σ-finite 조치

In mathematics, a positive (or signed) measure μ defined on a σ-algebra Σ of subsets of a set X is called a finite measure if μ(X) is a finite real number (rather than ∞), and a set A in Σ is of finite measure if μ(A) < ∞. The measure μ is called σ-finite if X is a countable union of measurable sets with finite measure. 측정 공간의 세트에는 측정 가능한 세트와 측정 가능한 세트의 합이 유한한 경우 σ-완료 측정치가 있다고 한다. σ-finite라는 측정치는 유한한 것보다 약한 조건이다. 즉, 모든 유한한 측정치는 σ-finite이지만 유한하지 않은 (많은) σ-finite 측정치가 있다.

시그마-완성과 혼동해서는 안 되는 다르지만 관련된 개념은 s-완성이다.

정의

$({\displaystyle X}$, $){\displaystyle (X,{\mathcal{A})}}$은(는) 측정할 수 있는 공간이고 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 측정 가능한 공간이다.

측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$을(를) 다음과 같은 네 가지 등가 기준 중 하나를 만족하면 μ-finite 측정이라고 한다$$.

1. 세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 한정된 측정값으로 최대 카운트할 수 있는 많은 측정 가능한 세트로 덮을 수 있다$$. 이것은 A1에 설정합니다, A2,…∈{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldotsμ(An)<>로({{A\mathcal}}};모든 n에 ∞{\displaystyle \mu \left(A_{n}\right)<,\infty}∈ N{\displaystylen\in \mathbb{N}}는 ∈ NAnxX{\displaystyle \bigcup 즉⋃ n을 만족하는{n\in \mathbb다는 것을 의미한다. {N}}$A_{n}=X}$^[1].
2. 세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 유한한 측정으로 측정할 수 있는 최대 수의 분리형 세트로 덮을 수 있다$$. 이는 세트 B1, B2,…∈{\displaystyle B_{1},B_{2},\ldotsμ(Bn)<>로({{A\mathcal}}};모든 n에 ∞{\displaystyle \mu \left(B_{n}\right)<,\infty}∈ N{\displaystylen\in \mathbb{N}}와 B나는 ∩ Bj)∅(}B_{j}=\varnothing을 위한 것을 의미한다. i${\displaystyle }$$\bigcup {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{N\mathbb{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{B}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= X ${\displaystyle \bigcup_{n\in \mathb {}B_{n}=X}$을(를) 충족하는$$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i\neq$ j$\}.$
3. 세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 유한 측정으로 측정 가능한 집합의 단조 시퀀스로 덮을 수 있다$$. 이는 세트 C1, C2,…∈ C1⊂ C2⊂({{A\mathcal}}}과{\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots}과μ C_{2}\subset \cdots{\displaystyle C_{1}\subset ⋯(Cn)<>모든 n에 ∞{\displaystyle \mu \left(C_{n}\right)<,\infty}∈ N{\displaystylen\in \mathbb{N}}다는 것을 의미한다. 를t는${\displaystyle \underset{n}{}{}_{}}$ n${\displaystyle \underset{}{n\mathbb{}}}$ ${\displaystyle N_{}}$C ${\displaystyle n}$ =$$X {\$displaystyle \bigcup _{n\$in \$mathb$ {$N} }C_{$n}=$X}$을(를) 만족한다$.$
4. 엄격히 양의 측정 가능한 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가$$) 있으며, 적분은 유한하다.^[2] $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in$ X$}$ 및$$ ( ) < ${\displaystyle \int f(x)\mu (\mathrm {d}$ x$)<poty$

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$이(가)^[3] $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ -finite$$ 측정인 경우 측정 공간$($ , A ,${\displaystyle \mu }$ ) $displaystyle(X,${\$mathcal$ {$A},\mu$ )은$$ $}$ ${\displaystytype \sigma$} -finite$$ 측정 공간이라고 한다$.$

예

르베그 측도

예를 들어, 실제 숫자에 대한 르베그 측도는 유한하지 않지만, fin-핀라이트다. 실제로 모든 정수 k에 대한 간격[k, k + 1)을 고려하십시오. 이러한 간격은 셀 수 없이 많으며, 각각 측정치 1이 있으며, 이들의 조합은 전체 실제 선입니다.

계수척도

또는 계수 측정으로 실제 숫자를 고려하십시오. 유한 집합의 측정치는 집합의 원소 수이며 무한 집합의 측정치는 무한하다. 유한한 척도의 모든 세트에는 미세하게 많은 점만 포함되며, 실제 라인 전체를 커버하려면 헤아릴 수 없이 많은 그러한 세트가 필요하기 때문에 이 척도는 σ-finfinite는 아니다. 그러나 계수 측정값이 있는$$ 자연수 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 집합은 set -finite이다.

로컬 압축 그룹

σ-compact인 로컬 컴팩트 그룹은 Haar 측정에 따라 σ-finite이다. 예를 들어, 연결된 모든 로컬 컴팩트 그룹 G는 σ-compact이다. 이를 보려면 V를 ID의 비교적 작은 대칭(V⁻¹ = V)이 되도록 하십시오. 그러면

${\displaystyle H=\bigcup _{n\in \mathb{N}}}V^{n}}}$

G의 열린 부분군이다. 따라서 H는 또한 그것의 보어는 오픈 세트의 조합이고 G의 연결에 의해 G 그 자체여야 하기 때문에 닫힌다. 따라서 연결된 모든 Lie 그룹은 Haar 측정값 하에서는 fin-finite이다.

무표본

0과 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$의 두 값 ${\displaystyle \inflt$}만 취하는 비교 측정은 분명히 σ-완료성이 아니다$$. One example in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is: for all ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$ if and only if A is not empty; another one is: for all ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$ if and only A을(를) 마운트할 수 없는 경우 0을(를) 선택하십시오. 우연히도, 둘 다 번역이 불가능하다.

특성.

σ-완료 측정의 종류는 매우 편리한 특성을 가지고 있다; σ-완료성은 위상학적 공간의 분리성과 관련지어 비교될 수 있다. 분석에서 일부 이론은 가설로서 σ-완료성을 요구한다. 보통 라돈-니코디름 정리 및 푸비니의 정리 모두 관련 조치에 대한 σ-완료성을 가정하여 명시한다. 그러나, 시걸의 논문 "측정 공간의 동일성"(Am. J. Math. 73, 275 (1953)에서 보듯이, 그들은 더 약한 조건, 즉 지역성만을 필요로 한다.

σ-핀이 아닌 조치들은 때때로 병적인 것으로 여겨지지만, 사실 그것들은 매우 자연스럽게 발생한다. 예를 들어, X가 Hausdorff 치수 r의 미터법 공간인 경우, 모든 저차원 Hausdorff 척도는 X에 대한 척도로 간주될 경우 비-마인트가 된다.

확률 측도에 대한 동등성

공간 X에 대한 모든 σ-마이너이트 측정 μ는 X에 대한 확률 측정값과 동등하다: V_n, n n N은 유한 μ 측정의 쌍으로 분리할 수 있는 세트로 X의 덮개가 되고, w_n, n let N은 양수(중량)의 연속이 되도록 한다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\nft }w_{n}=1.}$

다음에 의해 정의된 조치 ν

${\displaystyle \nu(A)=\sum \{n=1}^{\nflac }{\fract(A\cap V_{n}\오른쪽){\mu \left(V_{n}\오른쪽)}{\mu \left(V_{n}\오른쪽)}}}$

그런 다음 X에 대한 확률 측정값으로, 정확하게 동일한 null 집합을 μs로 한다.

관련개념

온건한 조치

iff이 가장 많이 받았다 μ{\displaystyle \mu}는 적당한 수단이라 하고 보렐 측정 셀 수 있게 많은 개방, A2,…{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots}μ(A나는)<>로 A1에 설정합니다;∞{\displaystyle \mu \left(A(국내에서 한정된 조치의 보렐 σ{\displaystyle \sigma}에 감각 -algebra[4]에)_{나는}\r$igight(모든$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ 및$$ $\bigcup {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ A ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infit }A_{i}=X}$^[5].

모든 온건한 척도는 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma$} -완료적인$$ 척도로, 그 반대는 사실이 아니다.

분해 가능한 조치

정국의 분해할 수 있는 조치라고 불린다가 차갑게 측정 가능한 세트(A나는) 내{\displaystyle \left(A_{나는}\right)_{나는 i\in}}μ(A나는)<>로 ∈, 모든 나는 ∈고 ⋃ 나는{\displaystyle i\in 나는}에 ∞{\displaystyle \mu \left(A_{나는}\right)<,\infty}A자세히 적)X{\displaystyle \bigcup_{i\in 나 ∈ 있}A_{나는}$=X$ 분해 가능한 측정의 경우 유한한 측정값으로 측정 가능한 집합의 수에 제한이 없다는 점에 유의하십시오.

모든 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ -finite$$ 측정은 분해할 수 있는 척도로, 그 반대는 사실이 아니다.

s-cale 대책

측정 $[\displaystyle \mu }$은(는) 최대 카운트할 수 있는 다수의 유한 측정값의 합이라면 s-완료 측정이라고 한다$$.^[2]

모든 최종적인 척도는 S-Finite이고, 그 반대는 사실이 아니다. 증빙 및 counterexample은 s-finite measures#Relation to to-finite measures를 참조하십시오.

참고 항목

• 시그마 부가성

참조