구면계

수학에서 - 특히 기하학적 측정 이론에서 - 구형 측정 σ은ⁿ n-sphere S에ⁿ 대한 "자연적인" 보렐 측정이다.구면 측정은 구면에서의 확률 측정, 즉 σⁿ(Sⁿ) = 1이 되도록 평준화되는 경우가 많다.

구면 측정의 정의

구면 측정을 정의하는 방법에는 여러 가지가 있다.한 가지 방법은 S에ⁿ 대해 일반적인 "원형" 또는 "경계" 미터법_n ρ을 사용하는 것이다. 즉, S에서ⁿ 점 x와 y의 경우 ρ_n(x, y)은 구 중심(R의ⁿ⁺¹ 원점)에서 하위되는 (유클리드) 각도로 정의된다.이제 미터법 공간(Sⁿ, ρ_n)에 n차원 Husdorff를 구성하고 정의하십시오ⁿ.

${\displaystyle \sigma ^{n}={\frac {1}{H^{n}(\mathbf {S}^{n}})}}}H^{n}}}$

또한ⁿ S에게 유클리드ⁿ⁺¹ 공간 R의 하위공간으로 상속되는 측정지표를 줄 수 있었을 것이다. 동일한 구면 측정은 이 측정지표의 선택에서 비롯된다.

또 다른 방법은 주변 유클리드 공간ⁿ⁺¹ R에 대한 레베그 측정값 λ을ⁿ⁺¹ 사용한다: S의ⁿ 모든 측정 가능한 부분 집합 A에 대해 a(A)를ⁿ 원점에서 하위조정한 볼 B의ⁿ⁺¹ "웨지"의 (n + 1)차원 볼륨으로 정의한다.그것은

${\displaystyle \sigma ^{n}(A):={\frac {1}{\alpha(n+1)}}\lambda ^{n+1}(\{tx\mid x\in A,t\in [0,1]\}),}$

어디에

$[\displaystyle \cHB(m):=\lambda ^{m}(\mathbf {B} _{1}^{m}(0)).}$

이 모든 방법이 S에ⁿ 대해 동일한 척도를 정의한다는 사실은 Christensen의 우아한 결과에서 따온 것이다: 이 모든 척도는 분명히ⁿ S에 균일하게 분포되어 있으며, 분리 가능한 메트릭 공간에 대해 균일하게 분포된 Borel의 두 가지 정기 척도는 서로 일정하게 (양수)배수여야 한다.우리 후보 σ은ⁿ 모두 확률 측정으로 정상화되었으므로, 모두 같은 측정이다.

다른 조치와의 관계

구체의 하우스도르프 조치와 주변 공간의 르베그 조치와의 구면 측정의 관계는 이미 논의된 바 있다.

구형 측정은 직교 그룹의 하르 측정과 좋은 관계를 가지고 있다.O(n)는 R에ⁿ 작용하는 직교 그룹을 나타내며, θ은ⁿ 표준화된 하르 측정치를 나타냄(그래서 θⁿ(O) = 1)을 나타냄.직교 그룹은 구 S에도ⁿ⁻¹ 작용한다.그리고, 어떤 x ∈ S와ⁿ⁻¹ 어떤 A ⊆ S에ⁿ⁻¹ 대해서도,

${\displaystyle \theta ^{n}(\{g\in \mathrm {O})(n)\mid g(x)\in A\}=\sigma ^{n-1}(A).}$

S가ⁿ 위상학군인 경우(n이 0, 1 또는 3) 구형 측정값 σ은ⁿ S의ⁿ (정상화된) 하르 측정값과 일치한다.

등측 부등식

구에는 통상적인 미터법과 구면 측도를 갖는 등차측 불평등이 있다(Ledoux & Talagrand, 1장 참조).

만약 A s S가ⁿ⁻¹ 보렐 세트이고 B sⁿ⁻¹ S가 A와 동일한 σⁿ 측정값을 가진 ρ_n 볼이라면, 그 다음, r > 0,

${\displaystyle \sigma ^{n}(A_{r})\geq \sigma ^{n}(B_{r}),}$

여기서 A는_r r에 의한 A의 "인플레이션"을 나타낸다.

${\displaystyle A_{r}=\{x\in \mathbf {S}^{n}\mid \rho_{n}(x,A)\leq r\}}$

특히 σⁿ(A)가 ≥인 경우1/2과 n ≥ 2 그 다음

${\displaystyle \sigma ^{n}(A_{r})\geq 1-{\sqrt {\frac {}{8}}\,\exp \left(-{\frac {(n-1)r^{2}}:\오른쪽).}$

참조

• Christensen, Jens Peter Reus (1970). "On some measures analogous to Haar measure". Mathematica Scandinavica. 26: 103–106. ISSN 0025-5521. 미스터0260979
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probability in Banach spaces. Berlin: Springer-Verlag. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. MR11015 (제1장 참조)
• Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces: Fractals and rectifiability. Cambridge Studies in Advanced Mathematics No. 44. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xii+343. ISBN 0-521-46576-1. MR1333890(3장 참조)