리만 기하학

기하학.
평면에 구면 투영
개요 역사
나뭇가지 유클리드 비유클리드 타원형 구면 쌍곡선 비아르키메데스 기하학 투사적 아핀 합성 분석 대수적 산술 디오판틴 차동 리만어 심플렉틱 이산 차동 복잡한 유한 디스크리트/컴비네이터리 디지털. 볼록하다 계산 프랙탈 발생률 비가환 기하학 비가환 대수 기하학
개념 특징들 치수 직선 및 나침반 구조 각 곡선 대각선 직교성(수직) 병렬 꼭지점 일치 유사성 대칭
제로차원 포인트
일차원 선 부분 광선 길이
2차원 비행기 지역 폴리곤 삼각형 고도 빗변 피타고라스 정리 평행사변형 광장 직사각형 마름모꼴 마름모꼴 사변형 사다리꼴 연 원형 직경 둘레 지역
입체 용량 큐브 입방체 실린더 피라미드 구
4차원/기타차원 테서랙트 하이퍼스피어
지오메트리
이름으로 아이다 아리아바타 아흐메스 알하젠 아폴로니우스 아르키메데스 아티야 보드하야나 불야이 브라마굽타 카르탄 콕서터 데카르츠 유클리드 오일러 가우스 그로모프 힐베르트 야에하데바 카티아야나 카이얌 클라인 로바체프스키 마나바 민코프스키 밍가투 파스칼 피타고라스 파라메시바라 푸앵카레 리만 사카베 시지 알투시 베블렌 비라세나 양후이 알-야사민 장 기하학 목록
기간별로 BCE 아흐메스 보드하야나 마나바 피타고라스 유클리드 아르키메데스 아폴로니우스 1 ~ 16 진수 장 카티아야나 아리아바타 브라마굽타 비라세나 알하젠 시지 카이얌 알-야사민 알투시 양후이 파라메시바라 1400~1960년대 야에하데바 데카르츠 파스칼 밍가투 오일러 사카베 아이다 1700~1960년대 가우스 로바체프스키 불야이 리만 클라인 푸앵카레 힐베르트 민코프스키 카르탄 베블렌 콕서터 현재 아티야 그로모프
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리만 기하학은 리만 다양체, 즉 점마다 부드럽게 변화하는 각 점의 접선 공간에 있는 내적물을 연구하는 미분 기하학의 한 분야이다.이것은 특히 각도, 곡선의 길이, 표면적 및 부피의 국소적 개념을 제공한다.이들로부터 지역 공헌을 통합함으로써 일부 다른 글로벌 수량을 도출할 수 있다.

리만 기하학은 베른하르트 리만의 비전으로 시작되었으며, 그의 첫 강의인 "기하학의 기초가 되는 가설에 대하여"^[1]에서 표현되었다. 이것은 R에서 표면의³ 미분 기하학의 매우 광범위하고 추상적인 일반화이다.리만 기하학의 발달은 표면의 기하학과 그 위에 있는 측지학의 거동에 관한 다양한 결과를 고차원의 미분 가능한 다양체의 연구에 적용할 수 있는 기술로 합성하는 결과를 낳았다.그것은 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 공식을 가능하게 했고, 군 이론과 표현 이론뿐만 아니라 분석에도 깊은 영향을 미쳤으며, 대수적, 미분적 위상학의 발전을 촉진시켰다.

서론

리만 기하학은 19세기에 베른하르트 리만에 의해 보편적으로 처음 제시되었다.비유클리드 기하학의 표준 유형을 포함하여 미터법 특성이 점마다 다른 광범위한 기하학을 다룬다.

모든 매끄러운 다양체는 종종 미분 위상의 문제를 해결하는 데 도움이 되는 리만 메트릭을 허용합니다.또한 일반 상대성 이론의 주요 대상인 유사 리만 다양체의 보다 복잡한 구조의 엔트리 레벨로도 기능한다.리만 기하학의 다른 일반화로는 핀슬러 기하학이 있다.

규칙 결정의 결점의 수학적 구조와 미분 기하학의 밀접한 유사성이 존재한다.탈구 및 이탈은 비틀림과 ^[2][3]곡률을 발생시킵니다.

다음 문서는 유용한 소개 자료를 제공합니다.

• 미터법 텐서
• 리만 다양체
• Levi-Civita 접속
• 곡률
• 리만 곡률 텐서
• 미분 지오메트리 항목 목록
• 리만 기하학 용어집

고전 정리

다음은 리만 기하학에서 가장 고전적인 정리들의 불완전한 목록입니다.그 중요성과 제형의 우아함에 따라 선택이 이루어집니다.대부분의 결과는 Jeff Cheeger와 D의 고전적인 논문들에서 찾을 수 있다.Ebin(아래 참조).

주어진 공식은 매우 정확하거나 가장 일반적인 것과는 거리가 멀다.이 목록은 기본 정의를 이미 알고 있으며 이러한 정의가 무엇인지 알고 싶은 사용자를 대상으로 합니다.

일반 정리

1. 가우스-보넷 정리 콤팩트한 2차원 리만 다양체의 가우스 곡률의 적분은 2δδ(M)와 같다. 여기서 δ(M)는 M의 오일러 특성을 나타낸다.이 정리는 어떤 콤팩트한 짝수 차원 리만 다양체에 대한 일반화이다. 일반화 가우스-보넷 정리를 참조하라.
2. 내쉬 임베딩 정리.그들은 모든 리만 다양체가 유클리드 공간ⁿ R에 등각적으로 내장될 수 있다고 말한다.

형상이 큼

다음 모든 이론에서 우리는 다지관의 위상 유형 또는 "충분히 큰" 거리에 있는 점의 거동에 대한 정보를 포함하여 공간의 전역 구조에 대한 정보를 도출하기 위해 공간의 일부 국소적 행동(일반적으로 곡률 가정을 사용하여 공식화됨)을 가정한다.

꼬집힌 단면 곡률

1. 구정리M이 단면 곡률 1/4과 1 사이에서 엄밀하게 협착된 단순 연결된 소형 N차원 리만 다양체라면 M은 구와 미분형이다.
2. 치거의 미세성 정리.상수 C, D 및 V가 주어지면 단면 곡률 K c C, 직경 d D 및 부피 v V를 갖는 (미분 동형까지) 콤팩트한 n차원 리만 다양체만 존재한다.
3. 그로모프는 거의 평평한 다지관이야n차원 리만 다양체가 단면 곡률 K θ θ_n 및 직경 θ 1의 메트릭을 갖는 경우_n, 그 유한 피복부는 0의 다양체와 미분 형상이 된다.

아래의 단면 곡률 경계

1. 치거-그로몰의 영혼 정리M이 비콤팩트 완전 비음성 곡선의 N차원 리만 다양체일 경우, M은 콤팩트하고 완전히 측지학적 서브매니폴드 S를 포함하며, M은 S의 정규 다발(S는 M의 영혼이라고 불린다.)과 미분형이다. 특히 M이 모든 곳에서 엄밀하게 양의 곡률을 갖는다면, Peman과ⁿ 미분형이다.영혼 추측의 놀랄 만큼 우아하고 짧은 증거: M은 단 한 점에만 양의 곡률을 갖는다면 R과ⁿ 미분 형상이 된다.
2. 그로모프의 베티 수 정리만약 M이 양의 단면 곡률을 가진 콤팩트하게 연결된 n차원 리만 다양체라면, 그 베티 수의 합은 최대 C가 될 수 있는 상수 C = C(n)가 있다.
3. 그로브-피터슨의 미세성 정리.상수 C, D 및 V가 주어졌을 때 단면 곡률 K c C, 직경 and D 및 부피 v V를 갖는 콤팩트 n차원 리만 다양체의 호모토피 유형만 최종적으로 존재한다.

위의 단면 곡률 경계

1. 카르탄-하다마르 정리는 비양성 단면 곡률을 갖는 완전 단순하게 연결된 리만 다양체 M은 임의의 지점에서 지수 지도를 통해 n = dim M인 유클리드 공간ⁿ R과 미분형상이라고 말한다.이는 비양성 단면 곡률을 갖는 단순하게 연결된 완전한 리만 다양체의 모든 두 점이 고유한 측지선에 의해 결합된다는 것을 의미한다.
2. 음의 단면 곡률을 가진 콤팩트 리만 다양체의 측지학적 흐름은 에르고딕이다.
3. 만약 M이 엄밀하게 음의 상수 k에 의해 위에 경계가 있는 완전한 리만 다양체라면, 그것은 CAT(k) 공간이다.따라서 기본군 δ = δ₁ δ(M)는 그로모프 쌍곡선이다.이는 기본 그룹의 구조에 많은 영향을 미칩니다.

• 그것은 확실히 제시되어 있다.
• δ에 대한 단어 문제에는 양의 해답이 있다.
• 그룹 δ는 유한한 가상 코호몰로지 차원을 가진다.
• 유한 차수의 요소의 공역 클래스만 완전히 다수 포함한다.
• δ의 아벨 부분군은 사실상 순환적이어서, Z×Z와 동형인 부분군을 포함하지 않는다.

Ricci 곡면 아래 한계

1. 마이어스 정리완전한 리만 다양체가 양의 리치 곡률을 갖는다면, 그 기본군은 유한하다.
2. 보히너의 공식.콤팩트 리만 n-매니폴드가 음이 아닌 Ricci 곡률을 갖는다면, 첫 번째 베티 수는 최대 n이며, 리만 다양체가 평탄한 토러스일 경우에만 동일하다.
3. 분할 정리완전한 n차원 리만 다양체가 음이 아닌 리치 곡률과 직선(즉, 각 간격에서 거리를 최소화하는 측지학)을 갖는다면, 그것은 실제 선의 직접적 산물과 음이 아닌 리만 다양체의 완전한 (n-1)차원 리만 다양체에 대해 등각적이다.
4. 비숍-그로모프 부등식양의 Ricci 곡률을 가진 완전한 n차원 리만 다양체에서 반지름 r의 미터법 공 부피는 유클리드 공간에서 같은 반지름 r의 공 부피의 최대 부피를 가진다.
5. 그로모프의 콤팩트성 정리Ricci 곡률 및 직경이 최대 D인 모든 리만 다양체의 집합은 그로모프-하우스도르프 메트릭에서 사전 압축된다.

음의 리치 곡률

1. 음의 Ricci 곡률을 가진 콤팩트 리만 다양체의 등각도 그룹은 이산적이다.
2. 차원 n ≤ 3의 매끄러운 다양체는 음의 리치 ^[4]곡률을 가진 리만 메트릭을 허용한다.(이는 표면에는 해당되지 않습니다.)

양의 스칼라 곡률

1. n차원 토러스는 양의 스칼라 곡률을 가진 메트릭을 허용하지 않습니다.
2. 콤팩트한 n차원 리만 다양체의 주입 반지름이 θθ이면 평균 스칼라 곡률은 최대 n(n-1)이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 우주의 모양
• 곡선 시공간 수학의 기초 입문
• 정상 좌표
• 수축기하학
• 아인슈타인 카르탄 이론의 리만-카르탄 기하학(동기)
• 리만의 최소 표면
• 라일리 공식

메모들

레퍼런스

책들

• Berger, Marcel (2000), Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, University Lecture Series, vol. 17, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2052-4(수백 건의 참고 자료를 포함한 이력 검토 및 조사 제공)
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008), Comparison theorems in Riemannian geometry, Providence, RI: AMS Chelsea Publishing; 1975년 원본의 전재 개정.
• 를 클릭합니다Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian geometry, Universitext (3rd ed.), Berlin: Springer-Verlag.
• 를 클릭합니다Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Petersen, Peter (2006), Riemannian Geometry, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4

• 리만에서 미분 기하학과 상대성(Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos, Eds, Sumio Yamada)으로.스프링거, 2017, XXXIV, 647p. ISBN 978-319-60039-0

페이퍼

• Brendle, Simon; Schoen, Richard M. (2008), "Classification of manifolds with weakly 1/4-pinched curvatures", Acta Math, 200: 1–13, arXiv:0705.3963, Bibcode:2007arXiv0705.3963B, doi:10.1007/s11511-008-0022-7, S2CID 15463483

외부 링크

• V. A.의 리만 기하학수학 백과사전의 토포노고프
• Weisstein, Eric W. "Riemannian Geometry". MathWorld.