내측량

수학에서 특히 측정 이론에서 내측치는 주어진 집합의 동력 집합에 대한 함수로서, 확장된 실수에 값을 가지고, 일부 기술적 조건을 만족시킨다.직관적으로 집합의 내부 측정은 집합 크기의 하한이다.

정의

내부 측정은 설정된 함수다.

다음 조건을 충족하는$$ 집합 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$의 모든 하위 집합에 정의됨:

• Null 빈 집합:빈 집합은 내부 측정값이 0이다(참조: 측정값 0). 즉,
  $${\displaystyle \varphi(\varnothy )=0}$$

  
• 초첨가성:$모든{\displaystyle }$ 분리형 집합 A$${\$displaystyle$A} $및$ B ,$${\$displaystyle$ B$,}$
  $$\displaystyle \varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B)}$$

  
• 감소 타워의 한계:For any sequence${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ of sets such that ${\displaystyle A_{j}\supseteq A_{j+1}}$ for each ${\displaystyle j}$ and ${\displaystyle \varphi (A_{1})<\infty }$
  $${\displaystyle \varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\inflt }{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi(A_{j})}$$

  
• Infinity에 접근해야 함:$세트{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에 대해 $\phi {\displaystyle }$ $A$ ${\displaystyle )}$= $\displaystyle \varphi$(A$)=\infit }$인 경우, 모든 양의 ${\displaystyle }$ r${\displaystyle ,}${\$displaystyle$ r$,}$에 대해 다음과$$ $같은{\displaystyle }$ B${\displaystyle }${ ${\displaystyle A}${\$displaystystyle$B\$seteq$A}이$$ 있다.
  $$\displaystyle r\leq \varphi (B)<\fty .}$$

  

조치에 의해 유도된 내부 측정

$\sigma {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$\Sigma}$을(를) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$Sigma$.}에 대해 be-algebra가 되도록$$ 한다. ${\displaystyle$ $\$$sigma.}$ 그러면$$ μ에$$ 의해$$ 유도된 $내부{\displaystyle {}_{}}$ 측정 μs${\$$.$

기본적으로 $\mu {\displaystyle {}_{}}$μ${\$은(는) 최소한 $\mu 만큼$의 크기$({\$$displaystyle \Sigma }$ 측정$$ 가능한 하위 집합의 크기를$$ 보장함으로써$$ 세트의 크기를 낮춘다.설정 함수 $\mu {\displaystyle {}_{}}$ μ${\$은(는) 보통 측정치가 아니지만$$ $\mu {\displaystyle {}_{\ast }}$ ${\$은(는) 측정과 다음 속성을 공유한다$$.

1. ${\displaystyle \mu _{*}(\varnothy )=0,}$
2. $㎕∗{\$은(는) 음성이 아니며,
3. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \subseteq }$ F ${\displaystyle E\subseteq F}$일 경우 $\mu {\displaystyle {}_{}}$μ${\displaystyle {}_{}E}$)${\displaystyle {}_{}}$ μ μ μ${\displaystyle {}_{}}$F ) .${\displaystyle \mu _{*}(E)\leq \mu _{*}(F).$$}$

측정완료

유도된 내부 측정은 더 큰 σ-알제브라까지 측정을 확장하기 위해 외부 측정과 함께 종종 사용된다.If ${\displaystyle \mu }$ is a finite measure defined on a σ-algebra ${\displaystyle \Sigma }$ over ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle \mu ^{*}}$ and ${\displaystyle \mu _{*}}$ are corresponding induced outer and inner measures, then the sets ${\displaystyle T\in 2^{X}}$ such that ${\displaystyle \mu _{*}(T)=\mu ^{*}(T)}$ form a σ-algebra ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}}$ with ${\displaystyle \Sigma \subseteq {\hat {\Sigma }}}$.^[1]설정 함수 $\mu {\displaystyle \hat{}}$ ${\$에 의해$$ 정의됨

${\displaystyle 모든\stackrel{}{\mathrm{}}}$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$^ {\$displaystyle$ T$\in {\hat {\\Sigma }}$은(는) $\mu$의 완성으로 알려진$$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 대한 측정값이다$$.${\displaystystyle \mu.}$

참고 항목

• 르베그 측정 가능 세트

참조

• 할모스, 폴 R, 측정 이론, D.반 노스트랜드 컴퍼니, 1950, 페이지 58.
• 리처드 A가 번역한 A. N. 콜모고로프 & S. V. 포민.Silverman, 입문 리얼 분석, Dover Publishes, New York, 1970, ISBN0-486-61226-0(7장)