정기척도

Regular measure

수학에서 위상학적 공간에 대한 정기적인 측정은 모든 측정 가능한 세트를 개방형 측정 가능한 세트와 소형 측정 가능한 세트로 위로부터 근사하게 추정할 수 있는 측정값이다.

정의

렛 (X, T)은 위상학적 공간이고 σ은 X에 σ-알지브라(Algebra)가 되게 한다.μ를 (X, σ)에 측정한다.X의 측정 가능한 부분집합 A는 다음과 같은 경우 내측 정규라고 한다.

그리고 만약 그렇다면 바깥쪽은 규칙적이라고 말했다.

  • 측정할 수 있는 모든 집합이 내측 정규 집합이면 내측 정규 분포를 내측 정규 분량이라고 한다.일부 저자들은 다른 정의를 사용한다: 모든 공개 측정 가능한 집합이 내측 정규 집합이면 내측 정규 집합이라고 불린다.
  • 측정 가능한 모든 집합이 외부 정규일 경우 측정값을 외부 정규값이라고 한다.
  • 외측 정칙이고 내측 정칙이면 정칙이라고 한다.

예

정기적 조치

외부 정규 분포를 따르지 않는 내부 정규 분량

  • An example of a measure on the real line with its usual topology that is not outer regular is the measure μ where , , and for any other set .
  • 보렐에 할당하는 평면의 보렐 측정은 수평 부분의 (1차원) 측정의 합이 내부 정규이지만 모든 비 빈 오픈 세트는 무한 측정값을 가지기 때문에 외부 정규가 아니다.이 사례의 변형은 르베그 조치와 함께 실선의 셀 수 없는 수의 복사본이 분리되는 결합이다.
  • 보렐은 내부 정규, σ-핀라이트, 국소적으로 유한하지만 외부 정규가 아닌 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간에서 μ를 측정하는 예는 부르바키(2004년, 섹션 1의 연습 5) (가 다음과 같이 제시한다.위상 공간 X는 점의 Y 축(0,y)에 의해 주어진 실제 평면의 부분 집합과 m,n 양의 정수를 가진 점(1/n,m/n2)을 기초적으로 설정한다.위상은 다음과 같이 주어진다.단일점(1/n,m/n2)은 모두 오픈 세트다.점의 주변(0,y)의 베이스는 양의 정수 n에 대해 v - y u u ≤ 1/n로 형태(u,v)의 X의 모든 점으로 구성된 웨지에 의해 주어진다.이 공간 X는 국소적으로 좁다.측정 μ는 y축에 측정값 0을 부여하고, 점(1/n,m2/n)에 측정값3 1/n을 부여한다.이 측정은 내측 정규 및 국부적으로 유한하지만 Y축을 포함하는 모든 오픈 세트가 무한을 측정하므로 외측 정규가 아니다.

내부 정규 분포를 따르지 않는 외부 정규 분량

  • 앞선 예에서 만약 μ은 내부 규칙적인 척도이고 M이번 조치의 내용을 M(S)에 의해)infU⊇S μ(U)이 inf, 내면의 강한 감각이 일정치 않다 국내 컴팩트 하우스 도르프 공간에 M고 있는 외부 일반 지역적으로 유한 보렐, 모든 오픈 세트 내부다 r는 보렐 S을 수립하는 모든 오픈 세트가 포함되여 져 있egu그래서 약한 의미에서 그것은 내적인 규칙적이다.측정 M과 μ는 모든 오픈 세트, 모든 콤팩트 세트 및 M이 유한한 모든 세트에서 일치한다.Y축은 모든 콤팩트 서브셋이 측정치 0이기는 하지만 무한 M-측정값을 가진다.
  • 이산형 위상이 있는 측정 가능한 추기경은 보렐 확률 측정치를 가지고 있어 모든 소형 부분집합에는 측정치가 0이므로 이 측정치는 외측 정규이지만 내측 정규 분포는 아니다.측정 가능한 추기경의 존재는 ZF 세트 이론에서는 증명할 수 없지만 (2013년 현재) 그것과 일치한다고 생각된다.

내측 또는 외측 정규 분포를 따르지 않는 측정

  • 개방된 간격으로 생성되는 위상과 함께 첫 번째 비할 수 없는 서수 Ω과 가장 동일한 모든 서수의 공간은 콤팩트한 하우스도르프 공간이다.계량 1을 카운트 가능한 서수의 무한 닫힌 부분 집합을 포함하는 보렐 집합에 할당하고 0을 다른 보렐 집합에 할당하는 측정치는 내부 정규도 외부 정규도 아닌 보렐 확률 측정이다.

참고 항목

참조

  • Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
  • Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR2169627(2장 참조)
  • Dudley, R. M. (1989). Real Analysis and Probability. Chapman & Hall.