1차 이론 목록

1차 논리학에서, 1차 이론은 일부 언어의 일련의 공리에 의해 주어진다.이 항목에는 모델 이론에서 사용되는 일반적인 예와 그 특성 중 일부가 나열되어 있습니다.

예단

모든 자연 수학 구조에는 이론의 상수, 함수, 관계를 그들의 특성들과 함께 나열하는 시그니처 listing가 있기 때문에 그 객체는 자연스럽게 a-구조가 된다.시그니처 「」를 지정하면, 「」구조에 관한 1차 표현 가능한 사실을 캡쳐 하기 위해서 사용할 수 있는, 일의의 1차 언어_σ L이 있습니다.

이론을 지정하는 일반적인 방법은 두 가지가 있습니다.

1. 이론의 공리라고 불리는 언어_σ L로 된 일련의 문장들을 나열하거나 설명하세요.
2. 일련의 θ-구조를 부여하고, 이 모든 모델에서 L 홀딩의_σ 문장 집합이 되는 이론을 정의하십시오.예를 들어, "유한 필드의 이론"은 모든 유한 필드에서 참인 필드의 언어로 된 모든 문장으로 구성됩니다.

L_σ 이론은 다음과 같습니다.

• 일관성: 모순의 증거가 존재하지 않는다.
• 만족할 수 있다: 이론의 문장이 모두 참인 (완전성 정리에 따르면 만족도는 일관성과 동등하다) δ-정리가 존재한다.
• 완전성: 어떤 진술이든, 그 진술 또는 그 부정은 입증할 수 있다.
• 정량자 제거가 있어야 한다.
• 상상가를 제거하다
• 완전히 공리화할 수 있다.
• 결정 가능:어떤 진술이 입증 가능한지 결정하는 알고리즘이 있다.
• 재귀적으로 공리화할 수 있다.
• 모델 완전 또는 하위 모델 완전
• §-역사적:카디널리티 θ의 모든 모델은 동형이다.
• 안정적이거나 불안정하다.
• (계산이 가능한 이론의 완전 초월과 동일)
• 미신을 믿다
• 원자 모델을 가지고 있다.
• 프라임 모델이 있다.
• 포화 모델을 가지고 있습니다.

순수 동일성 이론

순수한 동일성 이론의 서명은 함수, 상수, 관계 없이 비어 있습니다.

순수한 동일성 이론에는 (논리적이지 않은) 공리가 없다.그것은 결정될 수 있다.

순수한 동일성 이론의 언어로 진술될 수 있는 몇 안 되는 흥미로운 특성 중 하나는 무한하다는 것이다.이는 요소가 최소 2개, 요소가 최소 3개 등이라는 무한대 공리 집합에 의해 제공됩니다.

• ∃x₁ ∃x₂ ¬x₁ = x₂, ∃x₁₂ ∃x xx₃₁₂ = x ∧xx₁₂ = x₃₃, ...

이러한 공리는 무한 집합의 이론을 정의합니다.

유한하다는 것의 반대 특성은 임의로 큰 유한 모델을 가진 이론의 1차 논리에서는 언급될 수 없다: 사실 그러한 이론은 압축성 정리에 의한 무한 모델을 가지고 있다.일반적으로 특성이 1차 논리의 유한한 개수의 문장으로 기술될 수 있는 경우에는 1차 논리에서도 반대 성질을 기술할 수 있지만, 속성이 무한한 수의 문장을 필요로 하는 경우에는 그 반대 성질을 1차 논리에서는 기술할 수 없다.

순수 항등성 이론의 진술은 음이 아닌 정수의 일부 유한 부분 집합 N에 대해 δ(N) 또는 δ(N) 중 하나에 해당한다. 여기서 δ(N)는 요소의 수가 N에 있다는 진술이다.이 언어로 가능한 모든 이론을 다음과 같이 기술하는 것도 가능하다.어떤 이론은 음이 아닌 정수의 일부 유한 부분집합 N에 대한 N의 모든 카디널리티 집합의 이론 또는 음이 아닌 정수의 일부 유한 또는 무한 부분집합 N에 대한 N의 모든 집합의 이론이다. (N이 i의 무한 부분집합일 경우 모델이 정확히 카디널리티 N의 집합인 이론은 없다.)ntegers)완전한 이론은 어떤 유한 n에 대한 카디널리티 n 집합의 이론과 무한 집합의 이론이다.

이것의 한 가지 특별한 경우는 공리 δx δx = x에 의해 정의된 모순된 이론이다.그것은 완전하고, 결정 가능하고, 완전히 공리화할 수 있는 등 많은 좋은 성질을 가진 완벽한 이론이다.유일한 문제는 모델이 전혀 없다는 것입니다.괴델의 완전성 정리에 따르면,^[1] 그것은 모형이 없는 유일한 이론이다.이것은 빈 집합의 이론과 같지 않다(모형을 빈 상태로 만들 수 있는 1차 논리 버전에서). 빈 집합의 이론은 정확히 하나의 모델을 가지며, 그 모델은 요소가 없다.

단항 관계

I의 두 개의 분리된 유한 부분 집합 A와 B에 대해 P(x)가 A에서 참이고 B에서 거짓인 요소_i x가 있을 경우, 어떤 집합 I에서 i에 대한 일원_i 관계 P의 집합을 독립적이라고 한다.독립성은 일련의 1차 문장으로 표현할 수 있습니다.

셀 수 있는 수의 독립 단항 관계 이론은 완전하지만 원자 모형은 없다.그것은 또한 슈퍼스타블이지만 완전히 초월적이지는 않은 이론의 한 예이다.

등가 관계

동등성 관계의 시그니처에는 ~, 상수 및 함수 없이 하나의 이항 인픽스 관계 기호가 있습니다.동등성 관계는 다음 공리를 충족합니다.

• 재귀적 δxx~x;
• 대칭 δx δy x~y → y~x;
• 추이: xx ∀y zz (x~y y y~z) → x~z.

동등성 관계의 일부 1차 특성은 다음과 같습니다.

• ~에는 무한한 수의 동등성 클래스가 있습니다.
• ~는 (고정 양의 정수 n에 대해) 정확히 n개의 동등성 클래스를 가진다.
• 모든 동등성 클래스는 무한합니다.
• 모든 동등성 클래스는 크기가 정확히 n(고정 양의 정수 n)입니다.

정확히 두 개의 무한 등가 클래스와의 등가 관계 이론은 θ-범주적이지만 더 큰 기수에 대해서는 범주적이지 않은 이론의 쉬운 예입니다.

등가 관계 ~를 동일성 기호 '='와 혼동해서는 안 됩니다. x=y이면 x~y이지만 그 반대가 반드시 참인 것은 아닙니다.동등성 관계의 이론은 그렇게 어렵거나 흥미롭지는 않지만, 종종 다양한 진술에 대한 쉬운 예나 반례를 제시합니다.

다음과 같은 구성은 특정 스펙트럼을 가진 이론의 예를 생성하는 데 가끔 사용된다. 실제로 소수의 명시적 이론 T에 적용하면 모든 가능한 셀 수 없는 스펙트럼을 가진 완전한 계산 가능 이론의 예를 얻을 수 있다.만약 어떤 언어에서 T가 이론이라면, 우리는 언어에 새로운 이진 관계를 더하고, 그것이 동등 관계임을 나타내는 공리를 추가하여 새로운 이론^T 2를 정의하며, 모든 것이 T의 모델인 등가 클래스가 무한히 존재한다.이 구성을 연속적으로 반복할 수 있다. 순서수 α가 주어지면, β<α마다 당량 관계_β E를 추가하여 새로운 이론을 정의하며_γ, β<α마다 각 E 당량 클래스는 무한히 많은_β E 당량 클래스의 결합이고, 각 E₀ 당량 클래스는 T의 모델이라는 공리를 명시한다.비공식적으로, 사람들은 이 이론의 모델을 모든 잎에 T의 모델이 부착된 높이 α의 나무를 무한히 분기시키는 것으로 시각화할 수 있다.

주문

오더 시그니처에는 상수나 함수는 없고, 1개의 바이너리 관계 기호 「」가 있습니다(물론 기본 관계로서 「」, 「<」, 또는 「>」를 사용할 수 있습니다.공리에는 약간의 변화가 있습니다).x 、 y 、 x < y 、 x > y는 y의 약어로 정의됩니다.x 、 x 、 x 、 y < x >

주문의 일부 1차 속성:

• 전이성: xx ∀y ∀z x yy zz xz → x zz
• 재귀: x x x x x
• 반대칭: xx ∀ y y y y y xx → x = y
• 부분:전이성 reflex반사성 ant대칭성
• 선형(또는 전체):부분 "x" x "y" x "y" x " y" x
• 고밀도: "x µz x < z →"y x < y µ y < z" ("2개의 다른 요소 사이에 다른 요소가 있습니다")
• 가장 작은 요소가 있습니다. "x "y x " y "y" y
• 가장 큰 요소는 "x"y y" x 입니다.
• 모든 요소에는 즉시 후계자가 있습니다. "x"y"z x < z ↔ y"z

끝점이 없는 고밀도 선형 차수의 이론(즉, 최소 또는 최대 요소 없음) DLO는 완전하고 δ 범주형이지만 셀 수 없는 기수에는 범주형이 아닙니다.다른 세 가지 매우 유사한 이론이 있습니다. 즉, 다음과 같은 조밀한 선형 순서 이론입니다.

• 가장 작지만 가장 큰 요소는 없습니다.
• 가장 크지만 가장 작은 요소는 아닙니다.
• 최대 및 최소 요소.

순서('빈 서브셋이 아닌 서브셋은 최소의 요소를 가진다')는 1차 속성이 아닙니다.일반적인 정의에는 모든 서브셋에 대한 수량화가 포함됩니다.

격자

격자는 하나의 이진 관계 기호 θ로 구성된 시그니처를 갖는 특수한 종류의 부분 순서 집합 또는 2개의 이진 연산 θ와 θ로 구성된 시그니처를 갖는 대수 구조 중 하나로 간주할 수 있다.두 접근법은 a µb를 a µb = a로 정의함으로써 관련될 수 있다.

두 이항 연산의 경우 격자에 대한 공리는 다음과 같습니다.

가환법칙:		$(\displaystyle\forall b=b\vee a)$		$(\displaystyle\forall b=b\forall a)$
관련법:		$\displaystyle \forall c\;a\vee c=(a\vee b)\vee c}$		$\displaystyle \forall b\forall c\forall c\forall c=(a\forall b)\forall c}$
흡수 법칙:		$\displaystyle a\forall b\;a\veee(a\display b)=a}$		$\displaystyle a\forall b\;a\forall (a\vee b)=a}$

하나의 관계에서 공리는 다음과 같다.

• 위와 같이 is이 부분 순서임을 나타내는 공리.
• ${\displaystyle \mathrm{"}a\mathrm{"}}$ "${\displaystyle b"}$ "$c$ "${\displaystyle c}$" ${\displaystyle "}$c${\displaystyle "}$ "c${\displaystyle \mathrm{"}}$ "${\displaystyle c}$" "${\displaystyle d}$" "${\displaystyle d"}$ ${\displaystyle "}$d${\displaystyle "}$ "$"$ "$displaystyle$ → $"$ c\$$$forall b\forall c\leq a\forall$c$\leq b\forl$ c\forl c\forl c\forq d$\forc"$ ( $right arrow d)$
• ${\displaystyle \mathrm{"}a\mathrm{"}}$ ${\displaystyle \mathrm{"}a"}$ "$a$" "$a$ "leq d" "c${\displaystyle "}$ "${\displaystyle c\mathrm{"}}$ "$"$ "c" "$c"$ "$displaystyle$" "$c"$ "$forall b\leq c\$forall b$leq$ c$\forall$ d$\leq c\forright arrow d"$ ( c\$forall$ d\$forl)$

첫 번째 주문 속성은 다음과 같습니다.

• ${\displaystyle x}$ x${\displaystyle \mathrm{}}$∀ ${\displaystyle y\mathrm{}}$∀ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x(}$ ( ${\displaystyle y}$∧ ${\displaystyle z}$) $=$ ( x${\displaystyle }$∨ ${\displaystyle y}$ )$（ x$∨ ${\displaystyle y}$） \ $displaystyle$ \$forall x\forall$ y$\forall$ z\$forall$ z$\;(y$\forall z$)=($x\$vee y)\$$forl$(분배포격자)
• ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x\mathrm{}}$∀ ${\displaystyle y\mathrm{}}$∀ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x(}$ ( ${\displaystyle xz}$z )${\displaystyle =}$ ( x${\displaystyle }$∨ y )${\displaystyle \wedge }$ ( x${\displaystyle }$∨ ${\displaystyle y}$ ) $display∧$ （ x ∨ ${\displaystyle z}$） \ $displaystyle$ \ $forall$x \ $forall$ y \ $forall$z \ x \$ve ( y$\ $ve$ z ) $=$( x \ $ve$y ) \ latites )

헤이팅 대수는 특정 추가 1차 특성을 가진 격자로 정의할 수 있습니다.

완전성은 격자의 1차 특성이 아니다.

그래프

그래프의 시그니처에는 상수나 함수가 없으며, 여기서 R(x,y)은 "x에서 y까지의 가장자리가 있다"로 읽힌다.

그래프 이론의 공리는 다음과 같다.

• 대칭: µx µy R(x,y)→ R(y,x)
• 반사 방지: µx µR(x,x) ('루프 없음')

랜덤 그래프 이론에는 각 양의 정수 n에 대해 다음과 같은 추가 공리가 있습니다.

• 크기 n의 두 개의 분리된 유한 집합에는 첫 번째 집합의 모든 점과 두 번째 집합의 어떤 점에도 결합되지 않은 점이 있습니다(각 고정 n에 대해 이 문을 그래프 언어로 쓰는 것은 쉽습니다).

랜덤 그래프의 이론은 θ 범주형, 완전형, 결정형이며, 그 계산 가능한 모델을 Rado 그래프라고 합니다.그래프 언어의 문장은 n-vertex 랜덤 그래프 모델이 n으로 한계에서 1이 되는 경향이 있는 경우에만 이 이론에서 참이다.

부울 대수

부울 대수에 사용되는 시그니처와 표기법은 다음과 같습니다.

1. 시그니처에는 2개의 상수(0과 1), 2개의 바이너리 함수('and'와 'or')와 1개의 단항 함수('not')가 있습니다.함수가 1차 논리의 명제 함수와 동일한 기호를 사용하기 때문에 이는 혼란스러울 수 있습니다.
2. 집합론에서, 공통 규칙은 언어가 두 개의 상수, 0과 1과 두 개의 이진 함수 ·와 +, 그리고 하나의 단항 함수를 가지고 있다는 것입니다.세 함수는 첫 번째 규칙의 함수와 동일한 해석을 가지고 있습니다.유감스럽게도 이 협약은 다음 협약과 크게 충돌합니다.
3. 대수학에서, 일반적인 규칙은 언어가 두 개의 상수, 0과 1, 그리고 두 개의 이진 함수 ·와 +를 갖는 것이다.함수 ·는 「」와 같은 의미를 가지지만, a+b는 「a」b」(aab)를 의미합니다.그 이유는 부울 대수에 대한 공리는 1 더하기 δx² x = x를 갖는 환에 대한 공리일 뿐이다. 불행히도 이것은 위에 주어진 집합론의 표준 규칙과 충돌한다.

공리는 다음과 같습니다.

• 분포 격자에 대한 공리(위 참조)
• a a a ,a = 0, a a ¬a = 1 (부정의 성질)
• 어떤 저자들은 하나의 원소를 가진 사소한 대수학을 배제하기 위해 0 = 1의 추가 공리를 더한다.

타르스키는 부울 대수의 이론이 결정 가능하다는 것을 증명했다.

xyy = x의 약자로 x yy를 쓰고 atom(x)을 asx = 0 ∧y y → x = 0 yy = y = 0 yy = x로 쓴다. 즉, "x는 원자"로 읽는다. 즉, 0과 0 사이에 아무것도 없는 0이 아닌 원소이다.다음은 부울 대수의 몇 가지 1차 속성을 나타냅니다.

• 원자: ∀x x = 0 ∨y y xx atom(y)
• 아톰리스: µx µatom(x)

무원자 부울 대수의 이론은 γ-범주적이고 완전하다.

모든 부울 대수 B에 대해 다음과 같이 정의된 몇 가지 불변수가 있다.

• 이상적인 I(B)는 원자와 무원자 원소(아래에 원자가 없는 원소)의 합인 원소로 구성됩니다.
• B의 몫 대수 B는ⁱ 유도적으로 B=B^k+1k, B=B/I^k(B)로⁰ 정의된다.
• 불변 m(B)는 B가 사소한^m+1 최소 정수이며, 그러한 정수가 존재하지 않는 경우에는 θ이다.
• m(B)가 유한하면 불변 n(B)은 이 수가^m(B) 유한하면 B의 원자의 수이고, 이 수가 무한이면 θ이다.
• 불변량 l(B)은 B가 원자이거나 m(B)이 θ이면^m(B) 0이고, 그렇지 않으면 1이다.

두 개의 부울 대수는 불변량 l, m, n이 동일한 경우에만 기본적으로 동등하다.다시 말해, 이러한 불변의 값은 부울 대수 이론의 가능한 완성을 분류한다.가능한 완전한 이론은 다음과 같습니다.

• 사소한 대수(이것이 허용되는 경우, 때때로 011이 공리로 포함됩니다.)
• m = ∞인 이론
• m 자연수, n 자연수 또는 θ 및 l = 0 또는 1인 이론입니다(n = 0인 경우 l = 0).

무리

군 이론의 시그니처는 하나의 상수 1(항등식), t의 값이 t로 나타나는⁻¹ arity 1(역함수), 그리고 보통 항에서 생략되는 arity 2의 함수를 가진다.임의의 정수 n에 대해 t는ⁿ t의 n제곱에 대한 명백한 항의 약어이다.

그룹은 공리에 의해 정의됩니다.

• 아이덴티티: xx 1x =x xx1 =x
• 역: ∀x⁻¹ xx = 1 xxx⁻¹ = 1
• 연관성: 'xy'y'z(xy)z = x(yz)

그룹의 1차 언어로 정의할 수 있는 그룹의 속성은 다음과 같습니다.

• 아벨리안: δxy xy = yx.
• 비틀림 없음: δx² = 1 → x = 1, δx³⁴ = 1 → x = 1, ...
• 나눗셈: ∀x yy² y = x, xx yy³⁴ y = x, ...
• 무한(항등론에서와 같이)
• 지수 n(고정 정수 n의 경우): µxⁿ = 1
• 클래스 n의 null potent(고정 정수 n의 경우)
• 클래스 n의 해결 가능(고정 정수 n의 경우)

아벨 군 이론은 ^[2]결정가능하다.무한 분할 가능한 비틀림 없는 아벨 군 이론과 지수 p의 무한 아벨 군 이론이 완전하다.

유한 그룹의 이론은 모든 유한 그룹에서 참인 그룹의 언어로 된 1차 진술의 집합이다.모든 그룹에 대해 사실이 아닌 문구를 찾는 것이 완전히 간단한 것은 아닙니다. 예를 들어, "2개의 순서 요소가 주어졌을 때, 그것들이 공역적이거나 둘 다와 함께 이동하는 중요하지 않은 요소가 있습니다."가 있습니다.

유한, 자유, 단순, 비틀림의 특성은 1차적인 것이 아닙니다.보다 정확하게는, 이러한 특성 중 하나를 가진 모든 그룹의 1차 이론은 이 속성을 가지지 않는 모형을 가지고 있다.

호출음 및 필드

(단순) 링의 시그니처는 두 개의 상수 0과 1, 두 개의 이진 함수 +와 ×, 그리고 선택적으로 하나의 단항 부정 함수 -를 가집니다.

반지.

공리: 덧셈은 고리를 아벨 군으로 만들고 곱셈은 연관성이 있으며 항등식 1을 가지며 곱셈은 좌우 분포입니다.

교환환

링에 대한 공리와 µxy xy = yx입니다.

필드

교환환에 대한 공리 + δx (θ x = 0 → δy xy = 1) 및 θ 1 = 0. 여기에 제시된 많은 예들은 보편적 또는 대수적 공리만을 가지고 있다.이러한 이론을 만족시키는 구조물의 클래스는 하부구조에서 폐쇄되는 특성이 있다.예를 들어, 곱셈과 역행동의 그룹 동작으로 닫힌 그룹의 하위 집합은 다시 그룹입니다.필드의 시그니처는 보통 곱셈과 덧셈 반전을 포함하지 않기 때문에 역수의 공리는 보편적이지 않으며, 따라서 덧셈과 곱셈으로 닫힌 필드의 하위 구조가 항상 필드인 것은 아닙니다.이 문제는 언어에 단항 역함수를 추가하여 해결할 수 있습니다.

임의의 양의 정수 n에 대하여, 모든 차수 n의 방정식이 근을 갖는 속성은 단일 1차 문장으로 표현될 수 있다.

• 아아아아아아아아아아아아아아아아아아아₁₂...δx_n(...(x₁+a)x₂ +a)x+...)x_n+a = 0

완벽한 필드

필드에 대한 공리와 각 소수 p에 대한 공리는 p 1 = 0(즉, 필드에 특성 p가 있음)이면 모든 필드 요소는 p번째 루트를 가집니다.

특성 p의 대수적으로 닫힌 필드

필드의 공리, 모든 양의 n에 대해 n차수의 모든 다항식이 근을 갖는 공리와 특성을 고정하는 공리.완전한 이론의 고전적인 예들.셀 수 없는 모든 추기경들의 범주형입니다.ACF의_pp 보편적 공리를 만족시키는 모든 구조 N은 충분히 큰 대수적으로 닫힌 필드 M${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ C ${\displaystyle {}_{}}$ $(\$ M$\models$ ACF_${0$의 하위 구조이며, 추가로 그러한 두 개의 포함 N → M은 M형성을 유도한다는 점에서 보편적 영역 특성을 갖는다.

유한 필드

유한장 이론은 모든 유한장에서 참인 모든 1차 진술의 집합이다.예를 들어, 그러한 진술의 유의한 예는 슈발리-경고 정리를 소수장에 적용함으로써 제시될 수 있다.그 이론은 무한한 모델을 많이 가지고 있기 때문에 그 이름은 약간 오해의 소지가 있다.악스는 그 이론이 결정 가능하다는 것을 증명했다.

형식적으로 실제 필드

필드에 대한 공리와 모든 양의 정수 n에 대한 공리는 다음과 같습니다.

• 아아아아아아아아아아아아아아아아아아아₁₂...a_n11 a aa₂₂+aa+...+aa_nn=0 → a₁=0gca₂=0gc...∧ a_n = 0 。

즉, 0은 단순한 제곱합이 아닙니다.

실제 닫힌 필드

형식적으로 실제 필드에 대한 공리와 공리는 다음과 같습니다.

• µx µy (x=yy µx+y=0);
• 모든 홀수 양의 정수 n에 대하여, n차수의 모든 다항식이 루트를 가지고 있음을 나타내는 공리.

실제 닫힌 장 이론은 효과적이고 완전하며 따라서 결정될 수 있다.추가 함수 기호(예: 지수 함수, 사인 함수)를 추가하면 결정 가능성이 변경될 수 있습니다.

p-adic 필드

Ax & Kochen(1965)은 p-adic 장 이론이 결정가능하다는 것을 보여주고 그에 ^[3]대한 일련의 공리를 제시하였다.

기하학.

기하학의 다양한 시스템에 대한 공리는 일반적으로 점, 선, 원, 평면 등과 같은 다른 기하학적 객체에 대응하는 다양한 유형을 가진 입력된 언어를 사용합니다.시그니처는 다른 유형의 오브젝트 간의 바이너리 발생 관계(예를 들어 점이 선상에 있는 관계)로 구성되어 있는 경우가 많습니다.시그니처는 더 복잡한 관계를 가질 수 있습니다.예를 들어 순서 기하학은 3개의 점에 대해 한 개가 다른 두 개의 점 사이에 있는지 여부를 나타내는 삼원적인 "사이의" 관계 또는 두 개의 점 쌍 사이의 "일치" 관계를 가질 수 있습니다.

기하학의 공리화된 시스템의 예로는 순서 기하학, 절대 기하학, 아핀 기하학, 유클리드 기하학, 투영 기하학, 쌍곡 기하학 등이 있다.이러한 기하학적 구조 각각에 대해 다양한 차원에 대한 서로 다른 불평등한 공리 체계가 많이 있습니다.이러한 공리 체계 중 일부는 1차 공리가 아닌 "완전성" 공리를 포함한다.

전형적인 예로서 투영 형상에 대한 공리는 점과 선이라는 두 가지 유형과 점과 선 사이의 이항 발생 관계를 사용합니다.점과 선 변수가 작은 대문자로 표시되고 A에 대한 사고가 aA로 기록될 경우 하나의 공리는 다음과 같습니다.

• ${\displaystyle a\mathrm{}}$∀ ${\displaystyle b\mathrm{}}$¬ ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle b\mathrm{\to }}$ ${\displaystyle Cb}$ B C ∧ B$C （\displaystyle$ \$forall$ a\forall b$\;\lnot a=b\rightarrow$ \rightarrow $C\;aC\land$ bC$}$ ${\displaystyle \mathrm{（}}$ 2개의 다른 점 a,b에 선이 있습니다)
• ${\displaystyle a}$ a${\displaystyle \mathrm{}c}$ b${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{、}}$ C ${\displaystyle 、\mathrm{}}$ ${\displaystyle D}$ 、 ${\displaystyle a}$= b 、 ${\displaystyle a}$ = b${\displaystyle }$、 C${\displaystyle }$、${\displaystyle A}$ 、 ${\displaystyle B}$= ${\displaystyle D}$= $D$\$display$ a \ $forall B$ \ $forall D$\ ; \$lnot$=$$b \ $land$ A \ $land$ B \ $darland$ B \ $darland$ B \ darland B \ d$.$고유)
• $"$ "${\displaystyle c\mathrm{"}}$ "${\displaystyle d\mathrm{"}}$ e${\displaystyle \mathrm{"}}$ ${\displaystyle G\mathrm{"}}$ "${\displaystyle H}$" "${\displaystyle b"}$ "e${\displaystyle }$H${\displaystyle "}$ "${\displaystyle c}$G" "${\displaystyle d}$ G${\displaystyle "}$ ${\displaystyle e}$G ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ "${\displaystyle f\mathrm{"}}$ ${\displaystyle I"}$ "${\displaystyle c"}$ "I${\displaystyle "}$ "${\displaystyle B"}$ "$"$ \ display A \ $style$cd는 교차하는 선 위에 놓이고, ac와 bd도 마찬가지입니다.)
• ${\displaystyle A}$ ∃${\displaystyle \mathrm{}b\mathrm{}}$∃ c${\displaystyle \mathrm{}b}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$c ${\displaystyle A}$ a${\displaystyle }$d A a c A${\displaystyle a}$ d${\displaystyle }$A ${\displaystyle db\mathrm{=}}$ c${\displaystyle }$= c $=$ $c$ = d${\displaystyle }$= d \ $displaystyle$ \ $forall$A \$exists$ b \$display$c \ $bA$\ $land$ dA \ $land dA$\ land b = c \ $not$ b\$land$ b\ land b= $land$ b\ $land$ b\ l = l = $land$ b\ l = l ${\displaystyle \mathrm{=}}$ land b\ l b l b l b l b l b l b l

유클리드는 유클리드 기하학에 대한 모든 공리를 명시적으로 기술하지 않았고, 힐베르트의 공리에서 첫 번째 완전한 목록이 힐베르트에 의해 주어졌다.힐베르트의 공리 중 하나가 2차 완전성 공리이기 때문에 이것은 1차 공리화가 아니다.타르스키의 공리는 유클리드 기하학의 1차 공리화이다.타르스키는 이 공리체계가 완전하고 결정가능하다는 것을 실제 폐쇄장의 완전하고 결정가능하다는 것을 보여주었다.

미분 대수

• 미분장의 이론 DF입니다.

시그니처는 필드(0, 1, +, -, ×)의 시그니처와 단항함수 θ, 파생함수이다.이 공리는 다음과 같은 필드를 위한 공리입니다.

$\displaystyle \forall v,\forall (uv)=u,\display v+v,\display u}$

$\displaystyle \forall u,\display (u+v)=\display u+\display v.}$

이 이론에서 특성이 p, 소수 또는 0이라는 조건을 더하면 특성 p의 미분장의_p 이론 DF를 얻을 수 있다(그리고 아래의 다른 이론들과 비슷하게).

K가 미분 필드인 경우 $상수{\displaystyle }$ k ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle uk}$K :${\displaystyle \mathrm{}(}$ （${\displaystyle u}$ ) ${\displaystyle =}$ 0${\displaystyle \}}$ .$${ $display$ k = \ ${$u$\in$ K : \ $partial ($u ) =$0$ \$$} 。 { $display$ k = \ partial (u ) }$$ 미분완전장 이론은 상수장이 완벽하다는 조건과 함께 미분장 이론이다. 즉, 각 소수 p에 대해 다음과 같은 공리를 갖는다.

$\displaystyle \forall u,\forl (u)=0\land p1=0\right 화살표\display v,v^{p}=u}$

(전체 필드가 완벽한 필드여야 한다고 요구하는 것은 의미가 없습니다. 0이 아닌 특성에서는 차이가 0임을 의미하기 때문입니다.)양자화 제거와 관련된 기술적 이유로, 때때로 공리를 사용하여 시그니처에 새로운 기호 r을 추가함으로써 상수 필드가 완벽해지도록 하는 것이 더 편리합니다.

$\displaystyle \forall u,\forl (u)=0\land p1=0\rightarrow r(u)^{p}=u}$

$\displaystyle \forall u,\lnot \display (u)=0\rightarrow r(u)=0.}$

• 차분 닫힌 장 이론(DCF)은 f와 g가 미분 다항식이고 f의 분리가 0이 아니고 g00과 f가 g보다 큰 차수를 가지면 f(x)=0과 g(x)00을 갖는 장에 x가 있다는 공리를 가진 미분 완전 장 이론이다.

추가

후속 함수를 갖는 자연수의 이론은 상수 0과 단항 함수 S("successor: S(x)는 x+1로 해석됨)로 구성된 시그니처를 가지며 다음과 같은 공리를 갖는다.

1. 'x' s Sx = 0
2. 'x'y Sx = Sy → x = y
3. P(x)를 단일 자유 변수 x를 갖는 1차 공식으로 합니다.다음 공식은 공리입니다.

(P(0) δx(P(x)→P(Sx))) → δy P(y).

마지막 공리(유도)는 공리로 대체될 수 있다.

• 각 정수 n>0에 대해 공리 'x SSS...Sx † x (S 복사본 n개 포함)
• x ¬ x = 0 → y Sy = x

후속 함수를 갖는 자연수의 이론은 완전하고 결정 가능하며, 셀 수 없는 것은 범주적이지만 셀 수 있는 것은 아니다.

프레스버거 산술은 상수 0, 단항 함수 S 및 2항 함수 +로 구성된 부호를 가진 자연수의 이론이다.그것은 완벽하고 결정가능하다.그 공리는

1. 'x' s Sx = 0
2. 'x'y Sx = Sy → x = y
3. µx x + 0 = x
4. x x + Sy = S(x + y)
5. P(x)를 단일 자유 변수 x를 갖는 1차 공식으로 합니다.다음 공식은 공리입니다.

(P(0) δx(P(x)→P(Sx))) → δy P(y).

산술

위에서 설명한 많은 1차 이론은 재귀적으로 열거할 수 있는 일관된 이론으로 확장될 수 있다.이것은 다음 이론의 대부분에 대해 더 이상 사실이 아니다; 그들은 보통 자연수의 곱셈과 덧셈 모두를 부호화할 수 있고, 이것은 그들에게 그들 자신을 부호화할 수 있는 충분한 힘을 준다, 그리고 이것은 괴델의 불완전성 정리가 적용되고 이론들이 더 이상 완전하고 반복적으로 열거될 수 없다는 것을 암시한다.텐트).

산술 이론의 시그니처는 다음과 같다.

• 상수 0;
• 단항함수, 후계함수(여기서는 프리픽스S 또는 프리픽스 또는 postfix로 표시됨)
• "더하기"와 "곱하기"라고 하는 두 개의 이진 함수(infix + 및 ×로 표시됨)

일부 저자는 함수 S 대신 상수 1을 포함하는 서명을 받아들인 다음, S를 St = 1 + t로 명확하게 정의한다.

Robinson 산술(Q라고도 함).(1) 및 (2)는 식별 요소 0을 지배한다. (3)은 S가 주입임을 보증한다.(4)와 (5)는 덧셈의 표준 재귀적 정의이며 (6)과 (7)은 곱셈에 대해서도 마찬가지이다.로빈슨 산수는 유도가 없는 페아노 산수로 생각할 수 있다.Q는 괴델의 불완전성 정리가 지지하는 약한 이론이다.공리:

1. 'x' s Sx = 0
2. x ¬ x = 0 → y Sy = x
3. 'x'y Sx = Sy → x = y
4. µx x + 0 = x
5. x x + Sy = S(x + y)
6. µx x x 0 = 0
7. x×Sy = (x×y) + x.

IΩ은_n 유도식이 δ_n 공식으로 제한된 1차 Peano 산술입니다(n = 0, 1, 2, ...의 경우).이론 II는₀ 종종 III로₀ 나타난다.이것은 페아노 산술의 더욱 강력한 파편들의 연속이다.n = 1의 경우 원시 재귀 산술(PRA)과 거의 같은 강도를 가집니다.지수함수산술(EFA)은 x가 모든 x 및 y에 대해 존재함을^y 나타내는 공리를 가진₀ IΩ입니다(통상적인 속성).

1차 Peano 산술, PA"표준" 산술 이론입니다.위의 공리는 유도 공리 체계와 함께 로빈슨 산술의 공리이다.

• ${\displaystyle (0}$ )${\displaystyle （}$ ${\displaystyle x\mathrm{}}$）${\displaystyle }$→ ( ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle \to }$ (${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle \to }$ ( $x$) \ displaystyle \$phi$ ($0$ ) \ display$style$ \ phi ($0$ ) \ $rightarrow$ \$phi$ ( ${\displaystyle \mathrm{Sx}}$ ) \ $rightarrow$ ( \ $for$all$x$ \$pi$ ($$x$$ ) ） 。may는 x 이외의 자유변수를 포함할 수 있습니다.

Kurt Gödel의 1931년 논문은 PA가 불완전하고 일관되게 반복 열거 가능한 완성이 없음을 증명했다.

완전 산술(진정한 산술이라고도 함)은 산술의 표준 모델인 자연수 N의 이론입니다.그것은 완전하지만 반복적으로 열거할 수 있는 일련의 공리를 가지고 있지 않다.

실제 숫자의 경우 상황은 약간 다릅니다.덧셈과 곱셈만을 포함하는 경우는 정수를 부호화할 수 없기 때문에 괴델의 불완전성 정리는 적용되지 않는다.함수 기호(예: 지수)를 추가할 때 복잡성이 발생한다.

2차 산술

2차 산술은 정수와 정수의 하위 집합에 따라 달라지는 것으로 생각되는 두 가지 유형의 변수를 가진 1차 이론(이름에도 불구하고)을 참조할 수 있습니다(또한 2차 논리에서는 2차 산술이라고 불리는 산술 이론이 있습니다).1차 논리에서의 대응 이론과 달리 불완전한 모델은 1개뿐입니다.)시그니처는 보통 산술의 시그니처 0, S, +, × 와 정수와 서브셋 사이의 멤버쉽 관계 between 가 됩니다(단, 다수의 작은 차이가 있습니다).그 공리는 귀납과 이해의 공리 체계와 함께 로빈슨 산술의 공리이다.

유도 및 이해 체계에서 허용되는 공식에 차이가 있는 2차 산술에는 많은 다른 하위 이론이 있습니다.강도를 높이기 위해 가장 일반적인 5가지 시스템은

• ${\displaystyle {\mathsf{R}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{C}}_{}}$ A $({$ 재귀 이해
• ${\displaystyle {\mathsf{W}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{K}}_{}}$ ${\displaystyle L_{\mathrm{}}}$0 ({$displaystyle {WKL}}_{0$ Weak König의 보조군
• ${\displaystyle {\mathsf{A}}_{}}$ A $({$ 산술적 이해
• ${\displaystyle {\mathsf{A}}_{}}$ R $(\$ 산술적 초한재귀
• ${\displaystyle {}_{}^{}1{\mathsf{}}_{}}$ - ${\displaystyle C_{\mathrm{}}}$A $0${ \ $displaystyle$ \$Pi$_ { 1$$} { \ $mbox$ { - } { \$mathsf${ $CA }$} $_${ 0 } $、$ 1 \ $displaystyle$\ $Pi$_$${ 1 $}^$1$$} 이해

이것들은 2차 산술과 역수학의 기사에 상세히 정의되어 있다.

설정 이론

집합론의 일반적인 시그니처는 상수 및 함수가 없는 하나의 이진 관계 θ를 가집니다.아래의 이론 중 일부는 두 가지 종류의 객체, 집합 및 클래스를 가진 "계급 이론"이다.이것을 1차 로직으로 처리하는 방법에는, 다음의 3가지가 있습니다.

1. 2종류의 1차 로직을 사용합니다.
2. 일반적인 1차 논리를 사용하되 새로운 단항 술어 "Set"를 추가합니다. 여기서 "Set(t)"는 비공식적으로 "t is set"를 의미합니다.
3. 통상적인 1차 로직을 사용하고, 언어에 새로운 술어를 추가하는 대신에, 「Set(t)」를 「y t "y」의 약어로 취급합니다.

일부 1차 집합 이론에는 다음이 포함됩니다.

• 파워셋이 결여된 약한 이론:
  • S' (Tarski, Mostowski, Robinson, 1953년); (최종 공리화 가능)
  • Kripke-Platek 집합론; KP;
  • 포켓 집합 이론
  • 일반 집합론, GST
  • 구성 집합론, CZF
• Mac Lane 집합론과 기초 토포스 이론
• 체르멜로 집합론; Z
• Zermelo-Frankel 집합론; ZF, ZFC;
• 폰 노이만-베네이스-괴델 집합론; NBG; (최종 공리화 가능)
• 아커만 집합론
• 스콧-포터 집합론
• 새로운 기반, NF(최종 정의 가능)
• 양의 집합론
• 모스-켈리 집합론; MK;
• 타르스키-그로텐디크 집합론; TG;

이들 중 하나(일반적으로 ZF)에 추가할 수 있는 추가 1차 공리는 다음과 같습니다.

• 선택 공리, 의존 선택 공리
• 일반화 연속체 가설
• 마틴의 공리(통상 연속체 가설의 부정과 함께), 마틴의 최대치
• ◊ 및 ♣
• 시공성 공리(V=L)
• 적절한 강제 공리
• 분석결정성, 투영결정성, 결정성의 공리
• 많은 큰 기본 원칙들

「 」를 참조해 주세요.

• 수학 영역 용어집
• 수학 이론 목록

레퍼런스

추가 정보

• Chang, C.C.; Keisler, H. Jerome (1989), Model Theory (3 ed.), Elsevier, ISBN 0-7204-0692-7
• Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-58713-1
• Marker, David (2002), Model Theory: An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 217, Springer, ISBN 0-387-98760-6