s자형 측도

이 문서에는 일반적인 참조 목록이 포함되어 있지만 대응하는 충분한 인라인 인용이 없습니다. 좀 더 정밀한 인용문을 도입하여 이 글의 개선에 도움을 주시기 바랍니다.(2022년 5월) (이 템플릿메시지를 삭제하는 방법과 타이밍을 학습합니다)

부피의 일반 개념을 연구하는 수학의 한 분야인 측정 이론에서 s-finite 측정은 특별한 측정 유형입니다.s-유한 측도는 유한 측도보다 일반적이지만 유한 측도에 대한 특정 증거를 일반화할 수 있습니다.

s-finite 측정은 θ-finite(시그마-finite) 측정과 혼동해서는 안 된다.

정의.

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$,${\displaystyle A\mathcal{}}$) { $style$( X , { \ $mathcal${ $A$} )$$} $\mu$ $displaystyle$\$mu }$ a {\ {\ space space space urable 、 urable {\ space$$ space 。μ$(\$$displaystyle$$\mu)$는 유한한 측정값의 합계 ${\displaystyle {of}_{}}$${\displaystyle n\mathbb{}}$(n it N \$displaystyle\nu_{n})$^[1]으로 쓸 수 있는 경우 s-finite 측정값이라고 합니다.

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{\infty}\nu _{n}.}$

예

르베그 $측정치{\displaystyle }${\(\$style\lambda)$는 s-finite 측정치입니다.이 경우, 세트

$\displaystyle B_{n}=subn,-n+1]\cup [n-1,n)}$

§$$(\$displaystyle\nu_{n})$을 다음과 같이 정의합니다.

$\displaystyle \nu _{n}(A)=\lambda (A\cap B_{n})}$

모든 측정 가능한 $세트{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle$ A$\}$에 대해 선택합니다.측정 $가능$한 모든 $A$에 대해 ${\displaystyle {\theta }_{}}$n (${\displaystyle A)}$≤ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle B_{}}$n )$$${\displaystyle =}$ {$display$ \ $nu$_ { $n$} ($A)$ \ $leq$\$nu$_ { $n$} ($B_${$$n ) $=2}$이므로 이러한 측정치는 유한하며 구조상 다음을 만족한다.

${\displaystyle \displayda =\sum _{n=1}^{\infty}\nu _{n}.}$

따라서 르베그 측도는 s-finite입니다.

특성.

§-finite 조치와의 관계

모든 γ-유한 측정치는 s-유한이지만, 모든 s-유한 측정치가 γ-유한인 것은 아니다.

모든 µ-finite 측정값이 s-finite임을 나타내려면$$μ {\$displaystyle \mu}$를 µ-finite로 $합니다{\displaystyle }$.으로 측정 가능한 분리 $집합{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {B1\mathrm{}}_{}}$ $…({displaystyle B_{1}, B_{2},$ \$dots$$},$μ$($n <\$displaystyle \mu (B_{n})$ <\$infty$},

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty}B_{n}=X}$

그 후 조치

$\displaystyle \nu _{n}(\cdot):=\mu(\cdot \cap B_{n})}$

유한하고 합계는 μ$(\displaystyle\mu$입니다.이 접근방식은 위의 예와 같습니다.

s-display가 아닌 s-display 측정의 예는 모든 $디스플레이$에 대해 X ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle a}$ $}$ { $displaystyle{\displaystyle \mathcal{}}$ X $=$${\displaystyle }${ ${\displaystyle a}$$$${\displaystyle \}}$ , ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ $}$ { $displaystyle$\ $mathcal${ A } $=$ \ { \ { a \ }, $emptyset$\$$} $세트$ X = { a } 에 구성할 수 있습니다.이 측정 가능한 공간에 측정하여 정의한다.

${\displaystyle \mu :=\sum _{n=1}^{\infty}\nu _{n}.}$

$측정{\displaystyle }$μ$(\displaystyle$ \mu $})$는 구성 s-finite에 의한 것입니다(하나의 요소가 있는 집합에서 카운트 측정이 유한하기 때문입니다).단,$$μ($디스플레이$스타일 \mu$)$는 유한하지 않습니다.

$\displaystyle \mu (\{a\})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}({a\})=\sum _{n=1}^{\infty}1=\infty .}$

$따라서{\displaystyle }$μ(\$displaystyle\mu)$는 µ-finite일 수 없습니다.

확률 측도에 대한 동등성

각 s자 $측정값{\displaystyle }$ μ ${\displaystyle =\underset{n}{\overset{}{}}}$ n$$ ${\displaystyle \underset{\mathrm{}}{\overset{}{1}}}$∞ ${\displaystyle n_{}}$ \ $displaystyle$\$mu$= \ $sum$_ { n$$= { n $}^{$ \ $infty$} \ $nu$_ { $n$}에 대해 동등한 확률 $측정값{\displaystyle }$P { $displaystyle$ P$\}$가 존재합니다. 즉,${\displaystyle \mu }$ ~$$P { $displaystyle$ \$muyle$ \ $sim$\ sim P$\}$^[1]는 $다음$과 같습니다.

${\displaystyle P=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}{\frac {nu _{n}}{\nu _{n}(X)}}}}.}$

레퍼런스

• Falkner, Neil (2009). "Reviews". American Mathematical Monthly. 116 (7): 657–664. doi:10.4169/193009709X458654. ISSN 0002-9890.
• Olav Kallenberg (12 April 2017). Random Measures, Theory and Applications. Springer. ISBN 978-3-319-41598-7.
• Günter Last; Mathew Penrose (26 October 2017). Lectures on the Poisson Process. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-08801-6.
• R.K. Getoor (6 December 2012). Excessive Measures. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-3470-8.