절대 연속성

미적분학에서 절대 연속성은 연속성과 균일한 연속성보다 강한 기능의 부드러움 속성이다. 절대적 연속성의 개념은 미적분학의 두 중심적 운영인 미적분학의 차이와 통합 사이의 관계에 대한 일반화를 얻을 수 있게 한다. 이 관계는 리만 통합의 틀에서 일반적으로 (미적분의 근본적인 정리에 의해) 특징지어지지만, 절대적인 연속성을 가지고는 르베그 통합의 관점에서 공식화될 수 있다. 실제 라인의 실제 가치 함수의 경우, 기능의 절대 연속성과 측정의 절대 연속성의 두 가지 상호 관련 개념들이 나타난다. 이 두 가지 개념은 다른 방향으로 일반화되어 있다. 함수의 일반적인 파생상품은 측정치의 라돈-니코딤 파생상품 또는 밀도와 관련이 있다.

실제 라인의 컴팩트한 부분 집합에 걸쳐 기능에 대한 다음과 같은 포함 체인을 가지고 있다.

절대 연속형 uniformly 균일하게 연속형

=

=

=

연속형

=

그리고, 짧은 시간 동안,

연속적으로 다른 ⊆ 립스치츠 연속 absolutely 절대적으로 연속적인 bound 경계된 변화 almost 거의 모든 곳에서 다른 different

함수의 절대 연속성

연속함수는 균일하게 연속되지 않으면 절대적으로 연속되지 못하는데, 기능의 영역이 콤팩트하지 않을 경우 발생할 수 있다. 예로는 [ $0, //2$ 에 걸쳐 태닝(x $),$ 전체 실선에 걸쳐서² x, 그리고 (0, 1)에 걸쳐서 죄(1/x)가 있다. 그러나 연속함수 f는 콤팩트한 간격에서도 절대적으로 연속되지 않을 수 있다. "거의 어디에서나 구분할 수 없는" (어디에서도 구별할 수 없는 위어스트라스 함수처럼)가 아닐 수도 있다. 또는 거의 모든 곳에서 차별화될 수 있고 파생상품 f ′은 르베그 통합이 가능할지 모르지만 f integral의 적분은 f의 증가(간격으로 f가 얼마나 변화하는지)와 다르다. 예를 들어 칸토어 기능에서 이런 일이 일어난다.

정의

Let $I$ be an interval in the real line $\mathbb {R}$ . A function $f\colon I\to \mathbb {R}$ is absolutely continuous on $I$ if for every positive number $\varepsilon$ , there is a positive number ${\displayst$ $yle \$ $(x_{k},y_{k})$ $}($ $x_{k}<y_{k}\in I$ k , $(x_{k},y_{k})$ $(x_{k},y_{k})$ )의 $I$ 쌍방향 분리 하위 인터벤션 $(x_{k},y_$ ${k})$ 의 유한 시퀀스가 x $x_{k}<y_{k}\in I$ < $x_{k}<y_{k}\in I$ i $x_{k}<y_{k}\in I$ 의 $I {\displaystyle I$ $}$ 을 $(x_{k},y_{k})$ (를 $)$ 충족할 $x_{k}<y_{k}\in I$ ^[1] 때마다 \ $delta$ }

\sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\displaystyle \sum

그때

\sum _{k}f(y_{k}-f(x_{k}) <\varepsilon .

$I$ ${\$ $\operatorname {AC} (I)$ $I}$ 의 모든 절대 연속 기능 모음이 $\operatorname {AC} (I)$ ⁡ $\operatorname {AC} (I)$ ( I ) $\operatorname {AC}(I)$ 로 표시됨 $i$ $\operatorname {AC} (I)$

등가정의

압축간격 [a,b]의 실제값 함수 f에 대한 다음 조건은 동일하다.^[2]

f는 절대적으로 연속적이다.
f는 거의 모든 곳에서 파생 f ′을 가지고 있고, 그 파생상품은 르베그와의 통합이 가능하다. $f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt$ [a,b]의 모든 x에 대해,
[a,b]에는 다음과 같은 Lebesgue 통합 함수 g가 있다. $f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}g(t)\,dt$ [a,b]의 모든 x에 대해

이러한 등가 조건이 충족되면 g = f ′은 거의 모든 곳에서 필수적으로 충족된다.

(1)과 (3) 사이의 등가성은 르베그에 기인하여 르베그 적분학의 근본 정리로 알려져 있다.^[3]

측정에 대한 동등한 정의는 절대 연속성의 두 개념 사이의 관계를 참조한다.

특성.

절대적으로 연속적인 두 함수의 합과 차이도 절대적으로 연속적이다. 만약 두 기능이 경계 폐쇄 간격으로 정의된다면, 그들의 제품 또한 절대적으로 연속적이다.^[4]
절대 연속 함수가 경계 폐쇄 간격에 정의되고 0이 아닌 경우, 그 역수는 절대 연속이다.^[5]
모든 절대 연속 기능은 균일하게 연속적이며, 따라서 연속적이다. 모든 립스키츠-연속 기능은 절대적으로 연속적이다.^[6]
f: [a,b] → R이 절대적으로 연속적인 경우, [a,b]^[7]에 대한 경계변동이다.
f: [a,b] → R이 절대적으로 연속적인 경우, [a,b]에 대해 두 개의 단조로움 비감소 절대 연속함수의 차이로 기록할 수 있다.
If f: [a,b] → R is absolutely continuous, then it has the Luzin N property (that is, for any $N\subseteq [a,b]$ such that $\lambda (N)=0$ , it holds that $\lambda (f(N))=0$ , where $\lambda$ stands for the Lebesgue meR)에 대한 Asure.
f: I → R은 연속적인 경우에만 경계가 있는 변동이며 루진 N 속성을 갖는 경우 절대적으로 연속적이다.

예

다음 기능은 균일하게 연속적이지만 절대적으로 연속되지는 않는다.

[0, 1]의 칸토어 기능(경계변동이지만 절대적으로 연속되지는 않음)
기능 $f(x)={\displaysty{case}0,>{\text{{}x=0\\x\sin(1/x),&\text{}{{}x\neq 0\end{case}}}}$ 기원을 포함하는 유한한 간격으로

다음 기능은 절대적으로 연속적이지만 α-홀더 연속은 아니다.

함수 f(x) = [0, c]에 대한^β x = 0 < β < α < 1

다음 기능은 절대적으로 연속적이고 α-홀더 연속이지만 립스키츠 연속은 아니다.

함수 f(x) = [0, c]의 √x, α ≤ 1/2.

일반화

(X, d) 미터법 공간이고 내가 실제 라인 R의 구간이 되게 한다. 함수 f: I → X는 모든 양의 숫자 $\epsilon$ ${\displaystyle \epsilon$ $\epsilon$ 에 대해 양수 $\delta$ $\delta$ 이(가) 존재한다면 I에 대해 절대적으로 연속적이다. 따라서 $\delta$ I의 유한 시퀀스인 쌍방향 연결 해제 하위 간격[x_k_k, y]이 충족될 때마다 양수 Δ {\\\\displaysty}이 있다.

\sum _{k}\왼쪽 y_{k}-x_{k}\오른쪽 <\cHB

그때

\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k}\right)<\엡실론 .

I에서 X까지의 모든 절대 연속 함수의 집합은 AC(I; X)로 표시된다.

추가 일반화는 다음과 같은^[8] 곡선 f: I → X의 공간 AC^p(I; X)이다.

d\left(f)\f(t)\오른쪽)\leq \int _{s}^{t(\tau )\,d\tau {\text{{}모든 }}

L^p 스페이스 L^p(I)에 있는 일부 m에 대해.

이러한 일반화의 속성

모든 절대 연속 기능은 균일하게 연속적이며, 따라서 연속적이다. 모든 립스키츠-연속 기능은 절대적으로 연속적이다.
f: [a,b] → X가 절대적으로 연속적인 경우, [a,b]에 대한 경계변동이다.
f ∈ AC^p(I; X)의 경우, f의 미터법 파생상품은 거의 항상 I에 존재하며, 미터법 파생상품은 다음과^[9] 같이 가장 작은 m m L^p(I; R)이다. $d\left(f)\f(t)\오른쪽)\leq \int _{s}^{t(\tau )\,d\tau {\text{모든 }}}$

조치의 절대 연속성

정의

A measure $\mu$ on Borel subsets of the real line is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure $\lambda$ if for every measurable set $A,$ $\lambda (A)=0$ implies $\mu (A)=0.$ This is writt $\mu \ll \lambda .$ μ $\mu \ll \lambda .$ μ $\mu \ll \lambda .$ . $\mu \ll \lambda .$ {\ $displaystyle \mu \$ ll \ $lambda$ .} $\mu \ll \lambda .$ $\mu$ {\ $displaystyle \mu$ }은(는 $\lambda .$ $.$ {\ $displaystyle \lambda .}$ 에 의해 지배된다고 우리는 말한다 $\mu \ll \lambda .$ $\mu$ .

대부분의 애플리케이션에서, 실제 라인의 측정치가 어떤 다른 측정치가 절대적으로 연속적인지에 대해 명시하지 않고 단순히 절대적으로 연속적인 것으로만 말해진다면, 르베그 측정에 관한 절대 연속성을 의미한다.

$\mathbb {R} ^{n},n\geq 2.$ 한 원칙이 R n $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2.$ , $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2.$ $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2.$ 2 ${\displaystyle \mathb {R}^{n},n\geq$ 2 $.}$ 의 보렐 하위 집합에 대해 적용된다.

등가정의

실제 라인의 보렐 하위 세트에서 $\mu$ 유한 측정 $\mu$ $\mu$ 에 대한 다음 조건은 동일하다.^[10]

$[\displaystyle \mu }$ 은 $\mu$ (는) 절대 연속이다.
$\varepsilon$ 양의 수 ∆ $\varepsilon$ 에 대해 $\delta >0$ $\mu (A)<\varepsilon$ $\delta >0$ > 0 $\delta >0$ 이 $\delta >0$ (가) 있으며 $\varepsilon$ , 이러한 양수는 모든 보렐에 대해 $\mu (A)<\varepsilon$ $\delta ;$ (A $<\$ $displaysty$ $\$ $mu$ $(A)><\varepsilon$ $}$ 이 Δ $\delta ;$ ${\del$ $}$ 보다 $\delta ;$ 작은 측정값으로 $A$ 된다 $A$ .
실제 라인에는 $g$ 다음과 같은 Lebesgue 통합 함수 $g$ $g$ 이(가) 있다. $\displaystyle \mu(A)=\int _{A}g\,d\lambda }$ 모든 보렐이 실제 라인의 $A$ $A$ $A$ 을(를) 하위 집합으로 지정한다.

기능 측면에서 동등한 정의는 절대 연속성의 두 개념 사이의 관계를 참조하십시오.

(3)을 만족시키는 다른 기능은 거의 $g$ 모든 곳에서 $g$ $g$ 과(와) 같다. 이러한 함수를 절대 연속 측정 $\mu .$ $\mu.$ 의 라돈-니코디엠 파생상품 또는 밀도라고 한다.

(1 $),$ (2) 및 (3) 사이의 동등성은 또한 $n=1,2,3,\ldots .$ n = $n=1,2,3,\ldots .$ , $n=1,2,3,\ldots .$ , $n=1,2,3,\ldots .$ , $n=1,2,3,\ldots .$ 에 $n=1,2,3,\ldots .$ 대해 $\mathbb {R} ^{n}$ n {\ $displaystyle \mathb{$ R} $\mathbb {R} ^{n}$ $^{n$ }}}에서 유지된다 $.$

따라서 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에 대한 절대 연속 측정은 밀도가 있는 측정값이며 $\mathbb {R} ^{n}$ , 특별한 경우 절대 연속 확률 측정은 확률 밀도 함수가 있는 측정값이다.

일반화

만약μ{\displaystyle \mu}과ν{\displaystyle \nu} 같은 측정 가능한 공간(X, A)에 두 조치들은,{\displaystyle(X,{{A}\mathcal}),}μ{\displaystyle \mu}가 되.mw-parser-output .vanchor&gt은 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}absolutely ν{\displ에 관한 연속으로 알려졌다.Aystyle \nu}모든 땅에μ(A))0{\displaystyle \mu(A)=0}. $t$ $\nu (A)=0.$ ( $\nu (A)=0.$ ) $\nu (A)=0.$ = $\nu (A)=0.$ $\nu (A)=0.$ 이 값은 $\nu (A)=0.$ ^[11] " $\mu \ll \nu$ μ ≪ $\mu \ll \nu$ ν ${\displaystyle \mu \ll \nu}"$ 로 기록된다. $\mu \ll \nu$ 즉,

\mu \ll \qquad {\text{{}}}}{{}}}}{{\mathcal{A}}},\quad(\nu(A)=0\{\text{}}}는 }\\mu(A)=0을 의미한다.

$\mu \ll \nu ,$ $\mu \ll \nu$ 이 $\mu \ll \nu ,$ (가) $\mu .$ 를 지배하고 있다고 한다 $\nu$ $\mu .$ ${\displaystyle \nu$ $}$

측정의 절대적 연속성은 반사적이고 전이적이지만 대칭적이지 않기 때문에 부분 순서보다는 사전 순서다. 대신 $\mu \ll \nu$ μ μ { ${\displaystyle \ll$ \nu}과 $μ$ $\nu \ll \mu ,$ , $displaystyle \nu \ll \mu$ $},$ $\nu$ μ $\mu$ μ $\mu$ { ${\displaystystyle \nu}$ 이 $\nu \ll \mu ,$ 동등하다고 한다 $\nu$ . 따라서 절대 연속성은 그러한 동등성 등급의 부분적인 순서를 유도한다.

$[\displaystyle \mu }$ 이 $\mu$ (가) 서명되거나 복잡한 측정인 경우 $,$ $[\$ $disp$ ] 변동 $displaystyle \mu$ \ $nu$ $}$ 이 $\nu$ $|\mu|$ $|\mu |\ll \nu ;$ $($ 가) $|\mu |\ll \nu ;$ μs를 만족하면 $[\displaystystyle \mu]$ 가 절대적으로 지속된다고 $\mu$ 한다. $\nu (A)=0$ ( A ) = $\nu (A)=0$ 이 $A$ $\nu (A)=0$ (가 $\nu (A)=0$ $\mu$ $\mu$ -null인 $\mu$ $레이스타일 A}.$

그 Radon–Nikodym theorem[12]경우 연착한 μ{\displaystyle \mu},{\displaystyle \nu,}과 두가지 수단, 그때 μ{\displaystyle \mu}는 밀도, 또는"Radon-Nikodym 유도체", ν에는 뜻 존중,{\displaystyle \nu,}과σ-finite 있ν에 대하여 지속적인 것이 a존재하 ν $\nu$ $f=d\mu /d\nu ,$ $\nu}$ - $[0,+\infty ),$ , + $[0,+\infty ),$ ) $[0,+\infty ),$ , ${\displaystyle [0,+\fty ]$ 의 값을 취하는 $f$ f ${\$ $f=dmu$ / $d\nu}$ 의 값을 $f=d\mu /d\nu ,$ $f$ ${\$ $displaystystyle$ $\nu$ $\}$ -측정 $\nu$ $가능$ 한 $A$ 설정 A $}$

\displaystyle \mu(A)=\int _{A}f\,d\nu .}

단수 측정

르베게의 분해 정리를 통해 모든 fin-피니트 측정치는 다른 σ-피니트 측정치에 관한 절대 연속 측정과 단수 측정의 합으로 분해될 수 있다.^[13] 절대적으로 연속적이지 않은 측정의 예는 단수 측정을 참조하십시오.