지배적 수렴 정리

척도 이론에서, 르베그 지배적인 수렴 정리는 일련의 함수의 거의 모든 곳에서 수렴이 L¹ 규범의 수렴을 암시하는 충분한 조건을 제공한다.그것의 힘과 효용성은 리만 통합에 비해 르베그 통합이 갖는 일차적인 이론적 장점 중 두 가지다.

수학적 분석과 부분 미분방정식에 빈번하게 나타나는 것 외에도 랜덤 변수의 기대값의 수렴에 충분한 조건을 주기 때문에 확률론에서도 널리 사용된다.

성명서

르베게의 지배적인 융합 정리.^[1](f_n) 측정 공간(S, σ, μ)의 복합 값 측정 가능한 함수의 시퀀스가 되도록 한다.시퀀스가 점방향으로 함수 f로 수렴되고 다음과 같은 의미에서 일부 통합 함수 g가 지배한다고 가정하자.

${\displaystyle f_{n}(x) \leq g(x)}$

시퀀스의 색인 집합에 있는 모든 숫자 n과 모든 점 x ∈ S에 대해.그러면 f는 (레베그 의미에서) 통합이 가능하고

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }\int_{S}f_{n}-f \,d\mu =0}$

그것은 또한 암시한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \ft}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu }$

비고 1."g는 통합가능하다"라는 문장은 측정 가능한 함수 g가 르베그 통합가능하다는 것을 의미한다.

$\\displaystyle \int _{S} g \,d\mu <\fty .}$

비고 2.측정 공간(S, σ, μ)이 완성되거나 f가 측정 가능한 함수로 거의 모든 곳에서 μ-알을 기존의 점괘 한계와 일치시키는 측정 가능한 함수로 선택된다면 g에 의한 순서의 수렴과 지배를 완화할 수 있다.(그렇지 않으면 μnull 집합 N ∈ ∈ σ의 측정이 불가능한 부분 집합이 존재할 수 있으므로 f는 측정이 불가능할 수 있기 때문에 이러한 예방조치가 필요하다.)

비고 3.)< ${\displaystyle \mu(S)<\infit$ 지배적인 통합 함수 g가 있다는 조건을 시퀀스(f_n)의 균일한 통합성으로 완화할 수 있는 경우, Vitali 융합 정리를 참조한다.

비고 4.f는 르베그 통합이 가능하지만 일반적으로 리만 통합이 가능하지는 않다.예를 들어$,{\displaystyle }$ f를_n [${\displaystyle 0,}$ 1$]$ {\$displaystyle [0,$1]에 정의하여$$ k${\displaystyle /}$m {\ $k/m$ k 및 m coprime 및 > n ${\displaystym m>n$ 그 밖의 모든 곳에서 0이 되도록 한다.영상 시리즈(f_n)는 점으로 0으로 수렴하므로 f는 0으로 동일하지만 ${\displaystyle f{}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle f_{}}$ ${\$}-f =f_${$n}}}는 유한 구간마다 이미지가${\displaystyle }${${\displaystyle 0,}$ $}{\displaystystyle \{$0,$1\}$이고 따라서 상부와 하부의 Darboux 통합은 각각 1 및 0이기 때문에 Riemboux 통합은$$ Riembern이다.

증명

일반성의 상실 없이 f를 실제와 가상의 부분으로 나눌 수 있기 때문에(실제 및 가상의 상대 모두가 수렴할 경우에만 복잡한 숫자의 순서가 수렴된다는 것을 기억함) f가 진짜라고 가정할 수 있으며, 마지막에 삼각 불평등을 적용할 수 있다.

르베그가 지배하는 융합정리는 파투-르베그 정리의 특수한 경우다.그러나 아래는 파투의 보조정리기를 필수 도구로 사용하는 직접적인 증거다.

f는 g가 지배하는 측정 가능한 함수의 시퀀스(f_n)의 점별 한계이므로, 또한 측정 가능하고 g가 지배하므로 통합이 가능하다.더 나아가 (이러한 것들은 나중에 필요할 것이다)

${\displaystyle f-f_{n} \leq f + f_{n} \leq 2g}$

어느 모로 보나

${\displaystyle \limsup _{n\to \infit }f-f_{n} =0.}$

이 중 두 번째는 사소한 사실(f의 정의에 따르면)이다.레베그 적분(Lebesgue integrity)의 선형성과 단조성을 이용하여

${\displaystyle \왼쪽 \int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\\{S}{S}{(f-f_{n})\,d\right \leq \int \{S}{f_{n},d\}.$

역 Fatou 보조정리(f-f가_n 통합 가능한 함수에 의해 위에서 경계된다는 사실을 사용하는 것이 바로 여기에 있음)

${\displaystyle \limsup _{n\to \f-f_{n}\n} \,d\leq \int_{S}\limsup_{n\to \noth \f_{n} \f_{n} \d\mu =0,}$

한계가 존재하고 사라졌다는 것을 의미하지

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }\int_{S} f-f_{n} \,d\mu =0.}$

마지막으로, 그 이후로

${\displaystyle \lim _{n\fd\mu -\int_{S}f_{n}d\int_{S}d\mu \right \leq \lim_{n\ft}\int_{S} f-f_{n} \mu =,d\mo.}$

우리는 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle \lim _{n\to \ft}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .}$

이제 정리가 끝난다.

가정들이 거의 모든 곳에서 μ-alm만 가지고 있다면, 함수_n f 1이_{S \ N} S의 모든 곳에서 가정을 만족하도록 μ-null 집합 N ∈ σ이 존재한다.그런 다음, 함수 f(x)는 x f_n S \ N에 대해 f(x)의 점괘 한계로 정의되고, f(x) = x n N에 대해 0으로 정의되며, 이 수정된 함수 시퀀스의 점괘 한계로 정의된다.이러한 통합의 값은 이 μ-null 집합 N에서 통합에 대한 이러한 변경에 영향을 받지 않으므로 정리는 계속 유지된다.

DCT는 f가_n f로 수렴해도(완료 측정) 유지하며 지배 기능은 거의 모든 곳에서 음성이 아니다.

가정 논의

순서가 일부 통합 가능한 g에 의해 지배된다는 가정은 무시할 수 없다.이를 다음과 같이 볼 수 있다: 그렇지 않은 경우 간격(0, 1/n]에서 x에 대해_n f(x) = n을 정의하고, 그렇지_n 않은 경우 f(x) = 0을 정의한다.시퀀스를 지배하는 모든 g는 점으로 보는 우월 h = supp_n f도_n 지배해야 한다.을 관찰하다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty }$

고조파 계열의 분리에 의해따라서, Lebesgue 적분의 단조성은 우리에게 [0,1]의 순서를 지배하는 통합 가능한 함수가 존재하지 않는다는 것을 알려준다.직접 계산에 따르면 통합과 포인트와 같은 한계는 다음 순서에 따라 이동하지 않는다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\lim _{n\f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,}$

왜냐하면 순서의 점괘 한계가 영함수이기 때문이다.시퀀스(f_n)는 균일하게 통합할 수 없으므로 Vitali 수렴 정리도 적용되지 않는다는 점에 유의하십시오.

경계 수렴 정리

지배적인 수렴 정리의 한 가지 관점은 경계 수렴 정리인데, 만일 (f_n)가 경계 측정 공간(S, σ, μ)에서 점으로 수렴되는 균일한 경계 복합 값 측정 가능한 함수의 시퀀스라면(즉, μ(S)가 함수 f에 대한 한계치 f는 통합 가능한 함수로서, 한계치 f는 통합 가능한 함수다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }}}}$

비고: 측정 공간(S, σ, μ)이 완성되거나 F가 거의 모든 곳에서 μ-alm과 기존 점 한계치인 거의 모든 곳에서 μ-alm을 일치시키는 측정 가능한 함수로 선택된다면, 시퀀스의 점적 수렴과 균일한 경계가 완화되어 거의 모든 곳에서 μ-alm만 유지할 수 있다.

증명

순서는 균일하게 경계되기 때문에 모든 x ∈ S와 모든 n에 대해_n f(x) ≤ M과 같은 실제 숫자 M이 있다.모든 x ∈ S에 대해 g(x) = M을 정의한다.그러면 순서는 g가 지배한다.더욱이 g는 유한한 척도의 집합에서 일정한 함수이기 때문에 통합할 수 있다.따라서 지배적인 융합 정리로부터 그 결과가 뒤따른다.

가정들이 거의 모든 곳에서 μ-alm만 유지한다면 함수 f1이_nS\N S의 모든 곳에서 가정을 만족하도록 μ-null 집합 N ∈ σ이 존재한다.

L-공간에서^p 지배적인 수렴(코랄러리)

Let ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ be a measure space, 1 ≤ p < ∞ a real number and (f_n) a sequence of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-measurable functions ${\displaystyle f_{n}:$$\Oomega \to \mathb {C}$\cupty $\}컵 \{\inflt$ $\backslash \}\}.$

시퀀스 (f_n)가 거의 모든 곳에서 μ-almost-almost conversion을 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - 측정$$ 가능한 함수 f로 수렴한다고 가정하고 $g{\displaystyle }$ ∈${\displaystyle }$L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ g\$in L^{p}}($$cf$)가 지배한다.Lp space), 즉, 우리가 가진 모든 자연수 n에 대해 f_n μg, 거의 모든 곳에 있는 μ-alm.

그러면 f뿐만 아니라 모든 f가_n ${\displaystyle L^{}}$ p ${\$에 있고$$ 시퀀스(f_n)가 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ L$^{p},$ 즉$:$

${\displaystyle \im_{n\to \f_{n}-f\{p}-f\{p}\ft(\int_{\Oomega}-f ^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}=0.}$

그 증거에 대한 아이디어:원래 정리를 기능 시퀀스 ${\displaystyle h_{}}$= ${\displaystyle f{}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$p}}$에 적용하되$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle 2}$ g${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle p^{}}$ ${\$

확장

지배적인 수렴 정리는 바나흐 공간에서 값을 가진 측정 가능한 기능에도 적용되며 지배적인 함수는 여전히 음성이 아니며 위에서와 같이 통합할 수 있다.거의 모든 곳에서 수렴한다는 가정은 측도의 수렴만 요구하도록 약화시킬 수 있다.

지배적인 융합정리는 조건부 기대에도 적용된다.^[2]

참고 항목

• 랜덤 변수의 수렴, 평균에서의 수렴
• 모노톤 수렴 정리(통합 가능한 함수에 의한 지배를 필요로 하지 않고 대신 시퀀스의 단조성을 가정함)
• 셰페 보조정리
• 균일 통합성
• 비탈리 수렴 정리(레베게가 지배하는 수렴 정리의 일반화)

메모들

참조

• Bartle, R.G. (1995). The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience. ISBN 9780471042228.
• Royden, H.L. (1988). Real Analysis. Prentice Hall. ISBN 9780024041517.
• Weir, Alan J. (1973). "The Convergence Theorems". Lebesgue Integration and Measure. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.
• Williams, D. (1991). Probability with martingales. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Zitkovic, Gordan (Fall 2013). "Lecture10: Conditional Expectation" (PDF). Retrieved December 25, 2020.