정규 고유값

수학에서, 특히 스펙트럼 이론에서, 닫힌 선형 연산자의 고유값은 ${\displaystyle A}$ - $\$ I {\$displaystyle A-\lambda$ I$}$이(가${\displaystyle )}$ 경계 반전을 갖는$$ 유한 차원 일반화된 아이겐스페이스와 불변성 아공간으로의 분해를 인정하는 경우 정상이라고 한다.정상 고유값 집합은 이산 스펙트럼과 일치한다.

루트 선

$B{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 바나흐 공간이 되게$$ 한다.The root lineal ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$ of a linear operator ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ with domain ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)}$ corresponding to the eigenvalue ${\displaystyle \lambda \in \sigma _$${p}(A)}$이(가) 다음과 같이 정의됨

${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\{x\in {\mathfrak {D}}(A):\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{j}x\in {\mathfrak {D}}(A)\,\forall j\in \mathbb {N} ,\,j\leq k;\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{k}x=0\}\subset {\mathfrak {B}},}$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {B\mathfrak{}}_{}}$ ${\$은(는) $B{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 ID 연산자다$.$$$이 세트는 $B{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$B}$에서 반드시 닫히지 않기 때문에(예: 유한한 차원) 이 집합은 선형 다지 않다., 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 해당하는$$ $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$의 일반화된 eigenspace라고 불린다$.$

정규 고유값 정의

An eigenvalue ${\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}$ of a closed linear operator ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ in the Banach space ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ with domain ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {$$B}}}$을(를) 정상이라고 한다(원래 용어에서 ${\displaystyle \lambda }$은(는) 일반적으로 분할되는 유한 차원 루트 하위 공간에 해당한다). 다음과 같은 두 조건이 충족되는 경우:

1. λ{\lambda\displaystyle}의 대수적 다양성:ν)희미한 ⁡ Lλ(A)<>∞{L\displaystyle\nu =\dim{\mathfrak{}}_ᆮ(A)<, \infty}, A{A\displaystyle}은 고유치에 해당하는의 Lλ(A){L\displaystyle{\mathfrak{}}_ᆰ(A)}은 만악의 근원 lineal 한정적이다. λ$\displaystyle \lambda }$;
2. The space ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ could be decomposed into a direct sum ${\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)\oplus {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$, where ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$ is an invariant subspace of ${\displ$$A{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ I ${\displaystyle {B\mathfrak{}}_{}}$ ${\$이(가) 경계된 역행성을 갖는$$ $Aystyle A}$

That is, the restriction ${\displaystyle A_{2}}$ of ${\displaystyle A}$ onto ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$ is an operator with domain ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A_{2})={\mathfrak {N}}_{\lambda }\cap {\mathfrak {D}}(A)}$ and with the range${\displaystyle \mathfrak{R}}$${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}\lambda }$ I${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\$^[1][2][3]$N}{\lambda }}}}}}}.$

정규 고유값의 등가 특성화

$A{\displaystyle }$: ${\displaystyle B\mathfrak{}}$→ B ${\$는 Banach $공간{\displaystyle \mathfrak{}}$B {\$displaystyle${\$mathfak{B$}}에서 폐쇄된 선형 조밀하게 정의된 연산자. 다음 문장은 동등하다^[4]$($Thorem III.88):

1. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \in }$ (${\displaystyle }$A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$은(는) 정상적인 고유값이다.
2. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$는 $\sigma {\displaystyle }$ $){\$$displaystyle$ $\sigma (A)}$의 절연 지점이며$$ $A{\displaystyle }$ -${\displaystyle }$- $\lambda I_{\mathfrak{B}}$는 반프레드홀름;
3. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$은(는${\displaystyle )}$ $\sigma {\displaystyle }$ ( ${\displaystyle A}$) ${\displaysty \sigma (A)}$의 절연 지점이며$$ $A{\displaystyle }$ -${\displaystyle }$- ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {B\mathfrak{}}_{}}$ ${\$ A-$\lambda I_{\mathfrak{B}$은 프레드홀름;
4. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma$$$($A$$)}$는 ${\displaystyle \sigma }$ (A$){\$ I_$mathfrak{B}}$의 프레드홀름 지수 0;
5. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$은(는) $\sigma {\displaystyle }$ $){\displaystyle \sigma (A)}$의 고립된 지점이며$$$$ 해당 Riesz 프로젝터 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 순위는 유한하다$$.
6. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$ is an isolated point in ${\displaystyle \sigma (A)}$, its algebraic multiplicity ${\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$ is finite, and the range of ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$ is closed.^[1][2][3]

If ${\displaystyle \lambda }$ is a normal eigenvalue, then the root lineal ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$ coincides with the range of the Riesz projector, ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(P_{\lambda })}$.^[3]

이산 스펙트럼과의 관계

위의 동등성은 정상 고유값 집합이 해당 Riesz 프로젝터의 등급이 유한한 스펙트럼의 격리된 지점 집합으로 정의되는 이산 스펙트럼과 일치한다는 것을 보여준다.^[5]

비자기조인트 연산자의 스펙트럼 분해

바나흐 공간 $B{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle$ {$B}$에 있는$$ 폐쇄 $연산자{\displaystyle }$ ${\displaystyle A\mathfrak{}}$: ${\displaystyle B\mathfrak{}}$→ B ${\$$mathfak${$B}$의 스펙트럼은 정상 고유값 집합과 다섯 번째 유형의 필수 스펙트럼의 조합으로 분해할 수 있다$$.

${\displaystyle \sigma (A)=\{\text{normal eigenvalues of}\A\}\cuppose \sigma _{\mathrm {ess},5}(A)}$

참고 항목

• 스펙트럼 분해(기능분석)
• 이산 스펙트럼(수학)
• 필수 스펙트럼
• 프레드홀름 연산자
• 연산자 이론
• 형식주의를 해소하다
• 리에즈 프로젝터
• 스펙트럼(기능분석)
• 연산자의 스펙트럼

참조