필수 범위

수학, 특히 측정 이론에서 함수의 본질적 범위는 직관적으로 함수의 '불가결' 범위다.그것은 거의 모든 곳에서 동일한 두 기능 사이에서 변하지 않는다.함수의 본질적 범위에 대한 한 가지 사고방식은 함수의 범위가 가장 '집중'되는 설정이다.필수 범위는 측정 가능한 실제 또는 복잡한 측정 공간 함수에 대해 정의할 수 있다.

형식 정의

f는 측정 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle A\mathfrak{}}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (X,{\mathfrak{A},\mu$)에 정의된 보렐 측정 가능한 복합 값 함수가 되도록 하라$.$그런 다음 f의 필수 범위는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \ess.im}(f)=\left\{z\in \mathb {C}\mid {\\\text{all}\\\varepsilon >0:\mu(\x: f(x)-z <\varepsilon \}\right\}}}}$

즉, 다음과 같다.복합값 함수의 필수 범위는 f 이하 z의 각 each근위의 역영상이 양의 측도를 갖도록 모든 복합수 z의 집합이다.

특성.

• 측정 가능한 함수의 필수 범위는 항상 닫혀 있다.
• 측정 가능한 함수의 필수 범위인 ess.im(f)은 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{항상}}}$im ${\displaystyle \stackrel{}{((f}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$의$${\$displaystyle${\$overline {\$displayname {\$putname {im}(f)}}$의 하위 집합이다$.$
• $기본{\displaystyle }$ 이미지는 거의 모든 곳에서 동일한 기능을 구분하는 데 사용할 수 없음: ${\displaystyle f}$= g ${\displaystyle f=g}$이(가) $\mu s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$mu }$ -mu$$${\displaystyle }$} ${\displaystyle \mathrm{-m}}$을(가${\displaystyle )}$ 어디에나 가지고 있으면 $e{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{s}.}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}(f}$ $\displaystystyledename$ {$ess.im$
• 이 두 가지 사실은 본질적인 이미지를 특징짓는다.im${\displaystyle \mathrm{equal}}$( g${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {im}(g)}$의 닫힘에 포함된 가장 큰 집합으로, a. 예:f와 같다.

${\$$}}}{{\overline {\cHBname {im}(g$

• 필수 범위는 $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$: f${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{s}}$. i ${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$μ${\displaystyle \mu }$ ( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$\$for A\subseteq$ X$:f(A)\cap$\cap $\ess.im}(f)=\empt \mu \mu$ (A$)=0$
• 이러한 사실은 필수적인 이미지를 특징으로 한다.이 속성이 있는$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$중 가장 작은 닫힌 부분 집합이다.
• 실제 가치 있는 기능의 본질적 우월성은 그 본질적 이미지의 우월성과 같고, 본질적 최소치는 그 본질적 범위의 최소치와 같다.따라서 함수의 본질적 범위가 한정된 경우에만 함수의 경계는 본질적으로 한정된다.
• 본질적으로 경계된 함수 f의 필수 범위는 스펙트럼 $\sigma {\displaystyle }$(${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \sigma (f)}$과 같으며 여기서$$ f는 C*-알지브라 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle L^{\inft }(\mu )$의 요소로 간주된다$.$

예

• $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 영점 측정이라면$$ 모든 측정 가능한 함수의 기본 이미지는 비어 있는 것이다.
• 이것은 함수의 본질적 범위가 해당 함수의 범위 폐쇄의 부분집합이지만, 두 집합의 동일성이 유지될 필요는 없다는 것을 보여준다.
• If ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ is open, ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ continuous and ${\displaystyle \mu }$ the Lebesgue measure, then ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)={\overline {\operatorname {im} (f)}}}$ holds.이는 비어 있지 않은 모든 오픈 세트에 0이 아닌 측정을 할당하는 모든 보렐 측정에 대해 보다 일반적으로 적용된다.

확장

필수 범위의 개념은 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$의 경우로 확장될 수 있다$.$ 여기서 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은 분리 가능한 메트릭 공간이다$$.If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are differentiable manifolds of the same dimension, if ${\displaystyle f\in VMO(X,Y)}$ and if ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)\neq Y}$, then ${\displaystyle \deg f=0}$.^[1]

참고 항목

• 필수우월성과 필수최소성
• 치수를 재다
• 엘^p 스페이스

참조

• Walter Rudin (1974). Real and Complex Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.