리에즈 프로젝터

수학, 또는 더 구체적으로 스펙트럼 이론에서, Riesz 프로젝터는 운용자의 특정 고유값에 해당하는 Eigenspace(또는 보다 일반적으로 스펙트럼의 격리된 부분에 해당하는 불변 서브스페이스에 대한 프로젝터) 위에 있는 프로젝터다.1912년 프리게스 리에스에 의해 도입되었다.^[1][2]

정의

Let ${\displaystyle A}$ be a closed linear operator in the Banach space ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Let ${\displaystyle \Gamma }$ be a simple or composite rectifiable contour, which encloses some region ${\displaystyle G_{\Gamma }}$ and lies entirely within the resolvent set ${\displays$$tyle \rho (A)}$ (${\displaystyle \Gamma \subset \rho (A)}$) of the operator ${\displaystyle A}$. Assuming that the contour ${\displaystyle \Gamma }$ has a positive orientation with respect to the region ${\displaystyle G_{\Gamma }}$, the Riesz projector corresponding to ${\displaystyle \Gamma$${}$이(가) 정의됨

${\displaystyle P_{\Gamma }=-{\frac {1}{2\pi \mathrma{i}}}}\point _{\Gammatrma }(A-zI_{\mathfrak {B})^{-1},\mathrmatrmine {d} z;}$

여기서$$ $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {B\mathfrak{}}_{}}$ ${\$은(는) $B{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {\$mathfak{B}}$의 ID 연산자다$.$

If ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$ is the only point of the spectrum of ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle G_{\Gamma }}$, then ${\displaystyle P_{\Gamma }}$ is denoted by ${\displaystyle P_{\lambda }}$.

특성.

연산자 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$${\$$displaystyle P_{\Gamma}}$는 $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$로 통근하는 프로젝터로서$$, 따라서 분해에 있어서

${\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\Gamma }\oplus {\mathfrak {N}}_{\Gamma }\qquad {\mathfrak {L}}_{\Gamma }=P_{\Gamma }{\mathfrak {B}},\quad {\mathfrak {N}}_{\Gamma }=(I_{\mathfrak {B}}-P_{\Gamma }){\mathfrak {B}},}$

$L{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\mathfrak{L}_{\Mathfrak$}}과$$ $N{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{\mathrm{}}}$ ${\$ $}$은 모두 연산자 $A$의 불변적인 하위공간이다$.$ 더욱이

1. ${\displaystyle {하위\mathrm{}}_{}}$ 공간 L ${\$displaystyle $A}$에 대한$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle$ {$L}_{\$Displaystyle $G_{\Gamma$$}}}}$의 제한 스펙트럼은 G {$${\$displaystystyle$ G_{\Gama$\};;\}$에 포함되어 있다$$.
2. 서브스페이스 $N{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle{N}_{\$Displaystyle $}$에 대한 A$${\$displaystyle A$}의 제한 $스펙트럼$은 ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ {$${\$displaystyle G_{\Gamma$}}}}의 닫힘 외부에 있다$$$.$

If ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ and ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ are two different contours having the properties indicated above, and the regions ${\displaystyle G_{\Gamma _{1}}}$ and ${\displaystyle G_{\Gamma _{2}}}$ have no points in common, then the projectors corresponding서로 직교하는 경우:

${\displaystyle P_{\Gamma_{1}{1}P_{\Gamma_{2}}=P_{2}}P_{\Gamma_{1}=0.}$

참고 항목

• 스펙트럼(기능분석)
• 스펙트럼 분해(기능분석)
• 연산자의 스펙트럼
• 형식주의를 해소하다
• 연산자 이론

참조