여러 실제 변수의 함수

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함수
x ↦ f (x)
도메인 및 코도메인의 예
$(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{B}}$ ${\$ $\},$ $\displaystyle \mathb {B} }$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathb{B} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$ $\displaystyle \mathb {Z} }$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\$ $\},$ ${\displaystyle \mathb {R} }$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathb{R} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{C}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathb {C} }$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathb{C} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$
클래스/속성
상수 아이덴티티 선형 다항식 이성적 대수학 분석적 부드러움 연속 측정 가능 주입식 굴욕적인 비주사적
시공
제한 구성 λ 반비례
일반화
부분적 다중값 암묵적
v t

수학적 분석에서 그 적용에 있어, 몇 개의 실제 변수 또는 실제 다변량 함수의 함수는 둘 이상의 인수를 갖는 함수로서, 모든 인수는 실제 변수다. 이 개념은 실제 변수의 함수 개념을 몇 개의 변수로 확장한다. "입력" 변수는 실제 값을 취하는 반면, "함수의 값"이라고도 불리는 "출력"은 실제 값이거나 복잡할 수 있다. 단, 복합기능의 실제와 가상의 부분을 고려하여 복합기능의 연구로 쉽게 축소할 수 있으므로, 명시적으로 명시하지 않는 한, 본 논문에서는 실제가치가 있는 기능만을 고려하게 된다.

n 변수 함수의 영역은 함수가 정의되는 R의ⁿ 부분집합이다. 통상적으로, 몇 개의 실제 변수의 함수의 영역은 비어 있지 않은 R의ⁿ 부분집합을 포함하도록 되어 있다.

일반적 정의

n개의 실제 변수의 실제 값 함수는 입력 n의 실수로, 일반적으로 f(x, x, x, …, x_n)로 표기된 또 다른 실수인₁ 함수의 값을 생성하기 위해₂ 변수 x, x_n, …, x로 대표되는 함수는 일반적으로 f(x₁, x₂, x, x)이다. 단순성을 위해, 이 글에서는 몇 개의 실제 변수의 실제 가치 함수를 단순히 함수라고 부를 것이다. 모호성을 방지하기 위해 발생할 수 있는 다른 유형의 기능이 명시적으로 지정될 것이다.

일부 함수는 변수의 모든 실제 값에 대해 정의되지만(한 함수는 변수의 값이 정의된 모든 곳에 있다고 말함), 일부 다른 함수는 항상 R의ⁿ 개방된 부분집합을 포함하도록 되어 있는 함수의 영역인ⁿ R의 부분집합 X에서 해당 변수의 값을 취하는 경우에만 정의된다. 즉, n개의 실제 변수의 실제 값 함수는 함수다.

$\displaystyle f:X\to \mathb {R} }$

도메인 X가 비어 있지 않은 열린 집합을 포함하는 R의ⁿ 하위 집합이 되도록 한다.

X의 요소는 n-투플(x₁₂, x, …, x_n)(일반적으로 괄호로 구분)이며, 함수를 나타내는 일반적인 표기법은 f(x₁, x, x₂, …, x)이다_n. 집합 간 함수에 대한 일반적인 정의보다 훨씬 오래된 일반적인 용어는 이중 괄호를 사용하지 않고 단순히 f(x₁₂, x, x, …, x_n)를 쓰는 것이다.

또한 boldface x, underline x, overarrow x→와 같은 벡터에 대해 이와 유사한 표기법을 사용하여 n투플(x₁, x₂, …, x_n)을 약칭하는 것이 일반적이다. 이 글은 대담하게 쓰일 것이다.

두 변수에서 함수의 간단한 예는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aigned}&V:X\to \mathb {R} \&X=\left\{(A,h)\in \mathb {R} ^{2}\mid A>0,h>0\\}\&V(A,h)={\frac {1}{3}Ah\ended}}}}}}}}}$

즉, 기본 면적 A와 높이 h를 가진 원뿔의 V 부피다. 이 영역은 길이와 영역이 양수여야 하므로 모든 변수를 양수로 제한한다.

두 변수의 함수 예:

${\displaystyle {\begin{aigned}&z:\mathb {R} ^{2}\to \mathb {R}\\\\\\\&z(x,y)=ax+by\end{aigned}}}}}$

여기서 a와 b는 실제 0이 아닌 상수다. xy 평면이 영역 R이고² z축이 코도메인 R인 3차원 데카르트 좌표계를 사용하면 이미지를 2차원 평면으로 시각화할 수 있으며, 양의 x 방향에서는 a의 기울기, 양의 y 방향에서는 b의 기울기를 가질 수 있다. 함수는 R의² 모든 점(x, y)에서 잘 정의되어 있다. 앞의 예는 보다 높은 차원으로 쉽게 확장될 수 있다.

${\displaystyle {\begin}&z:\mathb {R} ^{p}\mathb {R} \\\\\&z(x_{1}{1},\ldots,x_{p}}=a_{1}x_{1}+a_{2}}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{arged}}}}}$

p 0이 아닌 실제 상수 a₁, a₂, … a_p, p-차원 하이퍼플레인.

유클리드 규범:

${\displaystyle f({\boldsymbol{x}}=\\\\\\sqrt {x_{1}^{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}:$

또한 정의되는 모든 곳에 있는 n개의 변수의 함수인 반면

${\displaystyle g({\boldsymbol{x}}={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}}}}}}$

x ≠ (0, 0, …, 0)에 대해서만 정의된다.

비선형 예제 함수의 경우 두 변수:

${\displaystyle {\reasoned}&z:X\to \mathb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathb {R} ^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}}}\leq 8\\\,x\neq 0\...\,y\neq 0\right\\}\&z(x,y)={{2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}{2}}}}}}\끝{정렬}}}$

X의 모든 지점을 취하며, 평면 R의² 원점(x, y) = (0, 0)에서 반경 disk8의 원반이 "파형"되고 R의 점을 반환한다. 함수는 원점(x, y) = (0, 0)을 포함하지 않으며, 만약 그랬다면 f는 그 시점에서 잘못 정의될 것이다. xy 평면을 영역 R으로² 하고, z축을 코도메인 R으로 하는 3d 카르테시안 좌표계를 이용하여 영상을 곡선 표면으로 시각화할 수 있다.

함수는 X의 점(x, y) = (2, √3)에서 평가할 수 있다.

${\displaystyle z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2\right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7}}\,,}$

그러나, 말하자면 그 기능은 평가될 수 없었다.

${\displaystyle (x,y)=(65,{\sqrt {10}})\\\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt{10}})^{2}8}$

x와 y의 이러한 값은 도메인의 규칙을 만족시키지 못하기 때문이다.

이미지

함수 f(x₁, x₂, …, x_n)의 이미지는 n-투플(x₁₂, x, …, x_n)이 f의 전체 영역에서 실행될 때 f의 모든 값의 집합이다. 연결된 도메인을 가진 연속(정의의 경우 아래 참조) 실제 값 함수의 경우 이미지는 간격 또는 단일 값이다. 후자의 경우 함수는 상수함수다.

주어진 실제 숫자 c의 프리이미지를 레벨 세트라고 한다. f(x₁, x₂, …, x_n) = c 등식의 해법 집합이다.

도메인

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2017년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

몇 개의 실제 변수의 함수의 영역은 때때로 명시적으로 정의된 R의ⁿ 부분집합이다. 실제로 함수 f의 영역 X를 부분집합 Y ⊂ X로 제한하면 정식으로 다른 함수인 f에서 ${\displaystyle {}_{}}$로 제한하게 되는데, $이$는 f ${\$ f $_{Y}$로 표시된다$.$ 실제로 f와 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaysty$f$_$$Y}$를 식별하고 제한자를 생략하는 것은 종종(그러나 항상은 아님) 해롭지 않다._Y

반대로, 예를 들어 연속성이나 분석적 연속성에 의해 주어진 함수의 영역을 자연스럽게 넓히는 것이 가능할 때도 있다.

더욱이, 많은 기능들은 그들의 영역을 명시적으로 명시하기 어려운 방식으로 정의된다. 예를 들어 함수 f를 지정하면 함수 $g{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x\mathit{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle f\mathit{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle g({\boldsymbol{x}})=1/f({\boldsymbol{x}})$의 도메인을 지정하기가 어려울 수 있다.$}}$ f가 다변량 다항식(${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$R} ^{n})$인 경우$$ g의 도메인도 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$인지 테스트하기도 어렵다$.$ 이는 다항식이 항상 양수인지 여부를 검정하는 것과 같으며, 활성 연구 영역의 대상이다(양수 다항식 참조).

대수구조

실수에 대한 산술의 통상적인 연산은 다음과 같은 방법으로 여러 실제 변수의 실제 값 함수까지 확장될 수 있다.

• 모든 실수 r에 대해 상수함수
  $${\displaystyle(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r}$$

  
  어디에나 정의되어 있다.
• 모든 실제 숫자 r과 모든 함수 f에 대해 함수:
  $${\displaystyle rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

  
  f와 동일한 도메인(또는 r = 0인 경우 정의된 모든 곳에 있음)을 가지십시오.
• 만일 f와 g가 X ∩ Y가 비어 있지 않은 R의ⁿ 부분집합을 포함하는 각각의 도메인 X와 Y의 두 가지 함수라면, 그 다음
  $${\displaystyle f\,g:(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots,x_{n})\,g(x_{1},\ldots,x_{n})}$$

  
  그리고
  $${\displaystyle g\,f:(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots,x_{n},\f(x_{1},\ldots,x_{n})}$$

  
  X ∩ Y를 포함하는 도메인을 가지는 함수다.

그것은 어디에서나 정의되는 n 변수의 기능과 주어진 지점의 일부 인접 지역에서 정의되는 n 변수의 함수는 둘 다 실제(R-algebras) 위에 공통 알제브라를 형성한다. 이것은 기능 공간의 원형적인 예다.

유사한 정의가 있을 수 있다.

${\displaystyle 1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

f(x₁, …, x_n) ≠ 0이 R의ⁿ 열린 부분 집합을 포함하는 f의 영역 내의 점 집합(x₁, …,x)이_n 있는 경우에만 함수다. 이 제약조건은 위의 두 알헤브라가 밭이 아니라는 것을 암시한다.

다변량 함수와 관련된 일변량 함수

한 변수를 제외한 모든 변수에 상수 값을 부여하면 하나의 실제 변수에 있는 함수를 쉽게 얻을 수 있다. 예를 들어 (a₁, …, a_n)가 f함수의 영역 내부의 점이라면, x₂, …, x to_n a₂, a의_n 값을 각각 고정시켜, 불가변 함수를 얻을 수 있다.

${\displaystyle x\mapsto f(x,a_{2},\ldots,a_{n}),}$

도메인이 a에₁ 집중된 간격을 포함하는 경우. 이 함수는 방정식 x_i = a for_i i = 2, …n으로 정의된 선에 대한 함수 f의 제한으로 볼 수도 있다.

다른 생존할 수 없는 기능은 f를 통과하는 선(a₁, …, a)으로_n 제한하여 정의할 수 있다. 이것들이 기능들이다.

${\displaystyle x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),}$

여기서 c는_i 모두 0이 아닌 실제 숫자다.

다음 절에서는 다변량 함수가 연속적인 경우 이 모든 불변함수들도 마찬가지라는 것을 보여주겠지만, 그 반대가 반드시 참은 것은 아니다.

연속성 및 한계

19세기 2부까지는 수학자들에 의해 연속적인 기능만 고려되었다. 그 당시, 위상학적 공간과 위상학적 공간 사이의 연속적 지도의 공식적 정의보다 다소 오래 전에 하나 또는 여러 개의 실제 변수의 기능에 대해 연속성의 개념이 정교하게 설명되었다. 수학에서는 여러 실제 변수의 연속적인 기능이 어디에나 존재하기 때문에 위상학적 공간 사이의 연속적인 지도의 일반적인 개념과는 무관하게 이 개념을 정의할 필요가 있다.

연속성을 정의하려면 R의ⁿ 거리 함수를 고려하는 것이 유용하며, R은 2n 실제 변수의 어디에서나 정의되는 함수다.

${\displaystyle d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}}$

A기능 f를 단도직입적으로, 모든 긍정적인 실수 ε에, 그런은 f())− f(를)<>φ 긍정적인 실수, 모두에게 ε 등이 d())<>φ 있는 내부의 영역, a=(a1,…,)에서 연속적입니다.즉, φ f에 의해 반경 φ의 공은 interva에 포함된 위주의 이미지를 갖는 것으로 작은 충분히 선택할 수 있다.f(a)에 중심인 길이 2인치 l 함수는 도메인의 모든 지점에서 연속되는 경우 연속적이다.

함수가 f(a)에서 연속적인 경우, a 값에서 한 변수를 제외한 모든 변수_i x를_i f(a)에서 고정하여 얻은 모든 일변량 함수는 f(a)에서 연속된다. 역은 거짓이다. 이는 모든 단변량 함수가 f(a)에서 연속되지 않는 함수에 대해 연속적일 수 있다는 것을 의미한다. 예를 들어 f(0, 0) = 0과 같은 함수 f를 고려하고, 달리 정의되지 않은 함수 f를 고려하십시오.

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}.}$

함수 x ↦ f(x, 0)와 y ↦ f(0, y)는 모두 일정하고 0과 같으므로 연속적이다. 함수 f는 (0, 0)에서 연속되지 않는데, 왜냐하면 if < 1/2과 y = x² ≠ 0이면 x가 매우 작더라도 f(x, y) = 1/2이 있기 때문이다. 연속성은 아니지만, 이 함수는 모든 일변량 함수를 (0, 0)을 통과하는 선으로 제한하여 얻은 모든 일변량 함수도 연속적인 특성을 가지고 있다. 사실, 우리는

${\displaystyle f(x,\data x)={\frac {\fractda x}{x^{2}+\filda ^{2}}:$

λ 0의 경우.

몇 개의 실제 변수의 실제 값 함수 한 점에 대한 한계는 다음과 같이 정의된다.^[1] a = (a₁, a₂, …, a_n) 함수 f의 도메인 X의 위상학적 폐쇄의 지점이 되게 한다. 함수, f는 x가 a를 향하는 경우 한계 L을 가진다.

${\displaystyle L=\lim_{\boldsymbol{x}\to {\boldsymbol{a}f({\boldsymbol {x}),}$

다음 조건이 충족되는 경우: 모든 양의 실수 > > 0에 대해 다음과 같은 양의 실수 Δ > 0이 있다.

${\displaystyle f({\boldsymbol {x})-L <\varepsilon }$

다음과 같은 도메인 내의 모든 x에 대해

${\displaystyle d({\boldsymbol {x},{\\boldsymbol{a}}<\cHB .}$

한계가 존재한다면 그것은 독특하다. a가 도메인의 내부에 있는 경우, 기능이 a에서 연속적인 경우에만 한계가 존재한다. 이 경우 우리는 다음과 같은 조치를 취하였다.

${\displaystyle f({\boldsymbol{a}}=\lim_{{\\boldsymbol{x}\to{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\posymbol {a}f({\boldsymbol {x}).}$

a가 f 도메인의 경계에 있을 때, 그리고 f가 a에 한계가 있을 경우, 후자 공식은 f의 도메인을 "연속성에 의해 확장"할 수 있게 한다.

대칭

대칭함수는 두 변수_i x와 x가_j 상호 교환될 때 변하지 않는 함수 f이다.

${\displaystyle f(\dots,x_{i},\dots,x_{j},\dots )=f(\dots,x_{j},\dots,x_{i},\dots )}$

여기서 i와 j는 각각 1, 2, …, n의 각각이다. 예:

${\displaystyle f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

x, y, z에서 대칭이지만 x, y, z 쌍을 바꾸면 변경되지 않지만 x, y, z, t 모두 대칭이 되지 않는다. x 또는 y 또는 z와 교대칭 t를 사용하면 다른 기능이 제공되기 때문이다.

함수구성

함수를 가정해 보십시오.

${\displaystyle \xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

또는 보다 압축적으로 ξ = ξ(x)는 모두 도메인 X에 정의되어 있다. n-투플 x = (x₁₂, x, …, x_n)가 X에 따라 다르듯이, R의ⁿ 부분집합, m-투플 ξ = (ξ₁, ξ₂, …, ξ_m)는 다른 영역 ξ에서 R의^m 부분집합이 다르다. 다시 설명하려면:

${\displaystyle {\\\ci }:X\to \Xi .}$

그 다음, ξ에 정의된 함수 x(x)의 함수 ζ,

${\displaystyle {\begin{ligned}&\zeta :\Xi \to \mathb {R},\\&\zeta =\zeta(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\m}),\end{ligned}}}}}}}}$

X에 정의된 함수 구성,^[2] 다른 용어로 매핑

${\displaystyle {\begin{aigned}&\zeta :X\to \mathb {R},\\&\zeta =\xi _{1},\dots,\m}=f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}).\end{정렬}}}$

m과 n은 같을 필요가 없다는 점에 유의한다.

예를 들어, 함수

${\displaystyle f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(x-y)-\cos 2(x+y)]}$

R의² 모든 곳에 정의되어 있는 것을 소개함으로써 다시 쓰일 수 있다.

${\displaystyle(\displaystyle,\displaysty,\disput )=(xy,x-y,x+y)}$

또한 R에³ 정의되어 있는 모든 곳에서 얻을 수 있다.

$#\displaystyle f(x,y)=\jeta(x,y)\jeta(x,y)=\jeta(\fair,\fair,\y)=\jeta(\fair,\fair )=e^{\sin (3\cs)-\cos(2\cos)\,\,\,\,}$

함수 구성은 함수를 단순화하는 데 사용할 수 있으며, 다중 통합을 수행하고 부분 미분 방정식을 푸는 데 유용하다.

미적분학.

기초 미적분은 하나의 실제 변수의 실제 가치 함수의 미적분이며, 그러한 함수의 분화와 통합에 대한 주요 사상은 둘 이상의 실제 변수의 함수로 확장될 수 있다. 이 확장은 다변량 미적분이다.

부분파생상품

부분파생상품은 각 변수와 관련하여 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

부분파생상품 자체는 기능이며, 각 기능은₂ 영역 내 모든 지점에서 x₁, x, …, x축_n 중 하나에 평행하는 f의 변화율을 나타낸다(파생상품이 존재하고 연속적인 경우 아래도 참조). 첫 번째 파생상품은 해당 축의 방향을 따라 함수가 증가하면 양수, 감소하면 음수, 증가나 감소가 없으면 0이다. 영역의 특정 지점에서 부분파생물을 평가하면 특정 축에 평행한 방향에서 해당 지점의 함수 변화율(실수)이 나타난다.

실제 변수의 실제 값 함수 y = f(x)의 경우, 그 일반적인 파생상품 dy/dx는 기하학적으로 도메인의 모든 지점에서 원곡선 y = f(x)에 대한 접선 선의 구배가 된다. 부분파생상품은 이 아이디어를 곡선에 접하는 하이퍼플레인으로 확장한다.

두 번째 순서의 부분파생상품은 모든 변수 쌍에 대해 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

기하학적으로, 그것들은 도메인의 모든 지점에서 함수 이미지의 국부 곡률과 관련이 있다. 함수가 잘 정의된 어느 지점에서라도 함수는 일부 축을 따라 증가하거나 다른 축을 따라 감소할 수 있으며/또는 다른 축을 따라 증가하거나 감소하지 않을 수 있다.

이는 글로벌 또는 로컬 최대점, 글로벌 또는 로컬 최소점, 안장점 등 다양한 가능한 고정점(실제 변수의 실제 기능에 대한 변곡점의 다차원 아날로그)으로 이어진다. 헤시안 행렬은 함수 고정점을 조사하는 데 사용되는 모든 2차 부분파생물의 행렬로, 수학 최적화에 중요하다.

일반적으로 상위 p의 부분파생상품은 다음과 같은 형태를 가진다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

여기서 p₁, p₂, …, p는_n 각각 0과 p 사이의 정수로서, zerot 부분파생상품의 정의를 ID 연산자로 사용하여₁ p + p₂ + + + p = p를_n 사용한다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.}$

두 번째 순서의 부분파생상품의 대칭성 때문에 일부 혼합 부분파생상품(둘 이상의 변수에 관한 파생상품)은 불필요하지만 가능한 부분파생상품의 수는 p와 함께 증가한다. 이는 일부 p에 대해 계산할 부분파생상품의 수를 감소시킨다.

다변량차이성

함수 f(x)는 일반적으로 a(a) = (A₁(a), A₂(a), … A_n(a)에 의존하는 숫자의 n-투플이 있는 경우 a 지점 근처에서 구별이 가능하므로 다음과 같다.^[3]

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}}) {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}} }$

여기서 α → 0은 x - a → 0이다. 즉, f가 a 지점에서 서로 다른 경우 x = a에서 연속적인 경우, 역은 사실이 아니지만, 도메인 내 연속성은 도메인 내 다른 가능성을 의미하지 않는다. 만약 f가 a에서 차별화된다면, 첫 번째 순서의 부분파생상품은 a와 다음과 같이 존재한다.

$왼쪽.{\frac {\fac\\symbol{x}}{\\\\\\\{\propersymbol{x}}}\오른쪽 _{{\\prossymbol{a}}}={\presymbol{a}}}}=}}}}}}}=}A_{i}({\boldsymbol{a}})}$

i = 1, 2, …n, 개별 부분파생상품의 정의에서 찾을 수 있으므로 f의 부분파생상품이 존재한다.

직사각형 데카르트 좌표계의 n차원 아날로그를 가정할 때, 이러한 부분파생물은 이 좌표계에서 그라데이션("나블라" 또는 "델"이라고도 함)이라고 하는 벡터형 선형 미분 연산자를 형성하는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle \nabla f({\boldsymbol{x}}=\left\frac {\flac }{\fldots{\fract x_{\n1}{n1}}\fldots,{\fract }{\fldsymbol{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\fltonsyprotonsymbmbol.$

벡터 미적분학에서 광범위하게 사용되는데, 이는 다른 미분학 연산자를 구성하고 벡터 미적분학의 이론들을 압축적으로 형성하는데 유용하기 때문이다.

그런 다음 그라데이션 ∇f(x = a로 평가됨)를 약간의 재배열로 대체하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle f({\boldsymbol{x}}-f({\boldsymbol {a}=\fcdla f\\boldsymbol {a}\cdot({\\boldsymbol{a}}})++{\\symbol{x}-{\boldsymbol{a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ·는 도트 제품을 나타낸다. 이 방정식은 a의 근방에 있는 모든 x 지점에서 함수 f의 최적 선형 근사치를 나타낸다. f와 x를 x → a로 최소로 변경하는 경우:

$DF=\displaystyle df=\왼쪽.{\frac {\preason f({\boldsymbol{x}}{\\\\{\\\\{\\\\\\\{\\\\\\\\\\\\prossymbol{x}}={\\presymbol {a}dx_{1}+\왼쪽.{\frac{\frac}{\propersymbol{x}}}{\\put_{2}}}\right_{{\\\\{\\\\{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH4symbodsymbcymob}}}}}}}}}}}}}}}{\frac {\freason f\\sysymbol {x}}{\\\\\\\\\\\\\\\\\\bsymbol{x}}}={\\\bsymbol{a}}}=\cdot d{\bsymbol {x}}}}}}}}}$

이 값은 a에서 f의 총 차등 또는 단순 차등으로 정의된다. 이 표현식은 모든 x_i 방향에서 f의 모든 최소 변동을 추가함으로써 f의 전체 최소 변동에 해당한다. 또한 df는 기본 벡터를 각 방향의 infinitimal dx로_i 하고 f의 부분파생물을 구성요소로 하여 해석할 수 있다.

기하학적으로 ∇f는 f(x) = c에 의해 주어진 f의 레벨 집합에 수직이며, 어떤 상수 c에 대해서는 (n - 1)차원 과급면을 설명한다. 상수의 차이는 0:

${\displaystyle df=(\pxla f)\cdot d{\bodsymbol {x}=0}$

여기서 dx는 초저면 f(x) = c에서 x의 극미미한 변화로, ∇f와 dx의 도트 곱은 0이므로, 이는 ∇f가 dx에 수직이라는 것을 의미한다.

임의 곡선 좌표계의 n차원에서는 구배도에 대한 명시적 표현은 그리 간단하지 않을 것이다. 즉, 해당 좌표계에 대한 미터법 텐서 측면에서 척도 인자가 있을 것이다. 이 글 전체에 걸쳐 사용된 위의 사례에 대해 측정기준은 크론커 델타일 뿐이며 척도계수는 모두 1이다.

차별성 클래스

모든 최초 주문 부분파생상품이 도메인의 a 지점에서 평가되는 경우:

$왼쪽.{\frac{\frac{\fract x_{1}:{1}f({\{1}f({\boldsymbol{x}}}\오른쪽 _{\\boldsymbol{x}}={\\symbol {a}\\\quad\ \\ \\ \\왼쪽.{\frac{\frac{\message x_{2}}:f({\boldsymbol{x}}}\right_{\\\\ndots}{\\\\{\\\\\\\\fts, {\\\\cHBsymbol{x}}}}}}={\ligsymbsymbodsymbol}.{\frac{\frac{\message x_{n}}f({\boldsymbol{x}}}\오른쪽 _{{\boldsymbol{x}}={\sysymbol{a}}}}}}}$

도메인의 모든 a에 대해 존재하며 연속적이다. f는 차별성 클래스 C를¹ 가지고 있다. 일반적으로 모든 주문 p 부분파생상품이 한 지점에서 평가된 경우:

$왼쪽.{\frac{\frac }{p}{p}{p_{1}^{p_{1}{1}^{p_{2}}^\cdots \cdots \cdots \x_{n}^{p_}}}{n}}}}^\right _{\\csymbol {{x={a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

존재하며 연속적이다. 여기서₁ p, p₂, …, p, p는_n 도메인의 모든 a에 대해 위와 같다. 그러면 f는 도메인 전체에 걸쳐 p를 주문할 수 있고 차별성 클래스 C를 가지고 있다.

f가 차별성 등급 C인^∞ 경우, f는 모든 순서의 지속적인 부분파생상품을 가지고 있으며, 이를 smooth라고 한다. f가 분석함수이고 도메인의 어떤 점에 대한 테일러 시리즈와 동일하다면, 표기법 C는^ω 이 차별성 등급을 나타낸다.

다중 통합

명확한 통합은 기호를 가진 몇 개의 실제 변수에 걸쳐 복수의 통합으로 확장될 수 있다.

${\displaystyle \int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}}$

여기서 각 영역₁ R, R은₂ 실제_n 라인의 하위 집합 또는 전체 중 하나이다.

${\displaystyle R_{1}\subseteq \mathb {R} \...\quad R_{2}\subseteq \mathb {R} \ldots,R_{n}\subseteq \mathb {R},},}$

그리고 그들의 데카르트 제품은 지역을 단일 세트로 통합할 수 있도록 한다.

${\displaystyle R=R_{1}\time R_{2}\time \dots \time R_{n}\n}\quad R\subseteq \mathb {R}^{n}\}}$

n차원 초량 평가했을 때, 적분이 통합의 영역 R에서 수렴되는 경우(확정 적분의 결과는 특정 영역에 대해 무한대로 분산될 수 있으며, 그러한 경우 적분은 정의되지 않은 상태로 남아 있다) 확정 적분은 실제 숫자다. 이 변수는 통합 과정에서 숫자를 대신하는 "더미" 또는 "바운드" 변수로 처리된다.

x에 대한 실제 변수 y = f(x)의 실제 값 함수의 적분은 y = f(x) 곡선 및 x 축으로 경계된 영역으로 기하학적 해석을 가진다. 다수의 적분., 기능에 따라서 b.은 이 개념의 직사각형의 데카르트 좌표계의 위의 확실한 적분 기하학적 해석은 다차원 hypervolume f())을 경계로 하고, 부정적이고, 0이상이거나 긍정적일 수 있는 x1, 미국,…,xn 도끼가 다차원 아날로그,이 차원수:확장eing 통합(적분자가 수렴인 경우).

경계된 하이퍼볼륨은 유용한 통찰력이지만, 확실한 통합의 더 중요한 개념은 그것들이 공간 내의 총량을 나타낸다는 것이다. 이는 응용수학과 물리학에 의의가 있다: f가 어떤 스칼라 밀도 분야이고 x가 위치 벡터 좌표인 경우, 즉 단위 n차원 하이퍼볼륨당 어떤 스칼라 수량인 경우, 영역 R에 걸쳐 통합하면 총 수량량이 R에 주어진다. 다량의 보다 형식적인 개념은 측량 이론의 대상이다. 위에서 Lebesgue 측정을 사용했으며, 이 주제에 대한 자세한 내용은 Lebesgue 통합을 참조하십시오.

정리

다중 통합과 부분적 파생상품의 정의로 몇 개의 실제 변수(명칭 스톡스의 정리), 여러 실제 변수에서의 부분별 통합, 상위 부분적 파생상품의 대칭성, 다변량 기능에 대한 테일러의 정리 등 핵심 이론들을 공식화할 수 있다. 통합과 부분파생상품의 혼합을 평가하는 것은 적분 부호 아래의 정리 분화를 이용하여 수행할 수 있다.

벡터 미적분학

여러 실제 변수 각각을 수집할 수 있다고 말한다.

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}$

m-투플(m-tuple) 또는 때로는 열 벡터 또는 행 벡터(row vector)로 각각 다음과 같이 한다.

${\displaystyle(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow{\begin{bmatrix}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_ᆱ(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_ᆲ(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow{\begin{bmatrix}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&, f_ᆶ(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&, \cdots &, f_ᆷ(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end.{bmatrix}}}$

모두 m-구성요소 벡터장과 동일한 기반 위에서 처리되며, 편리한 형태 중 하나를 사용한다. 위의 모든 표기법에는 공통의 소형 표기법 y = f(x)가 있다. 그러한 벡터장의 미적분은 벡터 미적분학이다. 다변량 함수의 행 벡터 및 열 벡터 처리에 대한 자세한 내용은 행렬 미적분을 참조하십시오.

암묵함수

여러 실제 변수의 실제 값 암묵적 함수는 "y = f(…)" 형식으로 작성되지 않는다. 대신, 공간 R에서^{n + 1} R의 0 요소(일반적인 0: 0):

${\displaystyle {\begin}&\pi :\mathb {R} ^{n+1}\to \{0\}\\\\phi(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}y)=0\end{arged}}}}}}}}}$

모든 변수의 방정식이다. 암묵적 함수는 다음과 같은 경우에 함수를 나타내는 더 일반적인 방법이다.

${\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}}}$

그러면 우리는 항상 다음을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \phi(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},y)=y-f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}=0}$

그러나 역이 항상 가능한 것은 아니다. 즉, 모든 암묵적 함수가 명시적 형태를 갖는 것은 아니다.

예를 들어, 구간 표기법을 사용하면

${\displaystyle {\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}-1=0\\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{정렬}}}$

3차원(3D) 데카르트 좌표계를 선택한 이 함수는 원점(x, y, z) = (0, 0, 0) = (0, 0, 0)을 중심으로 한 3D 타원체의 표면을 각각 양의 x, y, z축을 따라 설명한다. a = b = c = r인 경우, 우리는 원점을 중심으로 반경 r의 구를 가진다. 유사하게 설명될 수 있는 다른 원뿔 단면 예로는 하이퍼볼로이드와 파라볼로이드가 있으며, 보다 일반적으로 3D 유클리드 공간의 어떤 2D 표면도 가능하다. 위의 예는 x, y, z에 대해 해결할 수 있다. 그러나 그것을 암묵적인 형태로 쓰는 것이 훨씬 더 깔끔하다.

좀 더 정교한 예시:

${\displaystyle {\begin{aigned}&\pi :\mathb {R}^{4}\to \{0\}\&\pi(t,x,y,z)=Ctze^{tx-yz}+A\sin(3\omega t)\왼쪽(x^{2}z-By^{6}\오른쪽)=0\end{arged}}}$

0이 아닌 실제 상수 A, B, C, Ω의 경우 이 함수는 모든(t, x, y, z)에 대해 잘 정의되어 있지만 이러한 변수에 대해서는 명시적으로 해결할 수 없으며 "t =", "x =" 등으로 표기된다.

세 개 이상의 실제 변수의 암묵적 함수 정리는 함수의 연속성과 차별성을 다음과 같이 다룬다.^[4] ϕ(x₁, x₂, …, x_n)을 연속적인 1차 부분파생상품으로 연속함수로 하고, ϕ을 점(a, b) = (a₁, a₂, a, …, a_n, b)로 평가한다.

${\displaystyle \phi({\displaysymbol {a},b)=0;}$

그리고 (a, b)에서 평가한 y에 대한 ϕ의 첫 번째 부분파생상품은 0이 아닌 것으로 한다.

$왼쪽.{\frac{\frac}\phi({\fracy \phi({\bsymbol {x},y)}{\bsy}\right_{\\\bsymbol {a}\neq 0.}$

그 다음, b를 포함하는 구간[y₁, y₂]과 (a, b)를 포함하는 지역 R이 있다. 예를 들어, R의 모든 x에 대해 ,(x₂, y) = 0을 만족하는 y의 값이 정확히₁ 하나이고, y는 x의 연속 함수로서 ϕ(x, y)(x) = 0이다. 기능의 총 차이점은 다음과 같다.

${\displaystyle dy={\frac {\frac {\fract x_{1}{1}:{1}+{\frac {\fract x_{2}}:dx_{2}+}++{\fract y}{\property x_{n}dx_{n};};}$

${\displaystyle d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.}$

dy를 후자의 미분 계수로 대체하고 미분 계수를 등분하는 것은 각각 선형 방정식의 해법으로서 원래 함수의 파생상품 측면에서 x에_i 대한 y의 부분파생물을 첫 번째 순서로 제공한다.

${\displaystyle {\frace \phi}{\frac x_{i}}+{\frace \phi }{\frac }{\fract y}{\fract x_{i}}=0}$

i = 1, 2, …, n에 대해.

여러 실제 변수의 복합 값 함수

여러 실제 변수의 복합값 함수는 이완, 실값 함수의 정의, 실수에 대한 코도메인의 제한, 그리고 복잡한 값을 허용함으로써 정의할 수 있다.

f(x₁, …, x_n)가 이처럼 복잡한 가치 함수라면, 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n}}=g(x_{1},\ldots,x_{n}),}$

여기서 g와 h는 실제 값 함수다. 즉, 복합적인 가치 함수에 대한 연구는 실제 가치 함수의 쌍에 대한 연구로 쉽게 감소한다.

이 감소는 일반적 특성에 효과가 있다. 단, 다음과 같이 명시적으로 지정된 기능의 경우:

${\displaystyle z(x,y,\pi,a,q)={\frac {q}{2\pi }\}\ln \left(x+i-ae^{i\i\i\i1}\right)-\ln \left(x+iy-ae^{-i\i\i\rig)\rig)\rig)}}}}}}}}}$

실제 부분과 가상 부분의 계산은 어려울 수 있다.

적용들

관측 가능한 물리적 양은 (관련 단위와 치수와 함께) 실제 수량이므로 실제 변수의 다변량 기능은 공학 및 물리학에서 불가피하게 발생하며, 일반적으로 하나의 물리적 양은 다른 수량에 따라 달라진다.

여러 실제 변수의 실제 값 함수 예제

연속체 역학의 예로는 질량 분포의 국소 질량 밀도 ,, 공간 위치 좌표에 따라 달라지는 스칼라 장(여기서는 예시할 카르테시안), r = (x, y, z), 시간 t:

${\displaystyle \rho =\rho(\mathbf {r},t)=\rho(x,y,z,t)}$

전기 충전된 물체의 전하 밀도 및 기타 수많은 스칼라 전위장에서도 이와 유사하다.

또 다른 예로는 속도장, 벡터장이 있는데, 속도 v = (v_xy, v, v_z)의 구성요소가 각각 공간 좌표와 유사하게 시간의 다변성 함수인 것이다.

${\displaystyle \mathbf {r},t)=\mathb {v}(x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)}}$

전기장 및 자기장과 같은 다른 물리적 벡터장, 벡터 전위장에서도 이와 유사하다.

또 다른 중요한 예는 열역학에서 상태 방정식, 압력 P, 온도 T, 유체의 체적 V와 관련된 방정식이며, 일반적으로 그것은 다음과 같은 암묵적 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle f(P,V,T)=0}$

가장 간단한 예는 이상적인 가스 법칙이다.

${\displaystyle f(P,V,T)=PV-nRT=0}$

여기서 n은 일정한 양의 물질에 대해 상수인 점의 수이고, R은 기체 상수다. 훨씬 더 복잡한 국가 방정식은 경험적으로 도출되었지만, 그들 모두는 위의 암묵적 형태를 가지고 있다.

몇 가지 실제 변수의 실제 가치 함수는 경제학에서 널리 나타난다. 소비자 이론의 기초에서 효용은 소비되는 다양한 상품의 양의 함수로 표현되며, 각 양은 효용 함수의 논거가 된다. 효용성을 극대화한 결과는 수요함수의 집합으로, 각각 다양한 재화의 가격과 소득이나 부의 함수로서 특정 재화의 요구량을 표현한다. 생산자 이론에서, 기업은 일반적으로 생산되는 다양한 상품의 수량과 고용된 생산의 다양한 요소의 수량의 함수로서 이윤을 최대화하는 것으로 가정된다. 최적화의 결과는 생산의 다양한 요인에 대한 수요 함수의 집합과 다양한 제품에 대한 공급 함수의 집합이다. 이러한 각각의 기능은 상품의 가격과 생산 요인의 주장을 가지고 있다.

여러 실제 변수의 복합 값 함수 예제

일부 "물리적 수량"은 복잡한 임피던스, 복잡한 허용률, 복잡한 투과성 및 복잡한 굴절률과 같이 실제로 복합적으로 평가될 수 있다. 이것들은 온도뿐만 아니라 빈도나 시간과 같은 실제 변수의 기능이기도 하다.

2차원 유체 역학에서, 특히 유체 운동을 2d로 기술하는 데 사용되는 전위 흐름 이론에서, 복합 전위

${\displaystyle F(x,y,\ldots )=\varphi(x,y,\ldots )+i\psi(x,y,\ldots )}$

두 개의 공간 좌표 x와 y, 그리고 시스템과 관련된 다른 실제 변수의 복합적인 가치 함수다. 실제 부분은 속도전위, 가상 부분은 스트림 기능이다.

구형 고조파들은 라플레이스의 방정식에 대한 해결책으로 물리학과 공학에서 발생하며, 또한 실제 값을 구면 극각의 복합 값 함수인 z 성분 각도 운동 연산자의 고유 기능도 포함된다.

${\displaystyle Y_{\ell}^{m}=Y_{\\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$

양자역학에서 파동함수는 반드시 복잡하게 값이 매겨지지만 실제 공간 좌표(또는 운동량 성분)의 함수일 뿐 아니라 시간 t:

${\displaystyle \PSI(\mathbf {r},t)=\PSI(x,y,z,t)\\quad \Phi =\Phi(\mathbf {p},t)=\P_{x,p_{y},p_{z}t)}}}}$

여기서 각각은 푸리에 변환에 의해 관련된다.

참고 항목

• 실제 좌표 공간
• 실분석
• 복합분석
• 여러 복잡한 변수의 함수
• 스칼라장

참조

• F. Ayres, E. Mendelson (2009). Calculus. Schaum's outline series (5th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
• R. Wrede, M. R. Spiegel (2010). Advanced calculus. Schaum's outline series (3rd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-162366-7.
• W. F. Hughes, J. A. Brighton (1999). Fluid Dynamics. Schaum's outline series (3rd ed.). McGraw Hill. p. 160. ISBN 978-0-07-031118-3.
• R. Penrose (2005). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 978-00994-40680.
• S. Dineen (2001). Multivariate Calculus and Geometry. Springer Undergraduate Mathematics Series (2 ed.). Springer. ISBN 185-233-472-X.
• N. Bourbaki (2004). Functions of a Real Variable: Elementary Theory. Springer. ISBN 354-065-340-6.
• M. A. Moskowitz, F. Paliogiannis (2011). Functions of Several Real Variables. World Scientific. ISBN 978-981-429-927-5.
• W. Fleming (1977). Functions of Several Variables. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-902-066.