,$A_{n}(f)}$ 연산자 세트가 존재하며$$, 이 연산자의 조정선과 함께 진공 상태를 포함하는 Hilbert 상태 공간의 조밀한 부분 집합에 정의된다.A 필드는 연산자 값 강화 분포다.Hilbert 상태 공간은 진공(순환 조건)에 작용하는 필드 다항식으로 확장된다.null

W2 (현장의 변환 법칙)

필드는 푸앵카레 그룹의 작용에 따라 공변성이며, 로렌츠 그룹의 일부 표현 S 또는 스핀이 정수가 아닌 경우 SL(2,C)에 따라 변한다.

${\displaystyle U(a,L)^{\daugger }A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).}$

W3(국소 공통성 또는 미시적 인과성)

두 필드의 지지대가 공간적으로 분리되어 있다면, 그 필드는 통근하거나 반공산이다.null

진공의 순환성, 진공의 고유성을 따로 고려하는 경우도 있다.또한 힐버트 상태 공간은 충돌 S 매트릭스에$$나타나는 ${\$$displaystyle$ H$^{\text{in}}$ $및{\displaystyle {}^{}}$ H$$ ${\displaystyle {\text{아웃}}^{}}$ {\$displaystyle H^{\text{out}}$의 점증 공간 $H$에 의해 확장된다는 점증상 완전성의 특성이 있다.자기장 이론의 또 다른 중요한 특성은 에너지-모멘텀 스펙트럼이 0과 일부 양수 사이의 차이를 갖는다는 공리에 의해 요구되지 않는 질량 간격이다.null

공리의 결과

이러한 공리로부터 어떤 일반적인 이론은 다음과 같다.

• CPT 정리 — 패리티의 변화, 입자-항문자 반전 및 시간 역전이 있는 일반 대칭(이 중 어느 것도 밝혀진 바와 같이 자연에만 존재하는 것은 아님)
• 스핀과 통계 사이의 연결 — 절반의 정수 스핀 안티콤트에 따라 변환되는 필드, 반면 정수 스핀 통근(axiom W3)이 있는 필드. 실제로 이 정리에는 기술적 미세한 세부 사항이 있다.이것은 클라인 변환을 사용하여 패치할 수 있다.패러스타틱스를 참조하십시오.BRST의 유령도 참조하십시오.
• 초음파 통신의 불가능성 - 두 관측자가 공간적으로 분리되어 있는 경우, 한 관측자의 작용(측정 및 해밀턴계의 변경 모두 포함)은 다른 관측자의 측정 통계에 영향을 미치지 않는다.^[8]

Arthur Wightman은 공리에서 오는 특정 특성 집합을 만족하는 진공 기대값 분포가 필드 이론(진공 상태의 존재를 포함한 Wightman 재구성 정리)을 재구성하기에 충분하다는 것을 보여주었다. 그는 고유한 진공 기대값의 조건을 발견하지 못했다.진공 상태가 아니다; 이 조건, 성단 속성은 나중에 레스 조스트, 클라우스 헵, 데이비드 루엘, 오트마르 스타인만에 의해 발견되었다.null

이론이 질량 차이를 갖는 경우, 즉 0과 0보다 큰 일부 상수 사이에 질량이 없는 경우, 진공 기대 분포는 먼 지역에서 점증적으로 독립적이다.null

Haag의 정리는 일정한 시간에 진공에 작용하는 필드 다항식을 통해 Hilbert 공간을 식별한다는 의미에서 상호작용 사진은 있을 수 없다고 말한다.null

양자장 이론의 다른 프레임워크 및 개념과의 관계

Wightman 프레임워크는 유한한 온도 상태와 같은 무한한 에너지 상태를 다루지 않는다.null

와이트만 공리는 국소 양자장 이론과 달리 인과 구조를 정리로서 도출하는 대신 우주와 같이 분리된 장들 사이에 공칭성 또는 반공일성을 부과함으로써 이론의 인과 구조를 명시적으로 제한한다.만약 어떤 사람이 Wightman 공리의 일반화를 4 이외의 차원으로 고려한다면, 이 (반)공칭성은 규칙을 어떤 차원으로 가정하고 통계를 더 낮은 차원으로 땋는다.null

Wightman이 독특한 진공 상태를 가정한다고 해서 반드시 Wightman 공리가 자연적 대칭성이 깨지는 경우에 적합하지 않은 것은 아니다. 왜냐하면 우리는 항상 초선택 영역에 우리 자신을 제한할 수 있기 때문이다.null

와이트만 공리가 요구하는 진공에 대한 주기성은 진공에서 초선택 부분만을 기술한다는 것을 의미하며, 다시 말해 일반성의 큰 손실은 아니다.그러나, 적어도 필드 이론적 관점에서, 솔리톤은 무한대의 위상학적 경계 조건을 포함하는 지구 구조이기 때문에, 이 가정은 시험 기능에 의해 얼룩진 필드의 다항식으로 생성될 수 없는 솔리톤과 같은 유한한 에너지 상태를 배제한다.null

Wightman 프레임워크는 시험 함수의 지원이 얼마나 작을 수 있는가에 대한 제한이 없기 때문에 효과적인 현장 이론을 다루지 않는다.즉, 컷오프 스케일이 없다.null

Wightman 프레임워크는 또한 게이지 이론을 다루지 않는다.아벨레아 게이지 이론에서도 종래의 접근방식은 한정되지 않은 규범(정확한 규범이 필요한 힐베르트 공간은 아니지만 물리학자들은 그럼에도 불구하고 힐베르트 공간이라고 부른다)을 가진 "힐버트 공간"에서 출발하며 물리적 상태와 물리적 운영자는 공동 호몰로지(comhilbert 공간(Hilbert space)에서 출발한다.이것은 분명히 Wightman 프레임워크에서는 어느 곳에서도 다루어지지 않는다.(그러나 슈윙거, 크라이스트와 리, 그리보프, 즈완지거, 반바알 등에서도 알 수 있듯이, 쿨롬 게이지의 게이지 이론의 표준 정량화는 일반적인 힐베르트 공간과 함께 가능하며, 이것이 공리 계통의 적용성에 해당하게 하는 방법이 될 수도 있다.)null

Wightman 공리는 시험 함수 공간의 텐서 대수학과 동등한 Borchers 대수학에서 Wightman 함수라고 불리는 상태의 관점에서 다시 해석될 수 있다.null

공리를 만족시키는 이론의 존재

Wightman 공리는 4가 아닌 다른 차원으로 일반화할 수 있다.차원 2와 3에서는 공리를 만족시키는 상호작용(즉, 비자유) 이론이 구성되었다.null

현재 치수 4에서 이론을 상호 작용시키는 데 와이트만 공리가 만족할 수 있다는 증거는 없다.특히 입자물리학의 표준모델은 수학적으로 엄격한 기초가 없다.Wightman 공리가 질량 갭의 추가 요건으로 게이지 이론에 만족할 수 있다는 증거에 대해 100만 달러의 상금이 있다.null

오스터발더-슈레이더 재건 정리

특정 기술적 가정 하에서, 유클리드 QFT는 Wightman QFT로 Wick-rotting될 수 있다.오스터발더-슈레이더 정리를 참조하라.이 정리는 와이트만 공리를 만족시키는 차원 2와 3에서 상호 작용하는 이론의 구성을 위한 핵심 도구다.null

참고 항목

• 힐버트의 여섯 번째 문제
• 국소 양자장 이론
• 하그-카스틀러 공리

참조

추가 읽기

• 아서 와이트먼 "힐버트의 여섯 번째 문제:F. E. Browder(편집)의 "물리학의 공리에 대한 수학적 처리": Proc의 제28권 (1부) 공감. 순수한 수학, 아머.수학. Soc. 1976 페이지 241–268.
• 레스 조스트, 정량화된 분야의 총론 아머.수학, 1965년 Soc.