스틴스프링확장정리

수학에서 Stinespring의 확대정리는 W. Forrest Stinespring의 이름을 따서 Stinespring의 인자화 정리라고도 불리며, C*-algebra에 있는 어떤 완전히 긍정적인 지도도 각각 다음과 같은 특별한 형태를 가진 두 개의 완전히 긍정적인 지도들의 구성으로서 나타내는 연산자 이론의 결과물이다.

일부 보조 힐버트 공간 K에 대한 A의 *표현에 이어
T → V*TV 형식의 운영자 지도.

더욱이 Stinespring의 정리는 C*-algebra에서 힐버트 공간의 경계 연산자의 대수까지 이르는 구조 정리다.완전히 긍정적인 지도는 *표현의 단순한 수정이거나 *-호모형이라고 부르기도 한다.

공식화

유니탈 C*-알지브라(unital C*-algebra)의 경우 결과는 다음과 같다.

정리.A를 단핵 C*-알지브라로, H를 힐버트 공간으로, B(H)를 H의 경계 연산자로 한다.완전히 긍정적인 모든 것에 대해서.

[\displaystyle \Phi :A\to B(H),}

힐버트 공간 K와 유니탈 *동형주의가 존재한다.

\pi :A\to B(K)

그런

\표시 스타일 \Phyle \Phi(a)=V^{\ast }\pi (a)V,}

V:H\to K

서

V:H\to K

:

V:H\to K

→ K

{\displaystyle V:

H\to K}

는

V: H \to K

경계 연산자다.게다가, 우리는

\Phi(1)\ =\ V\ ^{2}.

비공식적으로, 모든 완전히 긍정적인 지도 $\Phi$ 은(는) $V^{*}(\cdot )V$ $V^{*}(\cdot )V$ ( $V^{*}(\cdot )V$ V $V^{*}(\cdot )V$ 형식의 지도까지 "life"할 수 있다고 $\Phi$ 말할 수 있다 $V^{*}(\cdot )V$

정리의 반전은 사소한 것으로도 진실이다.그래서 Stinespring의 결과는 완전히 긍정적인 지도를 분류한다.

증거 스케치

우리는 이제 그 증거를 간략하게 스케치한다.Let $K=A\otimes H$ = $K=A\otimes H$ $K=A\otimes H$ $K=A\otimes H$ ${\displaystyle K=A\otimes$ H $K=A\otimes H$ $a\otimes h,\ b\otimes g\in K$ $a\otimes h,\ b\otimes g\in K$ 의 $a\otimes h,\ b\otimes g\in K$ b $g$ g g $a\otimes h,\ b\otimes g\in K$ {\ $displaystyle a\otimes$ h $,\b\otimes$ g $\in$ K $}$ 에 대해 정의한다 $a\otimes h,\ b\otimes g\in K$

\langle a\otimes h,b\otimes g\angle _{K}=\langle \Phi (b^{*}a)h,g\langle h,\langle phi (a^{*b)g\langle _{{H}}

그리고 반선형성에 의해 K 전체로 확장된다. $\Phi$ $\Phi$ 이 $\Phi$ (가) * 작업과 호환되기 때문에 이것은 은둔자의 sesquilinar 형식이다.그런 다음 $\Phi$ $\Phi$ 의 완전한 긍정을 사용하여 $\Phi$ 이 sesquilinar 형식이 사실상 양의 semidefinite라는 것을 보여준다.양성의 반마디파인 에르미트 세스킬린어 형태는 카우치-슈와르즈 불평등을 만족시키기 때문에, 부분집합은 카우치-슈와르즈 불평등을 만족시킨다.

K'=\{x\in K\mid \langle x,x\angle _{K}=0\}\subset K

아공간이다. $K/K'$ 는 K $K/K'$ $K/K'$ ${\$ 의 지수를 고려하여 퇴행성을 제거할 수 있다 $K/K'$ The completion of this quotient space is then a Hilbert space, also denoted by $K$ . Next define $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ and $Vh=1_{A}\otimes h$ . One can check that $\pi$ and $V$ 소기의 성질을 가지다

$V$ $V$ 은(는) H를 K에 자연 대수적으로 내장한 것에 지나지 $V$ 않는다는 점에 유의하십시오. $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ ( $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ ) $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ = $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ ( $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ ) h ${\displaystyle V^{\ast }(a\otimes$ h $)=\Phi (a)h}$ 이(가) 버티고 $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ 있는지 확인할 수 있다.In particular $V^{\ast }V=\Phi (1)$ holds so that $V$ is an isometry if and only if $\Phi (1)=1$ . In this case H can be embedded, in the Hilbert space sense, into K and $V^{\ast }$ , acting on K, becomes the projection oNto H. 상징적으로 우리는 글을 쓸 수 있다.

\표시 스타일 \Phyle \Phi(a)=P_{H}\;\pi (a){\Big }_{H}.}

확장 이론의 언어에서 $\Phi (a)$ ( $){\displaystyle \Phi (a)}$ 는 $\pi (a)$ ( $){\displaystyle \pi (a)}}$ 의 압축이라고 $\Phi (a)$ 하는 것이다 $\pi (a)$ 따라서 모든 일변도의 완전한 포지티브 맵은 어떤 *동형성의 압축이라는 것은 Stinespring의 정리의 진리의 진리이다.

미니멀리티

3중( $三重$ , V, K)은 φ의 Stinespring 표현이라고 불린다. 자연스런 문제는 이제 어떤 의미에서 주어진 Stinespring 표현을 줄일 수 있을 것인가 하는 것이다.

K를₁ $π$ (A) VH의 닫힌 선형경간으로 한다. 일반적으로 *표현의 속성에 따르면 K는₁ 모든 a에 대해 $π$ (a)의 불변적인 하위공간이다.또한 K는₁ VH를 함유하고 있다.정의

\pi _{1}(a)=\pi(a){\Big }_{K_{1}}

우리는 직접 계산할 수 있

{\displaystyle{\begin{정렬}\pi _ᆰ(를)\pi _ᆱ(b)&, =\pi(를){\Big}_{K_{1}}\pi(b){\Big}_{K_{1}}\\&, =\pi(를)\pi(b){\Big}_{K_{1}}\\&,=\pi(농양){년.큰}_{K_{1}}\\&, =\pi _ᆪ(농양)\end{정렬}}}

그리고 K1에 k와ℓ 거짓말이다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\langle \pi,=\langle \pi\rangle \\&(a^{*})k,\ell,=\langle \pi\rangle \\&(를)^{*}k,\ell,=\langle k,\pi\rangle \\&(를)\ell,=\langle k,\pi\rangle \\& _ᆱ(를)\ell,=\langle \pi}\rangle .\end{정렬}_ᆲ(를)^{*}k,\ell}\rangle 및 _ᆯ(a^{*})k,\ell.

Φ의 그래서(π1, V, K1)또한Stinespring 표현 및 추가 속성이 있π(A)VH. 그러한 표현의 K1은 닫힌 선형 범위 최소Stinespring 표현이라고 불린다.

유니크함

제공된 Φ의(π2, V2K2) 두Stinespring 표현(π1, V, K1)자.W:K1→ K2부분적 균등 정의합니다.

{\displaystyle\;W\pi _ᆪ(를)V_{1}h=\pi _ᆬ(를)V_{2}h.}

V1H ⊂ K1일, 이것이 뒤얽히는 관계를 준다.

{\displaystyle\;W\pi _{1}=\pi _{2}W.}

두Stinespring 최소한의 특히 W단위다.따라서 최소한의Stinespring 표현까지 단일 변환에 독특하다.

어떤 결과

우리는 어떤 Stinespring의 정리의 결과로 보여질 수 있는 결과의 몇에 대해 언급한다.역사적으로, 어떤 결과를 아래 Stinespring의 정리에 앞섰습니다.

GNS 시공

그 Gelfand–Naimark–Segal(국민 총공급)건설은 다음과 같다.HStinespring에의 정리, 복소수 포지티브1-dimensional이 되자.그래서 Φ 긍정적인 선형 A에 기능적이다만약 우리가 Φ는 국가적으로 가정하는 그것은, Φ 1, 등고 V:H→ K{\displaystyle 5:norm다.H\to K}에 의해 결정된다.

{V1=\xi\displaystyle}

단위 기준의 일부 ξ ∈ K{\displaystyle \xi \in K}.그렇게

{\begin}\Phi(a)=V^{*}\pi (a)V&=\langle V^{*}\pi (a)V1,1\angle _{H}\\&=\langle \pi (a)V1,V1\rangle _{K}\&=\langle \pi (a)\xi \ci \{K}\end}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

그리고 우리는 국가의 GNS 대표성을 되찾았다.이것은 단지 긍정적인 지도가 아니라 완전히 긍정적인 지도가 긍정적인 기능의 진정한 일반화임을 알 수 있는 한 방법이다.

C*-알지브라에서 선형 양성 기능은 기준 양성 기능이 0인 양성 요소에서 영(0)이면 해당 기능(기준 기능이라고 함)과 관련하여 절대적으로 연속적이다.이것은 라돈-니코딤 정리의 비확정 일반화로 이어진다.표준 추적에 관한 매트릭스 알헤브라의 주들의 통상적인 밀도 연산자는 기준 기능이 추적으로 선택되었을 때 라돈-니코디엠 파생상품에 불과하다.벨라브킨은 다른 (참조) 지도와 관련하여 하나의 완전한 양의 지도에 대한 완전한 절대 연속성의 개념을 도입했고, 완전한 양의 지도에 대한 비확정적 라돈-니코디름 정리의 운영자 변형을 증명했다.매트릭스 알헤브라의 완전히 양성화된 참조지도에 해당하는 이 정리의 특별한 경우는 표준 추적에 관한 CP지도의 라돈-니코딤 파생상품으로서 최 운영자로 이어진다(최의 정리 참조).

최의 정리

최 교수는 G와 H가 각각 치수 n과 m의 유한차원 힐버트 공간인 $\Phi :B(G)\to B(H)}$ 가 완전히 양성이면 $\Phi :B(G)\to B(H)$ φ은 다음과 같은 형태를 취한다는 것을 보여주었다.

\Phi(a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*aV_{i}}}

이를 최의 완전히 긍정적인 지도에 대한 정리라고 한다.최 교수는 선형대수기법을 사용하여 이를 증명했지만, 그의 결과는 Stinespring의 정리를 보여주는 특별한 사례로도 볼 수 있다.φ의 최소 Stinespring 표현으로 하자.최소성 기준으로 K는 C $C^{n\times n}\otimes C^{m}$ $C^{n\times n}\otimes C^{m}$ $C^{n\times n}\otimes C^{m}$ $C^{n\times n}\otimes C^{m}$ $C^{n\times n}\otimes C^{m}$ $C^{n\times n}\otimes C^{m}$ $[\$ C $^{n\times n}\otimes$ C $^{m}}}$ 보다 치수가 작으므로 일반성의 손실 없이 K를 식별할 수 있다 $C^{n\times n}\otimes C^{m}$

K=\bigoplus _{i=1}^{nm}C_{i}^{n}.

각각의 $C_{i}^{n}$ $C_{i}^{n}$ $C_{i}^{n}$ ${\$ 은(는 $C_{i}^{n}$ ) n차원 힐버트 공간의 복사물이다. $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ ( $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ ) $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ ( $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ g $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ ) = $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ g ${\displaystyle \pi ($ $\;P_{i}\pi (a)P_{i}=a$ $)(b\otimes$ g $)=ab\otimes$ g $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ 우리는 위의 K 식별이 P $\;P_{i}\pi (a)P_{i}=a$ = ${\displaysty \;$ 로 배열될 수 $\;P_{i}\pi (a)P_{i}=a$ 을 알 수 있다. $P_{i}\pi (a)pi$ $($ a)P_ $i}=a$ $},$ 여기서 P는_i K에서 $C_{i}^{n}$ i n {\ $displaystyle$ C_ ${i}^{n$ $V_{i}=P_{i}V$ $V_{i}=P_{i}V$ = P $V_{i}=P_{i}V$ $V_{i}=P_{i}V$ ${\displaystyle V_{i}=P_{i}V$ 우리는

\Phi(a)=\sum_{i=1}^{nm}(V^{*}P_{i})(P_{i}P_{i})(P_{i}V)=\sum _{i=1}{nm}{i}^{*aV_{i}}}}}}}}}}}}}}

그리고 최씨의 결과가 증명된다.

최 교수의 결과는 매트릭스 알헤브라의 완전 포지티브 레퍼런스 맵에 해당하는 완전 포지티브(CP) 맵에 대한 비전속 라돈-니코디엠 정리의 특별한 경우다.강력한 연산자 형태에서 이러한 일반 정리는 참조 CP 지도와 관련하여 완전히 연속적인 CP 지도를 나타내는 양의 밀도 연산자의 존재를 1985년 벨라프킨에 의해 증명되었다.기준 Steinspring 표현에서 이 밀도 연산자의 고유성은 단순히 이 표현의 최소성에서 따온 것이다.따라서 최씨의 운영자는 표준 추적에 관한 유한차원 CP맵의 라돈-니코뎀 파생상품이다.

주의할 점은, 슈타인스프링의 공식화에서 벨라브킨의 정리뿐만 아니라 최의 정리를 증명할 때, 그 주장은 공간의 다양한 식별을 명시적으로 하지 않는 한 크라우스 연산자에게 명시적으로 V를_i 부여하지 않는다는 것이다.반면 최씨의 원본 증거에는 이들 사업자에 대한 직접 계산이 포함돼 있다.

나이마르크의 팽창 정리

Naimark의 정리는 어떤 콤팩트한 하우스도르프 공간 X에 대한 모든 B(H) 값, 약하게 계수할 수 있는 추가적 척도를 "lift"할 수 있어 그 척도가 스펙트럼 척도가 될 수 있다고 말한다.C(X)가 C*-알지브라라는 것과 Stinespring의 정리라는 사실을 결합하여 증명할 수 있다.

Sz.-Nagy의 팽창 정리

이 결과는 힐버트 공간의 모든 수축은 최소성 특성과 함께 단일 확장성을 가지고 있다고 말한다.

적용

양자정보이론에서 양자채널, 즉 양자연산은 C*알게브라스사이의 완전한 양성지도로 정의된다.그러한 모든 지도에 대한 분류가 되기 때문에 스타인스프링의 정리는 그런 맥락에서 중요하다.예를 들어, 정리의 고유성 부분은 양자 채널의 특정 클래스를 분류하는 데 사용되었다.

서로 다른 채널의 비교와 상호 피델리티 및 정보의 계산을 위해 벨라브킨이 도입한 "Radon-Nikodym" 파생상품에 의한 채널의 다른 표현이 유용하다.유한차원의 경우, 완전히 양성화된 지도를 위한 벨라브킨의 라돈-니코디름 정리의 트라이앵글 변종으로서의 최의 정리도 관련이 있다.식에서 $\{V_{i}\}$ 연산자 $\{V_{i}\}$ { $\{V_{i}\}$ $\{V_{i}\}$ $\{V_{i}\}$

\Phi(a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*aV_{i}}}

Ⅱ의 크라우스 연산자로 불린다.그 표현

\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}(\cdot )V_{i}}}

operator의 연산자 합계 표현이라고 불리기도 한다.

참조

M.-D. Choi, 복합 행렬, 선형 대수 및 그 적용에 대한 완전 양성 선형 지도, 10, 285–290 (1975)
V. P. Belavkin, P. Staszewski, Radon-Nikodym Organization for Complete Positive Maps, Reports on Mathematical Physics, v. 24, No. 1, 49–55 (1986)
V. Paulsen, Cambridge University Press, 2003, 완전 경계 지도 및 운영자 Alzbras.
W. F. Stinespring, C*-algebras 상의 Positive Functions of American Mathemical Society, 6, 211–216 (1955)

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