에고로프의 정리
Egorov's theorem수학의 영역인 측정 이론에서 에고로프의 정리는 측정 가능한 함수의 점적 수렴 순서의 균일한 수렴에 대한 조건을 확립한다.이탈리아의 수학자인 카를로 세베리니와 1910년과 1911년에 각각 독자적인 증거를 발표한 러시아의 물리학자·지계계계인 드미트리 에고로프의 이름을 따서 세베리니-에고로프 정리 또는 세베리니-에고로프 정리라고도 명명되었다.
에고로프의 정리는 통합 기능에 대한 루신의 정리를 증명하기 위해 압축적으로 지원되는 연속 기능과 함께 사용될 수 있다.
역사 노트
정리의 첫 번째 증거는 1910년 카를로 세베리니에 의해 제시되었는데,[1][2] 그는 그 결과를 일련의 직교 기능에 대한 연구에 도구로 사용했다.그의 작품은 이탈리아어로 쓰여져 있고, 확산이 제한적인 과학 저널에 등장하여 다른 이론들을 얻기 위한 수단으로만 여겨졌던 탓인지 이탈리아 밖에서는 분명히 눈에 띄지 않는 채로 남아 있었다.1년 후 드미트리 에고로프는 독자적으로 증명된 결과를 발표했고,[3] 그 정리는 그의 이름으로 널리 알려지게 되었다:그러나 세베리니-에고로프 정리로서 이 정리에 대한 참조를 찾는 것은 드문 일이 아니다.첫번째 수학자가 그 요즘 흔한 추상적인 조치 공간이었다 Frigyes 리스(1922년, 1928년)설정하고, Wacław Sierpiński(1928년)에서:니콜라이 Luzin, 약간 poin의 통합의 도메인의 측정 유한함의 요구 조건을 편안하게 하는 데 성공되고 있기 때문이라는 이전의 일반화[4]독립적으로 정리 증명할.tw풍부한 종이에 수렴 기능을 발휘한다(Luzin 1916).[5]훨씬 후에 파벨 코로프킨, 논문 (코로프킨 1947), 논문 (모코보츠키 1970)에서 가브리엘 모코보츠키에 의해 추가 일반화가 주어졌다.
형식적 진술 및 증거
성명서
(fn) M 값 측정 가능한 함수의 시퀀스가 되게 하고, 여기서 M은 일부 측정 공간(X,RCM, μ)에 대해 측정 가능한 부분 집합 A ⊆ X가 있다고 가정하고, (fn)가 A의 거의 모든 μ-alm을 한계 함수 f로 수렴하는 등 유한한 μ-measurement가 있다고 가정한다.다음 결과는 다음과 같다: μ > 0마다 μ(B) < ε, 그리고 (fn) A \ B에서 f로 균일하게 수렴하는 측정 가능한 부분집합 B가 존재한다.
여기서 μ(B)는 B의 μ 측정값을 나타낸다.다시 말해, 정리는 A의 거의 모든 곳에서 점적 융합은 임의의 작은 척도의 일부 부분집합 B를 제외한 모든 곳에서 명백하게 훨씬 더 강한 균일한 수렴을 의미한다고 말한다.이러한 형태의 수렴은 거의 균일한 수렴이라고도 불린다.
가정 및 counterexample에 대한 논의
- 가설 μ(A) < ∞이 필요하다.이를 보려면 μ가 Lebesgue 측정값일 때 counterexample을 구성하는 것이 간단하다: 실제 값 표시기 함수의 순서를 고려하십시오.
- 실제 라인에 정의된이 시퀀스는 모든 곳에서 점으로 수렴되지만 유한 측정의 모든 세트 B에 대해 ∖ 에 균일하게 수렴되지 않음: 일반 n차원 리얼 벡터 공간 }{n}{nn}}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}을 구성할 수 있다.Cafiero(1959, 페이지 302).
- 미터법 공간의 분리성은 M 값, 측정 가능한 함수 f와 g의 경우 거리 d(f(x), g(x)가 다시 측정 가능한 실제 값 함수 x가 되도록 하기 위해 필요하다.
증명
> 수정 자연수 n과 k의 경우 조합에 의해 집합 E를n,k 정의한다.
이러한 집합은 n이 증가함에 따라 작아지는데, 이는 첫 번째 조합이 더 적은 집합을 포함하기 때문에 E가n+1,k 항상 E의n,k 하위 집합이라는 것을 의미한다.시퀀스m(fm(x)가 f(x)로 수렴되는 점 x는 고정 k의 모든 E에n,k 있을 수 없으며, f(x)는 결국 1/k보다 f(x)에 더 가까이 있어야 하기 때문이다.따라서 A에 대한 점적 정합성이 거의 모든 곳에서 μ-alm의 가정으로,
어느 모로 보나A는 유한한 측정이므로 위에서부터 연속성을 가진다. 따라서 각 k에는 다음과 같은 자연수 n이k 존재한다.
이 집합의 x에 대해 우리는 f(x)의 1/k 근방에 접근하는 속도가 너무 느리다고 생각한다.정의
이 모든 점들의 집합이 A에 x인 것처럼, f(x)의 1/k 근거리 중 적어도 하나에 접근하는 속도가 너무 느리다.따라서 설정 차이 A \ B에 대해 우리는 균일한 수렴을 가진다.
시그마 μ의 가성을 어필하고 기하학적 시리즈를 사용하여
일반화
루진 버전
세베리니-에고로프 정리에 대한 니콜라이 루진의 일반화는 여기에 삭스(1937, 페이지 19)에 따라 제시된다.
성명서
추상Severini–Egorov 정리의 같은 가설에 따라 유한 μ-measure의 측정 가능한 세트의 시퀀스의 A입니다, 그리고 어느 정도 공간(X,Σ,μ)에M-valued 측정 가능한 기능의(2)지정된 시퀀스 suppose은(2)μ-almost 어디에나는 극한 함수 f, thenA노조로써 표현할 수 있기에 전진.of μ(H) = 0 및2 (fn)가 각 집합 A에서k 균일하게 f로 수렴되도록 측정 가능한 집합의 순서가 H, A, A1...로 설정된다.
증명
세트 A 자체가 유한한 μ-측정인 경우를 고려해도 충분하다: 이 가설과 표준 세베리니-에고로프 정리를 이용하면 다음과 같은 세트 {Ak}k=1,2,...의 순서를 수학 유도로 정의할 수 있다.
그리고 (fn) 각 k에 대해 각 세트 A에서k 균일하게 f로 수렴한다.선택
그러면 분명히 μ(H) = 0이고 정리가 증명된다.
코로프킨 버전
코로프킨 버전의 증거는 카라지슈빌리(2000, 페이지 183–184)에 관한 버전과 밀접하게 따르며, 그러나 조건 1과 조건 2에서 각각 비부정 조치와 불평등 of}, 대신 허용 가능한 기능을 고려함으로써 어느 정도 일반화한다.
성명서
Let (M,d)는 분리 가능한 메트릭 공간을 나타내며 (X,RCM) 측정 가능한 공간: 측정 가능한 집합 A와 A를 포함하는 클래스 와 그 측정 가능한 하위 집합이 동일한 클래스에 속하도록 고려하십시오.음이 아닌 측정 μ가 존재한다고 가정하고 μ(A)가 존재하며
- if with for all n
- if with .
(fn)가 A의 거의 모든 곳에서 함수 f로 수렴하는 M 값 측정 가능한 함수의 시퀀스라면, 0 < μ(A) - μ(A) > < μs>와 같은 A의 부분 집합 A a가 존재하며, 수렴도 균일하다.
증명
인덱스 세트가 과 같이 정의된 자연수 N, 집합인 집합의 인덱스 패밀리를 고려하십시오.
분명히
그리고
따라서 다음과 같은0,m0 관계를0 갖는 자연수 m이0 있다.
A를0 사용하여 다음과 같은 인덱스 패밀리를 정의할 수 있다.
이전에 발견된 것과 유사한 다음의 두 관계를 만족시키는 것, 즉.
그리고
이 사실은 우리가1,m1 A=A를1 정의할 수 있게 해주는데 여기서 m은 확실히1 존재하는 자연수로서 다음과 같은 것이다.
표시된 구성을 반복함으로써 다음과 같은 속성을 가지도록n 집합 {A}의 다른 인덱스 패밀리를 정의한다.
- ) - m) - (A m ) {m} } N m\
- for each there exists km such that for all then for all
그리고 마침내 퍼팅
그 논문은 쉽게 증명된다.
메모들
- ^ (Seberini 1910)에 출판되었다.
- ^ 스트라네오(1952년, 페이지 101년)에 따르면, 세베리니는 결과 발표에서 자신의 우선 순위를 인정하면서도 공개하기를 꺼렸다. 즉, 노트(Tonelli 1924년)에서 처음으로 자신에게 우선권을 부여한 사람은 레오니다 토넬리였다.
- ^ 노트(Egoroff 1911)에서
- ^ 카피에로(1959, 페이지 315)와 삭스(1937, 페이지 17)에 따르면 다음과 같다.
- ^ 삭스(1937, 페이지 19)에 따르면.
참조
과거 참조
- 갈리카에서 구할 수 있다Egoroff, D. Th. (1911), "Sur les suites des fonctions mesurables" [On sequences of measurable functions], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (in French), 152: 244–246, JFM 42.0423.01.
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- Riesz, F. (1928), "Elementarer Beweis des Egoroffschen Satzes" [Elementary proof of Egorov's theorem], Monatshefte für Mathematik und Physik (in German), 35 (1): 243–248, doi:10.1007/BF01707444, JFM 54.0271.04, S2CID 121337393.
- Severini, C. (1910), "Sulle successioni di funzioni ortogonali" [On sequences of orthogonal functions], Atti dell'Accademia Gioenia, serie 5a (in Italian), 3 (5): Memoria XIII, 1−7, JFM 41.0475.04. 카타니아에 있는 아카드미아 조에니아에 의해 출판되었다.
- Sierpiński, W. (1928), "Remarque sur le théorème de M. Egoroff" [Remarks on Egorov's theorem], Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie (in French), 21: 84–87, JFM 57.1391.03.
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- Tonelli, Leonida (1924), "Su una proposizione fondamentale dell'analisi" [Ona fundamental proposition of analysis], Bollettino della Unione Matematica Italiana, Serie 2 (in Italian), 3: 103–104, JFM 50.0192.01. 세베리니-에고로프 정리의 첫 번째 증거로 레오니다 토넬리가 세베리니에게 크레딧을 주는 짧은 쪽지.
과학적 참고자료
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{{citation}}
: (도움말)의 외부 링크(폴란드 가상 과학 도서관에서 사용 가능).
외부 링크
- 플래닛매스에서의 에고로프의 정리.
- Humpreys, Alexis. "Egorov's theorem". MathWorld.
- Kudryavtsev, L.D. (2001) [1994], "Egorov theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press