이산 스펙트럼(수학)

수학에서, 특히 스펙트럼 이론에서, 닫힌 선형 연산자의 이산 스펙트럼은 해당 리에즈 프로젝터의 등급이 유한한 것과 같은 스펙트럼의 격리된 지점들의 집합으로 정의된다.

정의

A point ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ in the spectrum ${\displaystyle \sigma (A)}$ of a closed linear operator ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ in the Banach space ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ with domain ${\displaysty$다음 두 조건이 충족되는 경우$$, ${\displaystyle {le\mathrm{}}_{}}$ ${\mathfrak{D}(A)\subset {\mathfrak$${\displaystyle \{{\mathrm{B}}_{}}$$}}}$은(는${\displaystyle {)}_{}}$$A$${\$$displaystyle$$\sigma _{\mathrm {disc} }(A)$의 이산$$ ${\displaystyle {\mathrm{스펙트럼}}_{}}$에 속한다고 한다$$.^[1]

1. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) $\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \sigma (A)}$;의 절연 지점이다$$.
2. The rank of the corresponding Riesz projector ${\displaystyle P_{\lambda }={\frac {-1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\Gamma }(A-zI_{\mathfrak {B}})^{-1}\,dz}$ is finite.

Here ${\displaystyle I_{\mathfrak {B}}}$ is the identity operator in the Banach space ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ and ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {C} }$ is a smooth simple closed counterclockwise-oriented curve bounding an open region ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C}$$}$ such that ${\displaystyle \lambda }$ is the only point of the spectrum of ${\displaystyle A}$ in the closure of ${\displaystyle \Omega }$; that is, ${\displaystyle \sigma (A)\cap {\overline {\Omega }}=\{\lambda \}.$$}$

정상 고유값과의 관계

이산 스펙트럼 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 정상 고유값 집합과 일치한다$.$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc}=\{{\mbox{}}}}}}}}일반 고유값 }}}$^[2][3][4]

유한 대수적 다중의 격리된 고유값과의 관계

일반적으로,Riesz 프로젝터의 계급은 뿌리 직계 Lλ{L\displaystyle{\mathfrak{}}_{\lambda}의 치수보다}해당하는 고유 값의, 특별히 그것 d가 가능하다는 데 나는 비에이라는 나는 λ<>∞{\displaystyle \mathrm{dim}\,{L\mathfrak{}}_{\lambda}<, \infty}, r 더 클 수 있는 n.k${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ =$$\$displaystyle \mathrm {rank}$\,$P_{\lambda }=\infully$ 따라서 다음과 같은 포함이 있다.

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc}}(A)\subset \{\mbox{subset \{{\mbox{ 한정된 대수적 다수를 갖는 스펙트럼의 분리점}\}.}$

특히 퀘이신닐포텐트 연산자의 경우

${\displaystyle Q:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\qquad Q:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (0,a_{1}/2,a_{2}/2^{2},a_{3}/2^{3},\dots ),}$

one has ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(Q)=\{0\}}$, ${\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty }$, ${\displaystyle \sigma (Q)=\{0\}}$, ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(Q)=\emptyset }$.

점 스펙트럼과의 관계

The discrete spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)}$ of an operator ${\displaystyle A}$ is not to be confused with the point spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(A)}$, which is defined as the set of eigenvalues of ${\displaystyle A}$. While each point of the 이산 스펙트럼은 점 스펙트럼에 속한다.

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(A)\subset \sigma _{\mathrm {p} }(A),}$

the converse is not necessarily true: the point spectrum does not necessarily consist of isolated points of the spectrum, as one can see from the example of the left shift operator, ${\displaystyle L:\,l^{2}(\mathbb {N} )\$$to l^{2}(\mathbb {N} ),\quad L:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\dots ).}$ For this operator, the point spectrum is the unit disc of the complex plane, the spectrum is the closure of the unit disc, while the discrete spectrum is empty:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p}(L)=\mathb {D}_{1},\qquad \sigma _{1},\qquad \sigma {disc}=\mathrm {}\disc}=\emptyes.}$

참고 항목

• 스펙트럼(기능분석)
• 스펙트럼 분해(기능분석)
• 정규 고유값
• 필수 스펙트럼
• 연산자의 스펙트럼
• 형식주의를 해소하다
• 리에즈 프로젝터
• 프레드홀름 연산자
• 연산자 이론

참조