마운트할 수 없는 집합

수학에서, 셀 수 없는 집합(또는 셀 수 없는 무한 집합)^[1]은 셀 수 없는 너무 많은 요소를 포함하는 무한 집합이다. 집합의 계산 불가능은 기본 번호와 밀접하게 관련되어 있다. 집합의 기본 번호가 모든 자연 숫자 집합의 숫자보다 클 경우 집합은 계산할 수 없다.

특성화

헤아릴 수 없는 많은 동등한 특성들이 있다. 다음 조건 중 하나라도 유지되는 경우에만 X 세트를 마운트할 수 있다.

• X부터 자연수 집합까지의 주입 함수(결함 없음)는 없다.
• X는 비어 있지 않고 X 원소의 모든 Ω 시퀀스에 대해 X 원소에는 포함되지 않은 X 원소가 하나 이상 존재한다. 즉, X는 비어 있지 않고 자연수에서 X에 이르는 굴절 기능이 없다.
• X의 카디널리티는 유한하지도 않고 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$aleph-null, 자연수의 카디널리티).
• X 세트는 카디널리티가 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$보다 엄격히 크다$.$

이러한 특성화 중 처음 세 가지는 선택의 공리 없이 제르멜로-프렌켈 집합 이론에서 동등하게 증명될 수 있지만, 세 번째와 네 번째의 등가성은 추가적인 선택 원칙 없이는 증명될 수 없다.

특성.

• 탑재할 수 없는 집합 X가 세트 Y의 하위 집합인 경우, Y는 탑재할 수 없다.

예

마운트할 수 없는 집합의 가장 잘 알려진 예는 모든 실제 숫자의 집합 R이다. 캔터의 대각선 주장은 이 집합이 마운트할 수 없다는 것을 보여준다. 대각화 증명 기법은 또한 자연수의 모든 무한 시퀀스 집합과 자연수 집합의 모든 하위 집합 집합 집합과 같이 몇 개의 다른 집합은 계산할 수 없다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다. R의 카디널리티는 흔히 연속체의 카디널리티라고 불리며$,$^[2] $c{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ $또는{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\aleph {\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\$ 또는 $\beth {\displaystyle {}_{}}$ ${\$ \{$1}($beth-one)$$로 표시된다.

칸토어 세트는 불가분 R의 부분집합이다. 칸토어 세트는 프랙탈이고 하우스도르프 치수는 0보다 크지만 1보다 작다(R은 치수 1을 가지고 있다). 이것은 다음의 사실의 예로서, 하우스도르프 치수의 R 부분집합은 엄밀히 말하면 0보다 클 수 있어야 한다.

탑재할 수 없는 집합의 또 다른 예는 R에서 R까지의 모든 기능의 집합이다. 이 세트는 이 세트의 카디널리티가 $\beth {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ \$beth _{$2}}(beth-2)이며, ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle \beth _{1}$보다 크다는 점에서 R보다 "산지 못할" 정도다$.$

더 추상적인 세트의 예는 Ω 또는 Ω으로₁ 표시된 모든 카운트 가능한 서수 번호의 집합이다.^[1] Ω의 카디널리티는 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$aleph-one)$$로 표시된다. $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}은$($는) 셀 수 없는 가장 작은 기수라는 것을 선택 공리를 사용하여 나타낼 수 있다. 따라서 실재의 카디널리티인$$$\beth {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}가$$}} ${\$}와 같거나$$ 완전히 더 크다. 게오르크 칸토르는 $\beth {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가$$$\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$와 동일한지 여부를 처음으로 질문했다$.$100년에 데이비드 힐버트는 이 질문을 자신의 23가지 문제 중 첫 번째 문제로 내세웠다. $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}}라는 말은 현재 연속 가설이라고 불리며$$, 세트 이론(선택의 공리 포함)에 대한 제르멜로-프렌켈 공리와는 무관한 것으로 알려져 있다.

선택의 공리 없이

선택의 공리가 없다면 $cardinal{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이름, 데데킨드-핀라이트 무한 집합의 추기경)과 비교할 수 없는 추기경이 존재할 수 있다. 이러한 일련의 추기경들은 위의 세 가지 특성을 만족시키지만 네 번째 특성화는 만족시키지 못한다. 이러한 집합은 카디널리티의 의미에서 자연수보다 크지 않기 때문에, 일부는 그것들을 셀 수 없는 것이라고 부르고 싶어하지 않을 수도 있다.

선택 공리가 유지되는 경우 추기경 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$에 대한 다음 조건은 동일하다$$.

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0};}$
• > ; ${\displaystyle \kappa >\aleph _{0};}$ 및
• ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\$$displaystyle$ $\kappa \geq \aleph_{1$},$$여기서 ${\displaystyle {where\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1 $displaystyle \aleph_{1$}=$\$${$1} 및 Ω 1 {\$displaystyle$$$$\omega_{$$1$}는$$ $\Omega$보다 작은 초기 서수이다${\displaystyle .}$

그러나 선택의 공리가 실패하면 이 모든 것은 달라질 수 있다. 따라서 공리가 실패했을 때 어느 것이 "불가산성"의 적절한 일반화인지 분명하지 않다. 이 경우에는 그 단어를 사용하지 않고 이 단어 중 어느 것을 의미하는지 명시하는 것이 가장 좋을 수 있다.

참고 항목

• 알레프 수
• 베스 수
• 첫 번째 계산할 수 없는 서수
• 주입 함수

참조

참고 문헌 목록

• 할모스, 폴, 순진한 집합론. 프린스턴, NJ: D. 밴 노스트랜드 컴퍼니, 1960년 1974년 뉴욕의 Springer-Verlag에 의해 재인쇄되었다. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag 에디션). 2011년 마르티노 파인 북스가 다시 인쇄했다. ISBN 978-1-61427-131-4(Paperback Edition).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2

외부 링크

• R을 계산할 수 없다는 증거