와일 텐서

미분 기하학에서, 헤르만 ^[1]바일의 이름을 딴 바일 곡률 텐서는 시공간 또는 더 일반적으로 의사-리만 다양체의 곡률 측정 단위이다.리만 곡률 텐서처럼, 바일 텐서는 측지선을 따라 움직일 때 물체가 느끼는 조력을 표현합니다.바일 텐서는 물체의 부피가 어떻게 변화하는지에 대한 정보를 전달하지 않고, 오히려 조력에 의해 물체의 모양이 어떻게 왜곡되는지에 대한 정보를 전달한다는 점에서 리만 곡률 텐서와 다르다.리치 곡률 또는 리만 텐서의 트레이스 성분은 조력 존재 하에서 부피가 어떻게 변화하는지에 대한 정보를 정확하게 포함하므로, 바일 텐서는 리만 텐서의 트레이스 없는 성분이다.이 텐서는 리만 텐서와 동일한 대칭을 가지지만 트레이스 프리라는 추가 조건을 충족한다. 즉, 모든 지수 쌍에서 메트릭 수축은 0을 산출한다.리치 텐서의 선형 표현인 텐서를 빼서 리만 텐서에서 구한다.

일반 상대성 이론에서, 와일 곡률은 자유 공간에 존재하는 유일한 부분이며, 진공 아인슈타인 방정식의 해답이며,^[2] 물질이 없는 우주 영역을 통한 중력파의 전파를 통제한다.보다 일반적으로, 와일 곡률은 리치 평탄한 다양체에 대한 곡률의 유일한 구성요소이며 항상 아인슈타인 ^[2]다양체의 필드 방정식의 특성을 지배합니다.

치수 2와 3에서는 와일 곡률 텐서가 동일하게 사라진다.치수 ≤ 4에서 와일 곡률은 일반적으로 0이 아니다.만약 Weyl 텐서가 치수 θ 4에서 사라진다면, 메트릭은 국소적으로 균일하다: 메트릭 텐서가 상수 텐서에 비례하는 국소 좌표계가 존재한다.이 사실은 일반 상대성 이론의 선구자였던 노드스트롬의 중력 이론의 핵심 요소였다.

정의.

와일 텐서는 다양한 트레이스를 빼서 전체 곡률 텐서로부터 얻을 수 있다.이것은 리만 텐서를 (0,4) 원자가 텐서로 (측정지표와 수축함으로써) 쓰는 것으로 가장 쉽게 이루어진다.(0,4) 원자가 와일 텐서는 다음과 같다 (Petersen 2006, 페이지 92)

C=R-{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} - {\frac {s}{n}g\right){~\frac \!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g-{\frac {s}{2n(n-1)}}}g{~\frac \!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g

여기서 n은 다지관의 치수, g는 메트릭, R은 리만 텐서, Ric은 리치 텐서, s는 스칼라 곡률, $h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k$ $k {~\wedge \!$ $\!\!\!\!$ $\!\;\bigcirc ~}k}$ 는 $h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k$ 두 개의 대칭(0,2) 텐서의 Kulkarni-Nomizu 곱을 나타냅니다.

디스플레이 스타일(h~\displaystyle, aligned!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)\left(v_{1},v_{2},v_{4}\right)=\h\left(v_{1},v_{3}\right)k\left(v_{2}\right)k\h\left(v_{4}\right)

텐서 성분 표기법에서, 이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.

디스플레이 스타일C_{ik\ell m}=R_{ik\ell m}+{}&{\frac {1}{n-2}\left(R_{im}g_{k\ell}g_{km}+R_{k\ell}g_{k\ell}g_{k\ell}+R_{k\ell}g_{im}-R_{k\ell}{k\ell}\light}{light} } }\{}+{}&{\frac {1}{(n-1)(n-2)}}R\left(g_{i\ell}g_{km}-g_{im}g_{k\ell}\right).\ \ end { aligned } }

통상(1,3) 발렌트 바일 텐서는 상기 메트릭의 역수축으로 구한다.

분해 (1)는 다음과 같은 의미에서 직교 직합으로서 리만 텐서를 나타낸다.

R ^{2} = C ^{2}+\left(\mathrm {Ric} - {\frac {s}{n}g\right} {~\frac \!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right ^{2}+\left {\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\frac \!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right^{2}.

Ricci 분해로 알려진 이 분해는 직교 그룹(싱어 & 소프 1968) 하비 오차의 작용 하에 리만 곡률 텐서를 환원 불가능한 성분으로 표현한다: 대상 없음: CITREFSingerThorpe1968(도움말).치수 4에서 와일텐서는 특수직교기, 자기이중부 및⁺ 안티셀프이중부 C, C의⁻ 작용에 대한 불변인자로 분해된다.

와일 텐서는 또한 Ricci 텐서의 트레이스 조정 배수인 Schouten 텐서를 사용하여 표현될 수 있다.

P=paramfrac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} - {\frac {s}{2(n-1)}}g\right).

그리고나서

\displaystyle C=R-P{~\wedge\!!\!\!\!\!\!\;\;\bigcirc ~}g.

색인에서,^[3]

C_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}\left(g_{a[c]R_{d]b}-{b[c]R_{d]a}\right)+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}}}}:R~g_{a}{d}}

$R_{abcd}$ 서 R $R_{abcd}$ $R_{abcd}$ $R_{abcd}$ d { $displaystyle R$ _ { $abcd$ }는 $R_{abcd}$ 리만 텐서, $R_{ab}$ $R_{ab}$ b $R_{ab}$ { $displaystyle R_{$ ab $R_{ab}$ }는 리치 텐서, $R$ { $displaystyle$ R $}$ 은 $R$ 리치 스칼라(스칼라 곡률), 인덱스 주위의 괄호는 반대칭 부분을 나타냅니다.마찬가지로

{C_{ab}^{cd}={R_{ab}^cd}-4S_{[a]^{[c]\delta_{b]}^{d]}

여기서 S는 Schouten 텐서를 나타낸다.

특성.

컨포멀 재스케일링

와일 텐서는 메트릭에 대한 등각적 변화 하에서 불변한다는 특수 특성을 가지고 있다.즉, 어떤 $g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }$ 의 스칼라 $함수$ f {\ $displaystyle$ f $}$ 에 $f$ 대해 g μ $g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }$ g $g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }$ $fg _$ { \ $mu$ \ $nu$ } $g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }$ = $fg$ _ { \ $mu$ \ $nu }$ = fg _ { \ mu \ nu }일 $g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }$ , (1,3) 발렌타일 텐서는 ${C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}$ ${C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}$ ${C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}$ ${C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}$ ${C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}$ = ${C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}$ 를 ${C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}$ 한다.와일 텐서 상의 는 등각 텐서라고도 불린다.따라서 리만 다양체가 균일하게 평탄해지려면 바일 텐서가 사라져야 한다.치수 ≤ 4에서도 이 조건은 충분하다.치수 3에서 면 텐서의 소실은 리만 다양체가 적합하게 평탄하기 위해 필요하고 충분한 조건이다.모든 2차원(평활) 리만 다양체는 등온 좌표가 존재하기 때문에 균일합니다.

실제로, 적합하게 평평한 척도의 존재는 지나치게 결정된 편미분 방정식을 푸는 것과 같다.

Ddf-df\otimes df+\left(df ^{2}+{\frac {Delta f}{n-2}}\right)g=\operatorname {Ric} .

치수 θ 4에서는 와일 텐서의 소멸이 이 방정식의 유일한 적분성 조건이며, 치수 3에서는 대신 면 텐서이다.

대칭

바일 텐서는 리만 텐서와 동일한 대칭을 가진다.여기에는 다음이 포함됩니다.

({displaystyle {begin{aligned}C(u,v)&=-C(v,u)\\langle C(u,v)w,z\rangle &=-\c(u,v)z,w\rangle \\C(u,v)w,U=0v)\end { aligned}}

물론 Weyl 텐서는 트레이스 프리입니다.

\displaystyle \operatorname {tr} C(u,\cdot)v=0}

모든 u, v. 지수에서 이 네 가지 조건은

{\displaystyle\begin{aligned}C_{abcd}=-C_{bacd}&=-C_{abdc}\\C_{abcd}+C_{acdb}+C_{adbc}&=0\{C^{a}}_{bac}&=0.\end { aligned}}

비앙치 항등식

리만 텐서의 통상적인 두 번째 비앙치 항등식을 추적하는 것은 결국 다음을 보여준다.

\displaystyle \cla _{a}{C^{a}}_{bcd}=2(n-3)\nabla _{c}S_{d]b}

여기서 S는 Schouten 텐서이다.오른쪽의 원자가(0,3) 텐서는 초기 인자와는 별도로 면 텐서이다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Weyl, Hermann (1918-09-01). "Reine Infinitesimalgeometrie". Mathematische Zeitschrift (in German). 2 (3): 384–411. doi:10.1007/BF01199420. ISSN 1432-1823.
^ ^a ^b Danehkar, A. (2009). "On the Significance of the Weyl Curvature in a Relativistic Cosmological Model". Mod. Phys. Lett. A. 24 (38): 3113–3127. arXiv:0707.2987. Bibcode:2009MPLA...24.3113D. doi:10.1142/S0217732309032046. S2CID 15949217.
^ Grön & Hervik 2007, 490페이지

레퍼런스

Hawking, Stephen W.; Ellis, George F. R. (1973), The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09906-4
를 클릭합니다Petersen, Peter (2006), Riemannian geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 171 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0387292462, MR 2243772.
를 클릭합니다Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9.
Singer, I.M.; Thorpe, J.A. (1969), "The curvature of 4-dimensional Einstein spaces", Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira), Univ. Tokyo Press, pp. 355–365
"Weyl tensor", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjørn (2007), Einstein's General Theory of Relativity, New York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2

[1] Weyl, Hermann (1918-09-01). "Reine Infinitesimalgeometrie". Mathematische Zeitschrift (in German). 2 (3): 384–411. doi:10.1007/BF01199420. ISSN 1432-1823.

[Danehkar2009-2] Danehkar, A. (2009). "On the Significance of the Weyl Curvature in a Relativistic Cosmological Model". Mod. Phys. Lett. A. 24 (38): 3113–3127. arXiv:0707.2987. Bibcode:2009MPLA...24.3113D. doi:10.1142/S0217732309032046. S2CID 15949217.

[3] Grön & Hervik 2007, 490페이지

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