일반 상대성에서의 전자기학
물리학 에서 커브드 스페이스타임의 맥스웰 방정식 은 커브 스페이스타임(측정 이 민코프스키 측정 이 아닐 수도 있는 경우)의 전자기장 의 역학을 지배하거나 임의(필수적으로 카르테시안 은 아님) 좌표계를 사용하는 경우에 지배한다. 이러한 방정식은 보통 평탄한 스페이스타임 의 국부좌표 에서 공식화 된 진공 맥스웰 방정식의 일반화로 볼 수 있다. 그러나 일반 상대성 이론은 전자기장(또는 일반적으로 에너지 /물질 )의 존재는 공간시간의 곡률을 유발한다고 지시하기 때문에,[1]
벌크 물질이 존재하는 곳에서 작업할 때, 자유 전하와 결합 전하를 구별하는 것이 분석을 용이하게 할 수 있다. 구분이 되면 거시적인 맥스웰 방정식이라고 한다. 이러한 구별이 없다면, 그것들은 때때로 대조를 위한 "마이크로시픽" 맥스웰의 방정식이라고 불린다.
전자기장은 좌표 독립적인 기하학적 설명을 인정하며, 이러한 기하학적 물체의 관점에서 표현된 맥스웰의 방정식은 어떤 틈새에서도, 커브든, 그렇지 않든 동일하다. 또한 직선화되지 않은 국부좌표를 사용할 때도 평평한 민코우스키 공간의 방정식을 동일하게 수정한다. 예를 들어, 이 글의 방정식은 맥스웰의 방정식을 구면 좌표 로 쓰는 데 사용될 수 있다. 이러한 이유 때문에 민코프스키 공간에 있는 맥스웰의 방정식을 일반 제형의 특수한 사례 로 생각하면 유용할 수 있다.
요약 일반상대성이론 에서 측정지표 텐서 g α β {\ displaystyle g_{\alpha \beta }}}} 계측 텐서 예시 처럼α β {\ displaystyle \eta _{\alpha \beta }}}}}).
F α β = ∂ α A β − ∂ β A α D μ ν = 1 μ 0 g μ α F α β g β ν − g c J μ = ∂ ν D μ ν f μ = F μ ν J ν {\displaystyle {\reasoned} F_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }A_{\beta }\,-\,\partial _{\beta }A_{\alpha }\\{\mathcal {D}}^{\mu \nu }&={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[2pt] J^{\mu }&=\partial _{\nu }}{\mathcal{D}^{\mu \nu }\\[2pt]f_{\mu \nu }\,J^{\nu }\ended}}}}}}}}}} 여기서 f μ {\ displaystyle f_{\mu }} 로렌츠 힘 의 밀도이고, g α β α β {\ displaystyle g_ {\alpha \beta }}}}} ) 미터법 텐서의 결정 요인이다. Notice that A α {\displaystyle A_{\alpha }} F α β {\displaystyle F_{\alpha \beta }} D μ ν {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }} J ν {\displaystyle J^{\nu }} f μ {\displaystyle f_{\mu }} tensor densities of weight +1. 부분파생상품 을 사용함에도 불구하고, 이러한 방정식은 임의의 곡선 좌표 변환에서 불변한다. 따라서 부분파생상품을 공변량파생상품 으로 대체한다면, 이에 따라 추가적으로 도입된 조건은 취소될 것이다(cf). 매니페스트 공분산 예제
전자파 전위 전자파 전위는 공변 벡터, 전자석의 미정의 원시인 A 이다α . 공변량 벡터로서 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환하는 규칙은 다음과 같다.
A ¯ β ( x ¯ ) = ∂ x γ ∂ x ¯ β A γ ( x ) . {\displaystyle {\bar{A}_{\bar {x}}={\frac {\partial x^{\gamma}}{\bar}^{\bar}}}A_{\gamma }(x)\, } 전자기장 전자기장 은 도 2의 공변 대칭 텐서 로서 전자파 전위의 관점에서 다음과 같이 정의할 수 있다.
F α β = ∂ α A β − ∂ β A α . {\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }}}} 이 방정식이 불변임을 확인하기 위해 좌표를 변환한다(텐더의 고전적 처리에서 설명한 대로).
F ¯ α β = ∂ A ¯ β ∂ x ¯ α − ∂ A ¯ α ∂ x ¯ β = ∂ ∂ x ¯ α ( ∂ x γ ∂ x ¯ β A γ ) − ∂ ∂ x ¯ β ( ∂ x δ ∂ x ¯ α A δ ) = ∂ 2 x γ ∂ x ¯ α ∂ x ¯ β A γ + ∂ x γ ∂ x ¯ β ∂ A γ ∂ x ¯ α − ∂ 2 x δ ∂ x ¯ β ∂ x ¯ α A δ − ∂ x δ ∂ x ¯ α ∂ A δ ∂ x ¯ β = ∂ x γ ∂ x ¯ β ∂ x δ ∂ x ¯ α ∂ A γ ∂ x δ − ∂ x δ ∂ x ¯ α ∂ x γ ∂ x ¯ β ∂ A δ ∂ x γ = ∂ x δ ∂ x ¯ α ∂ x γ ∂ x ¯ β ( ∂ A γ ∂ x δ − ∂ A δ ∂ x γ ) = ∂ x δ ∂ x ¯ α ∂ x γ ∂ x ¯ β F δ γ {\displaystyle{\begin{정렬}{\bar{F}}_{\alpha \beta}&, ={\frac{\partial{\bar{A}}_{\beta}}{\partial{\bar{)}}^{\alpha}}}-{\frac{\partial{\bar{A}}_{\alpha}}{\partial{\bar{)}}^{\beta}}}\\[6pt]&, ={\frac{\partial}{\partial{\bar{)}}^{\alpha}}}\left({\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial{\bar{x}}^{\beta}}}A_{\gamma}\right)-.{\frac{ \partial }{\partial }{\bar {x}^{\beta }}}\왼쪽({\frac {\partial x^{\delta }}}}{\partial {x}^{\alpha }}A_{\delta }\right)\\\ \[6pt]&, ={\frac{\partial ^{2}x^{\gamma}}{\partial{\bar{)}}^{\alpha}\partial{\bar{)}}^{\beta}}}A_{\gamma}+{\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial{\bar{)}}^{\beta}}}{\frac{\partial A_{\gamma}}{\partial{\bar{)}}^{\alpha}}}-{\frac{\partial ^{2}x^{\delta}}{\partial{\bar{)}}^{\beta}\partial{\bar{)}}^{\alpha}}}A_{\delta}-{\frac.{\p Artial x^{\delta}}{\partial{\bar{)}}^{\alpha}}}{\frac{\partial A_{\delta}}{\partial{\bar{)}}^{\beta}}}\\[6pt]&, ={\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial{\bar{)}}^{\beta}}}{\frac{\partial x^{\delta}}{\partial{\bar{)}}^{\alpha}}}{\frac{\partial A_{\gamma}}{\partial x^{\delta}}}-{\frac{\partial x^{\delta}}{\partial{\bar{)}}^{년.alph A-RCB-}}{\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial{\bar{)}}^{\beta}}}{\frac{\partial A_{\delta}}{\partial x^{\gamma}}}\\[6pt]&, ={\frac{\partial x^{\delta}}{\partial{\bar{)}}^{\alpha}}}{\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial{\bar{)}}^{\beta}}}\left({\frac{\partial A_{\gamma}}{\partial x^{\delta}}}-{\frac{\partial A_{\delta}}{\partial x라^{\g 암마 }}\오른쪽)\ \[6pt]&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {x}^{\lapa }}{\partial x^{\gamma }}}{\partial x^{\bar}}{partial {x}^{\delta \deged}}}}}}}}}} 이 정의는 전자기장이
∂ λ F μ ν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ = 0 , {\displaystyle \lambda }F_{\mu \nu \nu \lambda }+\partial _{\nu \lambda \mu }=0,} 패러데이의 유도 의 법칙과 가우스의 자성 의 법칙을 통합한 것이다. 이것은 에 의해 보여진다.
∂ λ F μ ν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ = ∂ λ ∂ μ A ν − ∂ λ ∂ ν A μ + ∂ μ ∂ ν A λ − ∂ μ ∂ λ A ν + ∂ ν ∂ λ A μ − ∂ ν ∂ μ A λ = 0. {\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{ \nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }=0. } 패러데이-가우스에는 64개의 방정식이 있는 것처럼 보이지만 실제로는 4개의 독립 방정식으로 축소된다. 전자기장의 비대칭성을 사용하면 λ , μ , μ, ν 이 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 0 또는 0, 1, 2, 2인 것을 제외한 모든 방정식을 중복으로 만들 수 있다.
패러데이-가우스 방정식은 때때로 쓰여진다.
F [ μ ν ; λ ] = F [ μ ν , λ ] = 1 6 ( ∂ λ F μ ν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ − ∂ λ F ν μ − ∂ μ F λ ν − ∂ ν F μ λ ) = 1 3 ( ∂ λ F μ ν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ ) = 0 , {\displaystyle F_{[\mu \nu ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda }\right)={\frac {1}{3}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }\오른쪽)=0,} 여기서 세미콜론은 공변량 파생물을 나타내며, 쉼표는 부분적 파생물을 나타내며, 대괄호는 반대칭성을 나타낸다(표기는 Ricci 미적분 참조). 전자기장의 공변량 파생상품은
F α β ; γ = F α β , γ − Γ μ α γ F μ β − Γ μ β γ F α μ , {\displaystyle F_{\alpha \beta ;\gamma }=F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu },} 여기서 γ은α βγ Christoffel 기호 로, 낮은 지수에서 대칭이다.
전자기 변위 전기 변위장 D 와 보조 자기장 H 는 대칭 대칭 반선비례제를 형성하며 무게 +1의 텐서 밀도 2위를 차지한다. 진공상태에서 이것은 에 의해 주어진다.
D μ ν = 1 μ 0 g μ α F α β g β ν − g c . {\displaystyle {\mathcal {D}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}\,g^{\mu \alpha \beta \}\,g^{\sqrt-},},},}. } 이 방정식은 미터법(따라서 중력)이 전자기 이론에 들어가는 유일한 곳이다. 더욱이, 척도 변화하에서는 방정식이 불변한다. 즉, 계량계에 상수를 곱하는 것은 이 방정식에 아무런 영향을 미치지 않는다. 따라서 중력은 사용 중인 지구 좌표계에 상대적인 빛의 속도 를 변화시킴으로써만 전자성에 영향을 미칠 수 있다. 빛은 거대한 몸체에 가까울 때 더 느리기 때문에 중력에 의해서만 비껴진다. 그래서 그것은 마치 중력이 거대한 신체 근처에 있는 공간의 굴절 지수를 증가시킨 것과 같다.
보다 일반적으로 자화-극화 텐서가 0이 아닌 물질에서는
D μ ν = 1 μ 0 g μ α F α β g β ν − g c − M μ ν . {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\,-\,{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,. } 전자파 변위에 대한 변환 법칙은
D ¯ μ ν = ∂ x ¯ μ ∂ x α ∂ x ¯ ν ∂ x β D α β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] {\displaystyle {\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\,} 자코비안 결정요소 가 사용되는 곳에 자화-극화 텐서를 사용하면 전자파 변위와 동일한 변환 법칙을 갖는다.
전류 전류는 전자기 변위의 발산이다. 진공상태에서,
J μ = ∂ ν D μ ν . {\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal{D}^{\mu \nu }}} 만약 자화-극화를 사용한다면, 이것은 단지 전류의 자유로운 부분을 제공한다.
J 무료의 μ = ∂ ν D μ ν . {\displaystyle J_{\text{free}^{\mu}=\partial _{\nu}{\mathcal{D}^{\mu \nu}}}} 이것은 암페어의 법칙 과 가우스의 법칙 을 통합한다.
어느 경우든 전자기 변위가 대칭성이라는 사실은 전류가 자동으로 보존된다는 것을 의미한다.
∂ μ J μ = ∂ μ ∂ ν D μ ν = 0 , {\displaystyle \partial _{\mu }^{\j^{\mu }=\partial _{\mu }}{\mathcal {D}^{\mu \nu }=0,} 왜냐하면 부분파생상품 은 통근하기 때문이다.
전류에 대한 암페어-가우스 정의는 (결국 그것이 파생된) 전자기 전위가 값을 부여받지 못했기 때문에 그 값을 결정하기에 충분하지 않다. 그 대신, 일반적인 절차는 전류를 주로 전자와 양성자 등 다른 장에 있어서 어떤 표현과 동일시하고, 그 다음에 전자기 변위, 전자기장, 전자기 전위 등을 해결하는 것이다.
전류가 역방향 벡터 밀도로서, 다음과 같이 변한다.
J ¯ μ = ∂ x ¯ μ ∂ x α J α 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] . {\displaystyle {\bar {J}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]. } 이 변환법 검증
J ¯ μ = ∂ ∂ x ¯ ν ( D ¯ μ ν ) = ∂ ∂ x ¯ ν ( ∂ x ¯ μ ∂ x α ∂ x ¯ ν ∂ x β D α β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] ) = ∂ 2 x ¯ μ ∂ x ¯ ν ∂ x α ∂ x ¯ ν ∂ x β D α β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] + ∂ x ¯ μ ∂ x α ∂ 2 x ¯ ν ∂ x ¯ ν ∂ x β D α β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] + ∂ x ¯ μ ∂ x α ∂ x ¯ ν ∂ x β ∂ D α β ∂ x ¯ ν 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] + ∂ x ¯ μ ∂ x α ∂ x ¯ ν ∂ x β D α β ∂ ∂ x ¯ ν 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] = ∂ 2 x ¯ μ ∂ x β ∂ x α D α β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] + ∂ x ¯ μ ∂ x α ∂ 2 x ¯ ν ∂ x ¯ ν ∂ x β D α β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] + ∂ x ¯ μ ∂ x α ∂ D α β ∂ x β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] + ∂ x ¯ μ ∂ x α ∂ x ¯ ν ∂ x β D α β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] ∂ x ¯ ρ ∂ x σ ∂ 2 x σ ∂ x ¯ ν ∂ x ¯ ρ = 0 + ∂ x ¯ μ ∂ x α ∂ 2 x ¯ ν ∂ x ¯ ν ∂ x β D α β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] + ∂ x ¯ μ ∂ x α J α 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] + ∂ x ¯ μ ∂ x α D α β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] ∂ x ¯ ρ ∂ x σ ∂ 2 x σ ∂ x β ∂ x ¯ ρ = ∂ x ¯ μ ∂ x α J α 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] + ∂ x ¯ μ ∂ x α D α β 퇴장시키다 [ ∂ x σ ∂ x ¯ ρ ] ( ∂ 2 x ¯ ν ∂ x ¯ ν ∂ x β + ∂ x ¯ ρ ∂ x σ ∂ 2 x σ ∂ x β ∂ x ¯ ρ ) {\displaystyle {\begin{aigned}{\j}^{\mu}&={\frac {\partial }{\bar}^{x}{\nu}}}\왼쪽({\bar {\mathcal {D}^{D}}^{\mu \nu }\오른쪽)\\\\ \[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\ \[6pt]&, ={\frac{\partial ^{2}{\bar{)}}^{\mu}}{\partial{\bar{)}}^{\nu}\partial x^{\alpha}}}{\frac{\partial{\bar{)}}^{\nu}}{\partial x^{\beta}}}{{D\mathcal}}^{\alpha \beta}\det \left[{\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial{\bar{x}}^{\rho}}}\right]+{\frac{\partial{\bar{)}}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}}}{\frac{\partial ^{2}{\bar. {)}} ^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\ nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\rig 전원시]\\[6pt]&, ={\frac{\partial ^{2}{\bar{)}}^{\mu}}{\partial x^{\beta}\partial x^{\alpha}}}{{D\mathcal}}^{\alpha \beta}\det \left[{\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial{\bar{x}}^{\rho}}}\right]+{\frac{\partial{\bar{)}}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}}}{\frac{\partial ^{2}{\bar{)}}^{\nu}}{\partial{\bar{)}}^{\nu}\partial x^{\beta}}}.{\ma thcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\par Tial x^{\alpha}}}{\frac{\partial{\bar{)}}^{\nu}}{\partial x^{\beta}}}{{D\mathcal}}^{\alpha \beta}\det \left[{\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial{\bar{x}}^{\rho}}}\right]{\frac{\partial{\bar{)}}^{\rho}}{\partial x^{\sigma}}}{\frac{\partial ^{2}x^{\sigma}}{\partial{\bar{)}}^{\nu}\partial{\bar{)}}^{\rho}}}\\[6pt]&, =0+{\fra.c{) partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[ 6pt]&={\frac{\partial{\bar{)}}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}}}J^{\alpha}\det \left[{\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial{\bar{x}}^{\rho}}}\right]+{\frac{\partial{\bar{)}}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}}}{{D\mathcal}}^{\alpha \beta}\det \left[{\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial{\bar{x}}^{\rho}}}\right]\left({\frac{\partial ^{2}{.\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right)\end{aligned}}} 그러니 이제 남은 것은 그 사실을 보여 주는 것뿐이다.
∂ 2 x ¯ ν ∂ x ¯ ν ∂ x β + ∂ x ¯ ρ ∂ x σ ∂ 2 x σ ∂ x β ∂ x ¯ ρ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}=0} (역 함수와 분화 § High 파생상품 참조 )
∂ 2 x ¯ ν ∂ x ¯ ν ∂ x β + ∂ x ¯ ρ ∂ x σ ∂ 2 x σ ∂ x β ∂ x ¯ ρ = ∂ x σ ∂ x ¯ ν ∂ 2 x ¯ ν ∂ x σ ∂ x β + ∂ x ¯ ν ∂ x σ ∂ 2 x σ ∂ x β ∂ x ¯ ν = ∂ x σ ∂ x ¯ ν ∂ 2 x ¯ ν ∂ x β ∂ x σ + ∂ 2 x σ ∂ x β ∂ x ¯ ν ∂ x ¯ ν ∂ x σ = ∂ ∂ x β ( ∂ x σ ∂ x ¯ ν ∂ x ¯ ν ∂ x σ ) = ∂ ∂ x β ( ∂ x ¯ ν ∂ x ¯ ν ) = ∂ ∂ x β ( 4 ) = 0 {\displaystyle{\begin{정렬}&,{\frac{\partial ^{2}{\bar{)}}^{\nu}}{\partial{\bar{)}}^{\nu}\partial x^{\beta}}}+{\frac{\partial{\bar{)}}^{\rho}}{\partial x^{\sigma}}}{\frac{\partial ^{2}x^{\sigma}}{\partial x^{\beta}\partial{\bar{)}}^{\rho}}}\\[6pt]{}={}&,{\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial{\bar{)}}^{\nu}}}{{\p\frac.^artial {2}{\bar{)}}^{\nu}}{\partial x^{\sigma}\partial x^{\beta}}}+{\frac{\partial{\bar{)}}^{\nu}}{\partial x^{\sigma}}}{\frac{\partial ^{2}x^{\sigma}}{\partial x^{\beta}\partial{\bar{)}}^{\nu}}}\\[6pt]{}={}&,{\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial{\bar{)}}^{\nu}}}{\frac{\partial ^{2}{\bar{)}}^{\nu}}{\partial x^{\beta}\partial x^{년.sigm a }}}+{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\ \[6pt]{{}={}&{\frac{\frac{\frac}{\\\frac}}}}}\{\bar{x}^{\bar}}{\bar}}{\bar}^{\x}}}\right)\ \[6pt]{}={}&{\frac {\frac {\fract }{\\properties x^{\properties }}\왼쪽(\mathbf {4}\right)\ \[6pt]{}={}&0\end{aigned}}} 로렌츠 힘 밀도 로렌츠 힘 의 밀도는 다음과 같이 주어진 공변 벡터 밀도다.
f μ = F μ ν J ν . {\displaystyle f_{\mu }=F_{\mu \nu \nu }J^{\nu }} 중력과 전자성의 대상인 시험 입자에 가해지는 힘은
d p α d t = Γ α γ β p β d x γ d t + q F α γ d x γ d t {\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{dt}}=\Gamma _{\alpha \gamma }^{\beta }p_{\beta }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}+qF_{\alpha \gamma }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}} 여기서 p 는α 입자의 선형 4-모멘텀, t 는 입자의 세계선을 매개변수로 하는 임의의 시간 좌표, γ은β αγ 크리스토펠 기호 (중력장)이며, q는 입자의 전하를 말한다.
이 방정식은 시간 좌표의 변화에도 불변하므로 d t / dt '{\ dplaystyle dt/d{\bar{t}} 체인 규칙을 사용 한다. 그것 은 또한 x 좌표계의 변화에도 불변한다.
Christoffel 기호에 변환 법칙 사용
Γ ¯ α γ β = ∂ x ¯ β ∂ x ϵ ∂ x δ ∂ x ¯ α ∂ x ζ ∂ x ¯ γ Γ δ ζ ϵ + ∂ x ¯ β ∂ x η ∂ 2 x η ∂ x ¯ α ∂ x ¯ γ {\displaystyle {\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\epsilon }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\zeta }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partia l ^{2}x^{\eta }}{\pa{\pa}}{\bar}^{\pa}\pa{\pa}}}}}{\bar}^{\pa}}}}}}}}}}} 우리는 얻는다.
d p ¯ α d t − Γ ¯ α γ β p ¯ β d x ¯ γ d t − q F ¯ α γ d x ¯ γ d t = d d t ( ∂ x δ ∂ x ¯ α p δ ) − ( ∂ x ¯ β ∂ x θ ∂ x δ ∂ x ¯ α ∂ x ι ∂ x ¯ γ Γ δ ι θ + ∂ x ¯ β ∂ x η ∂ 2 x η ∂ x ¯ α ∂ x ¯ γ ) ∂ x ϵ ∂ x ¯ β p ϵ ∂ x ¯ γ ∂ x ζ d x ζ d t − q ∂ x δ ∂ x ¯ α F δ ζ d x ζ d t = ∂ x δ ∂ x ¯ α ( d p δ d t − Γ δ ζ ϵ p ϵ d x ζ d t − q F δ ζ d x ζ d t ) + d d t ( ∂ x δ ∂ x ¯ α ) p δ − ( ∂ x ¯ β ∂ x η ∂ 2 x η ∂ x ¯ α ∂ x ¯ γ ) ∂ x ϵ ∂ x ¯ β p ϵ ∂ x ¯ γ ∂ x ζ d x ζ d t = 0 + d d t ( ∂ x δ ∂ x ¯ α ) p δ − ∂ 2 x ϵ ∂ x ¯ α ∂ x ¯ γ p ϵ d x ¯ γ d t = 0 {\displaystyle{\begin{정렬}&,{\frac{d{\bar{p}}_{\alpha}}{dt}}-{\bar{\Gamma}}_{\alpha \gamma}^{\beta}{\bar{p}}_{\beta}{\frac{d{\bar{)}}^{\gamma}}{dt}}-q{\bar{F}}_{\alpha \gamma}{\frac{d{\bar{)}}^{\gamma}}{dt}}\\[6pt]{}={}&,{\frac{d}{dt}}\left({\frac{\partial x^{\delta}}{\partial{\bar{x}}^{\alpha}}}p_{\delta}\right)-.\left({) frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \iota }^{\theta }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x} }^{\gamma}}}\right){\frac{\partial x^{\epsilon}}{\partial{\bar{)}}^{\beta}}}p_{\epsilon}{\frac{\partial{\bar{)}}^{\gamma}}{\partial x^{\zeta}}}{\frac{dx^{\zeta}}{dt}}-q{\frac{\partial x^{\delta}}{\partial{\bar{)}}^{\alpha}}}F_{\zeta\delta}{\frac{dx^{\zeta}}{dt}}\\[6pt]{}={}&,{\frac{\partial x^{\delta}}{\partial{\bar{)}.}^{) alpha }}}\left({\frac {dp_{\delta }}{dt}}-\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }p_{\epsilon }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-qF_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^ {2}x^{\eta}}{\partial{\bar{)}}^{\alpha}\partial{\bar{)}}^{\gamma}}}\right){\frac{\partial x^{\epsilon}}{\partial{\bar{)}}^{\beta}}}p_{\epsilon}{\frac{\partial{\bar{)}}^{\gamma}}{\partial x^{\zeta}}}{\frac{dx^{\zeta}}{dt}}\\[6pt]{}={}&, 0+{\frac{d}{dt}}\left({\frac{\partial x^{\delta}}{\partial{\bar{x}}^{\alpha}}}\right)p._{\d elta }-{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p_{\epsilon }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0\end{aligned}}} 라그랑기안 진공에서 고전적 전자역학에 대한 라그랑의 밀도3 (줄/미터 단위)는 스칼라 밀도(stalar density )이다.
L = − 1 4 μ 0 F α β F α β − g c + A α J α {\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\,+\,A_{\alpha }\,J^{\alpha }\,} 어디에
F α β = g α γ F γ δ g δ β . F^{\displaystyle F^{\alpha \beta }=g^{}=g^{\alpha \gamma \delta \beta }\, } 4전류는 다른 충전된 영역의 전류를 변수의 관점에서 표현하는 많은 용어의 약어로 이해해야 한다.
자유류를 경계 전류와 분리하면 라그랑지안은
L = − 1 4 μ 0 F α β F α β − g c + A α J 무료의 α + 1 2 F α β M α β . {\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\,+\,A_{\alpha }\,J_{\text{free}}^{\alpha }\,+\,{\frac {1}{2}}\,F_{\alpha \beta }\,{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,. } 전자기응력-에너지 텐서 아인슈타인 자기장 방정식의 소스 항의 일부로서 전자기 응력-에너지 텐서는 공변 대칭 텐서이다.
T μ ν = − 1 μ 0 ( F μ α g α β F β ν − 1 4 g μ ν F σ α g α β F β ρ g ρ σ ) {\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\sigma \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right)} 서명 메트릭(-,+,+,+) 사용 시그니처(+,-,-)와 함께 메트릭을 사용할 경우 T μ μ {\ displaystyle T_{\mu \nu }}} 스트레스-에너지 텐서는 미량 없음
T μ ν g μ ν = 0 {\displaystyle T_{\mu \nu \nu }g^{\mu \nu }=0} 왜냐하면 전자기학은 국부 불변속도 로 전파되고, 순응 불변속이기 때문이다.[citation needed
에너지 및 선형 모멘텀 보전을 위한 표현에서 전자기 응력-에너지 텐서는 혼합 텐서 밀도로 가장 잘 표현된다.
T μ ν = T μ γ g γ ν − g c . {\displaystyle {\mathfrak{T}_{\mu }^{\nu }=T_{\mu \gamma \g^{}{\frac {\sqrt{-g}}}. } 위의 방정식을 보면 다음과 같은 것을 알 수 있다.
T μ ν ; ν + f μ = 0 {\displaystyle {{\mathfrak{T}_{\mu }^{\nu }}}{\nu }+f_{\mu }=0} 여기서 세미콜론은 공변량 분산 을 나타낸다.
이것은 다음과 같이 다시 쓰여질 수 있다.
− T μ ν , ν = − Γ μ ν σ T σ ν + f μ {\displaystyle -{\mathfak{T}_{\mu }^{\\nu }}{\matfrak }}{\mathfrak {T}{\nu }}}}{\matf_{\mu }}}}}}^{\mathf_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}matmatma }}}}}}}}}}}}}}}} 전자기 에너지의 감소는 중력장에 대한 전자기장에 의해 행해진 작업과 물질에 대해 행해진 작업(로렌츠 힘을 통해)이 동일하며, 마찬가지로 전자기 선형 운동량의 감소율은 중력장에 작용하는 전자기력에 로렌을 더한 것이다. 물질에 가해지는 힘
보존법의 파생
T μ ν ; ν + f μ = − 1 μ 0 ( F μ α ; ν g α β F β γ g γ ν + F μ α g α β F β γ ; ν g γ ν − 1 2 δ μ ν F σ α ; ν g α β F β ρ g ρ σ ) − g c + 1 μ 0 F μ α g α β F β γ ; ν g γ ν − g c = − 1 μ 0 ( F μ α ; ν F α ν − 1 2 F σ α ; μ F α σ ) − g c = − 1 μ 0 ( ( − F ν μ ; α − F α ν ; μ ) F α ν − 1 2 F σ α ; μ F α σ ) − g c = − 1 μ 0 ( F μ ν ; α F α ν − F α ν ; μ F α ν + 1 2 F σ α ; μ F σ α ) − g c = − 1 μ 0 ( F μ α ; ν F ν α − 1 2 F α ν ; μ F α ν ) − g c = − 1 μ 0 ( − F μ α ; ν F α ν + 1 2 F σ α ; μ F α σ ) − g c {\displaystyle{\begin{정렬}{{\mathfrak{T}}_{\mu}^{\nu}}_{;\nu}+f_{\mu}&, =-{\frac{1}{\mu_{0}}}\left(F_{\mu \alpha, \nu}g^{\alpha \beta}F_{\beta \gamma}g^{\gamma \nu}+F_{\mu \alpha}g^{\alpha \beta}F_{\beta \gamma, \nu}g^{\gamma \nu}-{\frac{1}{2}}\delta _{\mu}^{\nu}F_{\sigma \alpha, \nu}g^{\alpha \beta}F_{\beta \rho}g^{\rho.\si Gma}\right){\frac{\sqrt{-g}}{c}}+{\frac{1}{\mu_{0}}}F_{\mu \alpha}g^{\alpha \beta}F_{\beta \gamma, \nu}g^{\gamma \nu}{\frac{\sqrt{-g}}{c}}\\[6pt]&, =-{\frac{1}{\mu_{0}}}\left(F_{\mu \alpha, \nu}F^{\alpha \nu}-{\frac{1}{2}}F_{\sigma \alpha, \mu}F^{\alpha \sigma}\right){\frac{\sqrt{-g}}{c}}\\[6pt]&, =-{\frac{1}{\mu_{0}}}\lef.t(\left( -F_{\nu \mu ;\alpha }-F_{\alpha \nu ;\mu }\오른쪽) F^{\alpha \nu}-{\frac{1}{2}}F_{\sigma \alpha, \mu}F^{\alpha \sigma}\right){\frac{\sqrt{-g}}{c}}\\[6pt]&, =-{\frac{1}{\mu_{0}}}\left(F_{\mu \nu, \alpha}F^{\alpha \nu}-F_{\alpha \nu, \mu}F^{\alpha \nu}와{\frac{1}{2}}F_{\sigma \alpha, \mu}F^{\sigma \alpha}\right){\frac{\sqrt{-g}}{c}}\\[6pt]&, =-{\frac{1}{\mu_{0}}}\left(F_{\mu \al.pha, \nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(-F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\end{aligned}}} 그 자체가 음이기 때문에 0이다(위의 4행 참조).
전자파 방정식 전기장 텐서 측면에서 비균질 전자파 방정식은 특수 상대성 형태 에서 특수 상대성 형태로 수정된다.
◻ F a b = d e f F a b ; d d = − 2 R a c b d F c d + R a e F e b − R b e F e a + J a ; b − J b ; a {\displaystyle \Box F_{ab}\\\stackrel {def}{}}}{=}\F_{ab;}}^{d}{}{}_{d}=-2R_{acbd}} F^{cd}+R_{ae} F^{e}{}_{b}-R_{be} F^{e}{}_{a}+ J_{a;b}-J_{b;a}} 여기서 R 은acbd 리만 텐서 의 공변량 형식이며, ◻ {\displaystyle \Box} 대한 달렌베르트 연산자의 일반화다 사용.
◻ A a = A a ; b b {\displaystyle \Box A^{a}={{{ A^{a;}^{b}_{b}}} 맥스웰의 출처 방정식은 다음과 같이 4전위 [ref 2, 페이지 569]의 관점에서 작성할 수 있다.
◻ A a − A b ; a b = − μ 0 J a {\displaystyle \Box A^{a}-{A^{b;a}_{b}=-\mu_{0}J^{a}}}} 또는, 로렌츠 게이지 가 곡선 스페이스타임에 일반화된다고 가정할 때
A a ; a = 0 , ◻ A a = − μ 0 J a + R a b A b {\displaystyle {\reasoned}{{n1}{ A^{a}}_{;a}&=0,\\Box A^{a}&=-\mu_{0}J^{a}+{R^{a}}_{b} A^{b}\end{aigned}} 여기서 R a b e f s a s b {\ displaystyle R_{ab}\\\\\stackrel {def}{}}}{{R^{s}_{asb}}} Ricci 곡률 텐서 이다.
이는 파생상품이 공변량 파생상품으로 대체되고 곡률에 비례하는 추가 용어가 있다는 점을 제외하면 평탄한 스페이스타임과 동일한 형태의 파동 방정식이다. 이 형태의 파동 방정식은 또한 A 가a 4위치의 역할을 하는 곡선 스페이스타임의 로렌츠 힘과 어느 정도 유사하다.
(+, -, -, -, -) 형식의 미터법 서명의 경우, 곡면 스페이스타임의 파동 방정식의 도출이 기사에서 수행된다.[citation needed
동적공간에서 맥스웰 방정식의 비선형성 맥스웰 방정식을 백그라운드 독립적 방식으로 취급할 때, 즉 전자장에 따라 스팩타임 메트릭이 동적 변수로 간주될 때 전자파 방정식과 맥스웰 방정식은 비선형이다. 이는 곡률 텐서가 아인슈타인 필드 방정식 을 통해 응력-에너지 텐서(stens-energy tensor)에 따라 달라진다는 것을 알 수 있다.
G a b = 8 π G c 4 T a b {\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}} T_{ab}}} 어디에
G a b = d e f R a b − 1 2 R g a b {\displaystyle {G}_{ab}\\\stackrel {def}{}}{}}{{R}_{ab}-{1 \over 2}{R}g_{ab}}}}}} 아인슈타인 텐서 , G 는 중력 상수 , g 는ab 미터법 텐서 , R (스칼라 곡률 )은 리치 곡률 텐서의 트레이스다. 응력 에너지 텐서는 입자로부터의 응력 에너지와 전자기장의 응력 에너지로 구성된다. 이것은 비선형성을 발생시킨다.
기하학적 제형식 전자기장의 차등 기하학적 공식에서 비대칭 패러데이 텐서는 패러데이 2형식 displaystyle \mathbf {F}}} .
d F = 0 , {\daystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0,} 여기 [\ displaystyle \mathrm {d}은( 외부 파생 모델 연산자다. 이 방정식은 완전히 좌표계와 미터법에 독립적이며, 우주 시간에 닫힌 2차원 표면을 통한 전자기 유속이 위상학적으로 더 정밀하게 말하면, 그것의 호몰로지 클래스 (민코우스키 공간의 호몰로지 클래스가 그렇듯이 가우스 법칙과 맥스웰-파라데이 방정식의 통합형식의 일반화)에만 의존한다. 자동 0). 푸앵카레 보조정리법 에 따르면, 이 방정식은 (적어도 국소적으로) A가 존재함 .
F = d A . {\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} .} 다른 맥스웰 방정식은
d ⋆ F = J . {\daystyle \mathrm {d} \star \mathbf {F} =\mathbf {J} .} 이러한 맥락에서 J {\ displaystyle \mathbf {J}} 현재 3-형식 (또는 더 정밀하고 꼬인 3형식)이며 {\displaystyle \star} 호지 항성 연산자를 의미한다. 맥스웰 방정식이 스페이스타임의 메트릭에 의존하는 것은 호지 항성 연산자 ⋆{\디스플레이 \star 순응적으로 불변 이다. 이렇게 쓰여진 맥스웰의 방정식은 어떤 공간 시간에서도 같으며, 불변성을 뚜렷하게 조정하며, 사용하기 편리하다(민코프스키 공간이나 유클리드 공간에서도 특히 곡선 좌표가 있는 시간).
An alternative geometric interpretation is that the Faraday two form F {\displaystyle \mathbf {F} } i {\displaystyle i} curvature 2-form F ( ∇ ) {\displaystyle F(\nabla )} U (1)-connection ∇ {\displaystyle \nabla } principal U (1)-bundle whose sections represent charged fields. 모든 연결은 "베이스 = + 0 i A {\ displaystyle \nabla nabla _{0 }+iA }
F = F 0 + d A . {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{0}+\mathrm {d} \mathbf {A} .} 이 보기에서 맥스웰 "등분", d {\daystyle \mathrm d} \mathbf {F} =0} 알려진 수학적 인 정체성이다. 방정식 d F {\ daystyle \mathrm star \mathbf mathbf J} ) 이러한 관점은 충전된 분야나 양자역학을 고려할 때 특히 자연스럽다. 중력은 서로 다른 지점에서 병렬 전송 벡터 연결의 필요성, 전자기 현상, 또는 아하라노프-봄 효과 와 같은 보다 미묘한 양자 효과의 결과로서 이해될 수 있는 것과 마찬가지로 병렬 트랜스에 대한 연결의 필요성에서도 이해할 수 있다고 해석할 수 있다. 충전된 필드 또는 웨이브 섹션을 다른 지점에 배치하십시오. 사실 리만 텐서(Riemann tensor)가 극소수의 닫힌 곡선을 따라가는 레비시비타 연결부의 홀노노미 (holonomy)인 것처럼, 연결의 곡률도 U(1) 연결의 홀노미(holonomy)이다.
참고 항목 메모들 ^ Hall, G. S. (1984). "The significance of curvature in general relativity". General Relativity and Gravitation . 16 (5): 495–500. Bibcode :1984GReGr..16..495H . doi :10.1007/BF00762342 . S2CID 123346295 . ^ Ehlers J. Generalized Emergic Null Fields and Geometric Optics, Perspective in Geometric and Relativity, Ed. b. 호프만, 127-133페이지, 인디애나 대학 출판부, 블루밍턴과 런던, 1966. 참조 외부 링크
범위
표기법 텐서 정의들 운영 관련 추상적인 생각 주목할 만한 텐서
수학자
![{\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }A_{\beta }\,-\,\partial _{\beta }A_{\alpha }\\{\mathcal {D}}^{\mu \nu }&={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[2pt]J^{\mu }&=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }\\[2pt]f_{\mu }&=F_{\mu \nu }\,J^{\nu }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0595a8866adf41566cfc1fa75ff7629ba664ef8)
(는) 
(는
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)-{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }+{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\[6pt]&={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\[6pt]&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\[6pt]&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}F_{\delta \gamma }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abd412716e8bb6f5264e36dff57eb2cdccc6be8)
![{\displaystyle F_{[\mu \nu ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda }\right)={\frac {1}{3}}\left(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fadeefe2f4a802e0b1d63795e6b930cdd40d49b)
![\bar{\mathcal{D}}^{\mu \nu} \, = \, \frac{\partial \bar{x}^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \, \frac{\partial \bar{x}^{\nu}}{\partial x^{\beta}} \, \mathcal{D}^{\alpha \beta} \, \det \left[ \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial \bar{x}^{\rho}} \right] \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c5bd1af20b02ce57b4f9538cdd596e171ca96a)
![{\displaystyle {\bar {J}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d462bd2d74c84b6e2d274ccf30c7670ff4c6f608)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {J}}^{\mu }&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&=0+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\left({\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532630b421fdac4dc78eee7e587c3a6cb71965b2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\sigma }}}+{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\mathbf {4} \right)\\[6pt]{}={}&0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefd0dc7273108689158d8faa7cd31bdc8c8b65d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\bar {p}}_{\alpha }}{dt}}-{\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }{\bar {p}}_{\beta }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}-q{\bar {F}}_{\alpha \gamma }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}p_{\delta }\right)-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \iota }^{\theta }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-q{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}F_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {dp_{\delta }}{dt}}-\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }p_{\epsilon }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-qF_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p_{\epsilon }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c62cf181ea58ab176d19e3b7fb42f69d6e2ecac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma }g^{\gamma \nu }+F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\nu }F_{\sigma \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\left(-F_{\nu \mu ;\alpha }-F_{\alpha \nu ;\mu }\right)F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \nu ;\alpha }F^{\alpha \nu }-F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\sigma \alpha }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(-F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dee2e9585563148efb6cc0dfe704dbf7769b4ac)
) 
쓸 수 있으므로 연결은 벡터 전위와 매우 유사하다. 
(는
