상대파 방정식

에 대한 일련의 기사의 일부
양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial t}{\psi(t)\rangele ={\hat {H} \psi(t)\rangele }}$ 슈뢰딩거 방정식
소개 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라-켓 표기법 해밀턴어 간섭
기초 상보성 탈착성 얽힘 에너지 레벨 측정 비균등성 양자수 주 중첩 대칭 튜닝링 불확실성 파동함수 무너지다
실험 벨의 부등식 다비슨-제르머 더블 슬릿 엘리추르 바이드만 프랑크-헤르츠 레게트-가그 부등식 마하-젠더 포퍼 양자 지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 스턴-제라흐 휠러의 지연 선택
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 누적 이력(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 개요 베이시안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 국부적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계성 트랜잭션
고급 주제 상대론적 양자역학 양자장 이론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 혼돈 밀도 행렬 산란 이론 양자통계역학 양자기계학습
과학자들 아하로노프 벨 베테 블랙켓 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 다비송 데비예 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크레이머스 파울리 양고기 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 오네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 지만 질링거
v t

양자장 이론
파인만 도표
역사
배경 장 이론 전자기학 약한 힘 강한 힘 양자역학 특수상대성 일반상대성 게이지 이론
대칭 양자역학의 대칭 C대칭 P-대칭 T-대칭 공간 번역 대칭 시간 변환 대칭 회전 대칭 로렌츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 깨짐 자연대칭파단 양-밀스 이론 노에더 전하 위상 전하
도구들 변칙 교차 유효장 이론 기대값 파데예프-포포프 유령 파인만 도표 격자 게이지 이론 LSZ 환원식 파티션 함수 전파자 수량화 정규화 리노말화 진공 상태 윅의 정리 와이트먼 공리
방정식 디라크 방정식 클라인-고든 방정식 프로카 방정식 휠러-드위트 방정식 바그만-위그너 방정식
표준 모델 양자전기역학 전기와크 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전 이론 위상 양자장 이론 끈 이론 초대칭 테크니컬러 만물론 양자 중력
과학자들 앤더슨 안셀름 아티야 바그만 베치 벨라빈 벤더 베테 비요르켄 블뤼어 보골류보프 브로스키 브라우트 갈색 부홀츠 캘런 캐스웰 콜먼 콘스 다센 드위트 디락 다이슨 잉글러트 파데예프 파딘 페르미 파인만 피에르즈 포크 프레덴하겐 프리츠슈 프롤리히 털로 덮인 글래쇼 글림 겔판트 겔만 골드스톤 그리보프 징그럽다 굽타 구랄니크 하그 하이젠베르크 헵 힉스 하겐 't 후프트' 일리오풀로스 잇직슨 이바넨코 재피 조나라시니오 조던 조스트 켈렌 카슬러 켄달 키블 클레바노프 콘체비치 쿠라예프 양고기 란다우 리 리 레만 르페이지 리파토프 낮음 뤼데르 마이아니 메이저나나 몰다세나 미그달 밀스 뮐러 나이마르크 남부 네베우 니시지마 오메 오펜하이머 오스터왈더 파리시 파울리 폴리티저 폴리아코프 포메란추크 포포프 프로카 루엘 살람 슈바르츠 슈윙거 시걸 세이베르크 세메노프 시르코프 스카이르메 스토라 슈테켈베르크 수다르산 시만지크 서링 토모나가 튜틴 벨트만 비라소로 병동 와인버그 바이스코프 갠젤 웨스 웨테리히 바일 윅 와이트먼 위그너 윌체크 윌슨 비튼 양 유카와 자몰로드치코프 자몰로드치코프 짐머만 진 저스틴 주버 주미노
v t

물리학, 특히 상대론적 양자역학(RQM)과 그 입자물리학에 대한 응용에서 상대론적 파동 방정식은 빛의 속도에 버금가는 높은 에너지와 속도에서 입자의 행동을 예측한다.양자장 이론(QFT)의 맥락에서 방정식은 양자장의 역학을 결정한다.일반적으로 ψ 또는 ψ(그리스 psi)로 표현되는 방정식에 대한 해법은 RQM의 맥락에서는 "파장 함수"로, QFT의 맥락에서는 "필드"로 언급된다.이 방정식 자체는 파동 방정식의 수학적 형태를 가지거나 라그랑지 밀도와 전계-기상 오일러-라그랑지 방정식에서 생성되기 때문에 "파동 방정식" 또는 "장 방정식"이라고 불린다(배경은 고전장 이론 참조).

슈뢰딩거 그림에서 파동 함수 또는 필드는 슈뢰딩거 방정식의 해결책이다.

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}\psi = {\hat {H}\psi }$

양자역학의 가설의 하나모든 상대론적 파동 방정식은 양자계를 기술하는 해밀턴 연산자 Ⅱ의 다양한 형태를 명시하여 구성할 수 있다.또는 파인만의 경로 적분 제형은 해밀턴 연산자가 아닌 라그랑지안을 사용한다.

보다 일반적으로 – 상대론적 파동 방정식 뒤에 있는 현대적 형식주의는 로렌츠 그룹 이론으로, 입자의 스핀에서 로렌츠 그룹의 표현과 일치한다.^[1]

역사

1920년대 초: 고전역학과 양자역학

고전 역학의 실패는 분자, 원자, 핵 시스템에 적용되었고 더 작아진 것은 새로운 역학의 필요성을 유발했다: 양자 역학이다.수학적 공식은 1920년대 중반 무렵 드 브로글리, 보어, 슈뢰딩거, 파울리, 하이젠베르크 등이 주도했으며, 당시는 고전 역학과 유사했다.슈뢰딩거 방정식과 하이젠베르크 그림은 큰 양자수의 한계에서 고전적인 운동 방정식을 닮았고, 행동의 양자인 플랑크 상수 ħ이 감소함에 따라 0이 되는 경향이 있다.이것이 통신의 원칙이다.이 시점에서 특수상대성이란 양자역학과 완전히 결합되지 않았기 때문에 슈뢰딩거와 하이젠베르크 제형은 원래 제안된 대로 입자가 빛의 속도 근처로 이동하는 상황이나 각 입자 유형의 수가 변하는 상황(실제 입자 상호작용에서 일어나는 일, 수많은 적)에서는 사용할 수 없었다.입자 해독, 소멸, 물질 생성, 쌍 생성 등의 rms).

1920년대 후반: 스핀-0과 스핀의 상대론적 양자역학1/2 입자

상대론적 영향을 설명할 수 있는 양자역학 시스템에 대한 설명은 1920년대 후반부터 1940년대 중반까지 많은 이론 물리학자들이 추구했다.^[2]상대론적 양자역학의 첫 번째 근거, 즉 양자역학을 함께 응용한 특수상대성이라는 것을 흔히 클라인-고든 방정식이라고 하는 것을 발견한 모든 사람들에 의해 발견되었다.

${\displaystyle -\hbar ^{2}{\frac ^{2}\bar ^{2}+(\hbar c)^{2}\bla ^{2}\ba=(mc^{2})^{2}\bea \bea \bea \bea={2}^{2}$

(1)

에너지 운영자와 모멘텀 운영자를 상대론적 에너지-유동성 관계에 삽입함으로써:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}\}$

(2)

(1)에 대한 해결책은 스칼라 필드다.KG 방정식은 상대론적 이론에서 불가피한 (2)의 이차적 성질의 결과로서 음의 에너지와 확률을 예측하기 때문에 바람직하지 않다.이 방정식은 처음에 슈뢰딩거에 의해 제안되었고, 그는 그러한 이유로 그것을 폐기했는데, 불과 몇 달 후에야 그것의 비상대적 한계(현재 슈뢰딩거 방정식이라고 불리는 것)가 여전히 중요함을 깨달았다.그럼에도 불구하고 – (1)은 스핀-0 보손에 적용된다.^[3]

슈뢰딩거가 발견한 비상대론적 방정식이나 상대론적 방정식은 수소 스펙트럼 시리즈의 미세 구조를 예측할 수 없었다.그 수수께끼 같은 밑바닥 속성이 빙빙 돌았다.첫 번째 2차원 스핀 행렬(Pauli Matrice로 더 잘 알려진 것)은 Pauli 방정식에서 Pauli에 의해 소개되었다; 자기장의 입자에 대한 추가 항을 포함하여 비상대적 해밀턴인과 함께 Schrödinger 방정식이었지만, 이것은 현상학적이었다.Weyl은 Pauli 행렬의 측면에서 상대론적 방정식을 찾았다; Weyl 방정식은 질량이 없는 스핀-1/2 페르미온에 대한 것이다.이 문제는 1920년대 후반 Dirac에 의해 해결되었는데, Dirac은 전자에 대한 등식 (2)의 적용을 다양한 조작에 의해 다음과 같은 형태로 인수했다.

${\displaystyle \left({\frac {E}{c}}-{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} -\beta mc\right)\left({\frac {E}{c}}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta mc\right)\psi =0\,,}$

(3A)

이러한 요인 중 하나는 에너지 및 운동량 연산자를 삽입할 때의 Dirac 방정식(아래 참조)이다.이것은 처음으로 상대론적 파동 방정식에 새로운 4차원 스핀 행렬 α와 β를 도입하고 수소의 미세 구조를 설명했다.(3A)에 대한 솔루션은 다중 구성 요소 스피너 장이며, 각 구성 요소는 (1)을 만족한다.스피너 용액의 주목할 만한 결과는 구성 요소의 절반은 입자를 기술하고 나머지 절반은 항정신병자를 기술한다는 것이다. 이 경우 전자와 양전자.디락 방정식은 현재 모든 거대한 스핀-1/2 페르미온에 적용되는 것으로 알려져 있다.비상대적 한계에서는 파울리 방정식이 회복되는 반면 질량이 없는 경우는 웨일 방정식이 된다.

양자 이론의 랜드마크이긴 하지만 디락 방정식은 스핀-1/2 페르미온에 대해서만 사실이며, 여전히 음의 에너지 해결책을 예측하고 있어(특히, 모든 물리학자들이 음의 에너지 상태의 "디락 바다"에 대해 만족하고 있었던 것은 아니다) 당시 논란을 일으켰던 (특히, 모든 물리학자들이 음의 에너지 상태의 "디락 바다"에 대해 만족하고 있었던 것은 아니다.

1930~1960년대: 고 스핀 입자의 상대론적 양자역학

자연문제는 명확해졌다: 디락 방정식을 어떤 스핀이 있는 입자에 일반화하는 것; 페르미온과 보손 둘 다, 그리고 같은 방정식에서 그들의 항정신병자(Dirac이 그의 방정식에서 도입한 스피너 형식주의와 1929년 반 데어든에 의한 스피너 미적분학의 최근 발달로 인해 가능) 그리고 이상적으로는 양성 e와 함께.에너지 ^[2]용액

이것은 1932년 Majorana가 Dirac에 대한 일탈적인 접근에 의해 도입되고 해결되었다.Majorana는 (3A)의 하나의 "루트"로 간주된다.

${\displaystyle \left({\frac {E}}{c}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} -\beta mc\right)\psi =0\}$

(3B)

여기서 ψ은 현재 무한히 많은 구성요소를 가진 스핀너 장으로, 한정된 수의 텐서 또는 스핀너로 분해할 수 없으며, 부호에서 불변성을 제거한다.행렬 α와 β는 무한 차원 행렬로, 최소 로렌츠 변환과 관련이 있다.그는 3B의 각 성분이 방정식(2)을 만족시킬 것을 요구하지 않고, 대신에 최소 작용의 원리와 로렌츠 그룹 이론의 적용을 통해 로렌츠-인바리안트 작용을 사용하여 방정식을 재생시켰다.^[4][5]

Majorana는 다양한 차원의 파동 방정식(5, 6, 16)을 포함하여 발표되지 않은 다른 중요한 기여를 했다.그것들은 후에 드 브로글리(1934년)에 의해 (좀 더 관여된 방식으로) 예상되었고, 더핀, 케머, 페티아우(1938-1939년경)는 더핀-켐머-페티아우 대수학을 본다.디락-피에르즈-폴리 공식주의는 20세기 초의 스피너들이 새로운 수학 도구였기 때문에 메이저나나보다 더 정교했다. 1932년의 마요르나나의 논문은 완전히 이해하기 어려웠지만, 파울리와 위그너는 1940년 경에 그것을 이해하는 데 시간이 걸렸다.^[2]

1936년의 디락과 1939년의 피에르츠와 파울리는 모든 지수에서 대칭인 불가역 스피너 A와 B로부터 정수 n에 대한 스핀 n + ½의 거대한 입자에 대해 방정식을 작성했다(점수 지수의 의미는 Van der Waerden 표기법 참조).

${\displaystyle p_{\gamma {\dot {\alpha }}}A_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcB_{\gamma \epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}}$

(4A)

${\displaystyle p^{\gamma {\dot {\alpha }}}B_{\gamma \epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcA_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}}$

(4B)

여기서 p는 공변량 스피너 연산자로서의 모멘텀이다.n = 0의 경우, 방정식은 결합된 Dirac 방정식으로 감소하고 A와 B는 원래의 Dirac 스피너로 변환한다.A 또는 B 중 하나를 제거하면 A와 B가 각각 (1)을 충족한다는 것을 알 수 있다.^[2]

1941년 라리타와 슈윙거는 스핀-에 초점을 맞췄다.3⁄2 입자와 라리타-슈윙거 방정식을 도출했으며, 이를 생성하기 위한 라그랑지안을 포함했으며, 이후 정수 n에 대해 n + ½ 회전과 유사한 방정식을 일반화했다.1945년 파울리는 1932년 메이저나가 도입한 일반 사상으로 돌아온 바하바에게 메이저나나의 1932년 논문을 제안했다.하바와 루반스키는 (3A)와 (3B)의 질량 항을 임의 상수로 대체하여 완전한 일반적 방정식 세트를 제안하였는데, 파동 기능이 반드시 따라야 하는 조건 집합에 의거한다.^[6]

마침내 1948년(페인만의 경로 적분 제형이 주조된 해와 같은 해), 바그만과 위그너는 완전히 대칭적인 유한 성분 스피너로 디라크 방정식을 고려하고 로렌츠 그룹 이론(메이저나처럼): 바그만-위그너 에콰를 이용하여 어떤 스핀도 가질 수 있는 거대한 입자에 대한 일반 방정식을 공식화했다.1960년대 초에 바그만-위그너 방정식의 개조는 H. Joos와 Steven Weinberg에 의해 이루어졌다.[2]^[7]와인버그 방정식.이 시기에 다양한 이론가들은 더 높은 스핀 입자를 위한 상대론적 해밀턴인들에 대한 추가 연구를 했다.^[1][8][9]

1960년대-현재

스핀 입자에 대한 상대론적 설명은 양자 이론에서 어려운 문제가 되어 왔다.문제는 부분적으로만 해결되기 때문에 여전히 오늘날 연구의 영역이다; 방정식에 상호작용을 포함하는 것은 문제가 있고, (Dirac 방정식에서도) 역설적인 예측이 여전히 존재한다.^[5]

선형 방정식

다음 방정식은 중첩 원리를 만족시키는 해법, 즉 파동 함수가 가법이다.

전체적으로 공간 구성요소에 대한 1, 2, 3 값, 인덱스 수량의 시간적 구성요소에 대한 0 값을 갖는 그리스 지수를 포함하여 텐서 지수 표기법과 파인만 슬래시 표기법의 표준 규약이 사용된다.파동함수는 ψ으로 표시되며, ∂_μ은 4단 연산자의 구성품이다.

행렬 방정식에서 Pauli 행렬은 μ^μ = 0, 1, 2, 3인 μ로 표시되며 여기서 where은⁰ 2 × 2 ID 행렬이다.

${\displaystyle \pmatrix}{0}={\pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

그리고 다른 행렬들은 그들의 평소의 대표성을 가지고 있다.그 표현

${\displaystyle \mu ^{\mu ^}\equiv \equiv \equiv \ma ^{0}\i1}\i1}\i1}{1}+\i1}\i1}nma ^{2}+\i1}\i1\i1\i1}\i1}{3}}}\i1}i1}ieca _{3}niecaiecdismaiecdismaiecaiecai1}}$

2-성분 스피너 필드에 작용하는 2 × 2 매트릭스 연산자.

감마 행렬은 μ^μ = 0, 1, 2, 3으로 표시되며, 여기서 다시 μ = 0, 1, 2, 3을 나타내며, 선택할 수 있는 여러 가지 표현이 있다.매트릭스 γ은⁰ 반드시 4 × 4 ID 매트릭스는 아니다.그 표현

${\displaystyle i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc\equiv i\hbar (\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma ^{1}\partial _{1}+\gamma ^{2}\partial _{2}+\gamma ^{3}\partial _{3})+mc{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

4-성분 스피너 필드에 작용하는 4 × 4 매트릭스 연산자다.

"mc" 스칼라와 같은 용어는 관련 차원의 ID 매트릭스를 곱하고, 공통 크기는 2 × 2 또는 4 × 4이며, 일반적으로 단순성을 위해 쓰여지지 않는다.

입자 스핀 양자수 s	이름	방정식	방정식이 설명하는 일반적인 입자
0	클라인-고든 방정식	${\displaystyle(\hbar \cHB_{\mu }+imc)(\hbar \bar \cHB^{\mu }-imc)\cHB =0}$	질량이 없거나 질량이 큰 스핀-0 입자(Higgs bosons 등).
1/2	바일 방정식	${\displaystyle \chostma ^{\mu }\reason _{\mu }\reason =0}$	질량이 없는 스핀-1/2 입자.
	디라크 방정식	$\displaystyle \left(i\hbar \partial \!\!)!\!/-mc\right)\cHB =0}$	거대한 스핀-1/2 입자(전자 등)
	투바디 디라크 방정식	${\displaystyle [(\gamma _{1}_{\mu }-{\1}-{\tilde{A}_{1}^{\mu }+m_{1}+{1}+{\tilde{S}}}]\psi =0,}$ ${\displaystyle [(\gamma _{2})_{\mu }-{\tilde{A}_{2}^{\mu }+m_{2}+{\tilde{S}]\\Psi =0.}$	거대한 스핀-1/2 입자(전자 등)
	메이저나 방정식	$\displaystyle i\hbar \partial\!\!/\filename -mc\filename _{c}=0}$	거대한 Majorana 입자.
	브라이트 방정식	${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(\sum _{i}{\hat {H}}_{D}(i)+\sum _{i>j}{\frac {1}{r_{ij}}}-\sum _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\PSI }$	두 개의 거대한 스핀-1/2 입자(전자 등)가 전자적으로 상호작용하여 섭동 이론에서 첫 번째 순서를 정한다.
1	Maxwell 방정식(로렌츠 게이지를 사용한 QED)	${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{}A^{\nu }=e{\overline {\psi }}\gamma ^{\nu }\psi }}}$	광자, 질량이 없는 스핀-1 입자
	프로카 방정식	${\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }-\partial ^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mc}{\hbar }}}}+\put({\frac {mc}{\hbar }오른쪽)^{2})^{2}}A^{\nu }=0}$	거대한 스핀-1 입자(예: W 및 Z 보손).
3/2	라리타-슈윙거 방정식	${\displaystyle \epsilon ^{\mu \nu \rho \ma }\ma }\ma }\major _{\rho }\majustom }{\majustom }{\mu }=0}$	거대한 스핀-3/2 입자.
s	바그만-위그너 방정식	${\displaystyle(-i\hbar \cHB ^{\mu }\mc)__mu }+mc)__{\reason _{1}\reason_{1}}\reason _{1}\reason _{2}\cdots \{3}\cdots \{2s}=0}$ ${\displaystyle(-i\hbar \cHB ^{\mu }\mc)__mu }+mc)__{\reason _{2}\reason _{2}}\reason _{1}\reason '_{2}\reason _{3}\cdots \reason _{2s}=0}$ $\displaystyle \qquad \vdots }$ ${\displaystyle(-i\hbar \cHB ^{\mu }\mc)__mu }+mc)__{\cHB_{2s}\cdots '_{2s}\cdm_{1}\cdm_{2}\cdots \{3}\cdots \{2s}=0}$ 여기서 ψ은 2등급 4성분 스피너다.	임의 회전(보손과 페르미온)의 자유 입자.[8][10]
	주스-윈베르크 방정식	${\displaystyle [(i\hbar )^{2s}\cdots \{1}\mu \{2s}\mu \cdots \cdots \{1}{1}\mu \cdots \{2s}+(mc)^{2s}]\cHB =0}$	임의 회전(보손과 페르미온)의 자유 입자.

선형 게이지 필드

Duffin-Kemmer-Petiau 방정식은 스핀-0과 스핀-1 입자의 대체 방정식이다.

${\displaystyle(i\hbar \cHB ^{a}\reason _{a}-mc)\reason =0}$

RWE 구축

4-벡터 및 에너지-모멘텀 관계 사용

표준 특수 상대성(SR) 4-벡터부터 시작

4자리의 ${\displaystyle X^{\mu }=\mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x}}})}$

4시 15분 ${\displaystyle U^{\mu }=\mathbf {U} =\gamma(c,{\vec {\mathbf {u}}}})}$

4시 15분 ${\displaystyle P^{\mu }=\mathbf {P} =\좌측({\frac {E}{c}}},{\vec {\mathbf {p}}}}}\우측)$

4파장 ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\왼쪽({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k}}}}}\오른쪽)}$

4시 15분 ${\displaystyle \mu }=\mathbf {\mathbf {\mathbf {\mathbf\frac {\\t}{t}}},-{\vec}, {\vec {\mathbf {\}}}\오른쪽)}$

각 4 벡터는 로렌츠 스칼라에 의해 다른 벡터와 관련된다.

${\displaystyle \mathbf{U}}$= ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\mathbf{}}$ X ${\$ $여기$서 {$${\$displaystyle \tau}$은(는) 적절한 시간이다.

${\displaystyle \mathbf{P}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ ${\$$},$ 여기서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\$는 나머지 질량이다.

${\displaystyle \mathbf{K}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle \hslash }$) ${\displaystyle P\mathbf{}}$ ${\$ = $(1/\hbar )\mathbf {P$ 플랑크-아인슈타인 관계와 드 브로글리 물질 파동 관계의 4 벡터 버전이다.

${\displaystyle \mathrm{\partial }}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle K\mathbf{}}$ ${\$}$=-i\mathbf {K$ 이것은 복합 값 평면파의 4단계 버전이다.

이제 표준 로렌츠 스칼라 제품 규칙을 각 제품에 적용하십시오.

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{o}c)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\좌측({\frac {m_{o}c}{\hbar }}}}}}{\hbar }}}^{2}}:$

${\displaystyle \mathbf {\hbar }\cdot \mathbf {\mathbf {\} =\left\frac {-im_{o}c}{\hbar }}}^{2}=\좌측 \frac {m_{o}c}{{{hbar }}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{n)^2}}:}}}^^^^^{2}}:}}}}}}}$

마지막 방정식은 근본적인 양자 관계다.

로렌츠 스칼라 필드 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$에 적용하면 양자 상대론적 파동 방정식의 가장 기본적인 클라인-고든 방정식이 나온다$.$

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot \partial \mathrm{}}$ + ${\displaystyle {m\frac{{}_{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{}_{}}{}}^{}}$ c ${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}0}$ = 0$${\$displaystyle$[\$mathbf$ {\\mathbf $\\fla } +\$cdot \$cdot \mathbf {\c}{m_{o}c}{\hbar }^{2}\fraps$ =0$\}$ : 4-fline =$0}$

${\displaystyle [{\mathrm{}}_{}}$μ ${\displaystyle {\mu }_{}{\mathrm{}}^{}}$μ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ μ${\displaystyle {}^{}}$μ +${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\frac{m_{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{}_{}}{}}^{}}$ c ${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$μ + (m o c} ) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \psi }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [\displaysty ]{\mu }+\fract\$frac${m_{o}c}{\hbar }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\capprek =0$ : 텐서 또는 형식$:$

${\displaystyle [}$ (${\displaystyle \hslash {\mathrm{}}_{\mu }}$μ + i ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ) (${\displaystyle {\mathrm{}}^{}(}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$- i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$c )${\displaystyle }$] ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle [(\hbar$\bar \$partial_{\mu }+im_{o}c)(\hbar$\c \bar $^{\mu }-im_{o}c)\c)\c$}}}}}}}}\c =$0$ : 사실상의 텐서식 형식

슈뢰딩거 방정식은 클라인-고든 방정식의 저속 제한 사례(v << c)이다.

관계가 로렌츠 스칼라 필드 ${\displaystyle \psi }$ 대신$$ 4벡터 $필드{\displaystyle {}^{}}$ A ${\$ $\}\}$에 적용되면 Proca 방정식(로렌츠 게이지):

${\displaystyle [\mathbf {\mathbf {\mathbf {\mathbf {} +\left\fract\frac {m_{o}c}{\hbar }}}}}^{\hbar }}^{2}]A^{\mu }=0}$

나머지 질량 항을 0(빛과 같은 입자)으로 설정하면 자유 Maxwell 방정식(로렌츠 게이지)이 제공된다.

${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0}$

로렌츠 그룹의 표현

Minkowski 공간의 적절한 직교 로렌츠 변환 x → λx에서 모든 단입자 양자상태는 로렌츠 그룹의 일부 표현 D에 따라 스핀 z 성분 σ이 국소 변환된 스핀 j의 ψ이다^j_σ.^[11][12]

${\displaystyle \psi (x)\오른쪽 화살표 D(\Lambda )\psi(\Lambda ^{-1}x)}$

여기서 D(D)는 유한 차원 표현, 즉 행렬이다.여기서 ψ은 허용치인 σ을 가진 성분을 포함하는 column vector로 생각된다.다른 양자수를 나타내는 연속형 또는 이산형 라벨뿐만 아니라 양자수 j와 σ은 억제된다.σ의 한 값은 표현에 따라 두 번 이상 발생할 수 있다.j에 대해 가능한 몇 가지 값을 가진 표현은 다음과 같다.

해석할 수 없는 표현은 반정수 또는 정수(A, B)의 한 쌍으로 분류된다.이 모든 다른 표현들은 텐서 제품과 직접 액수를 취하는 것과 같은 다양한 표준 방법을 사용하여 만들어질 수 있다.특히, 공간 시간 자체는 '^{(1/2, 1/2)} that D'가 되도록 4벡터 표현(1/2, 1/2)을 구성한다.이것을 문맥에 넣기 위해, 디락 스피너는 (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) 표현으로 변형된다.일반적으로 (A, B) 표현 공간에는 (SO)(3)라는 공간 회전의 부분군 아래에 각 허용 값이 허용되는 스핀 j의 물체처럼 명확하게 변형되는 하위 공간이 있다.

${\displaystyle j=A+B, A+B-1,..., A-B,}$

정확히 한 번 일어난다.^[13]일반적으로, 되돌릴 수 없는 표현들의 텐서 생산물은 환원될 수 있다; 그것들은 되돌릴 수 없는 표현들의 직접적인 합으로 분해된다.

D와^{(j, 0)} D는^{(0, j)} 각각 스핀 j의 입자를 나타낼 수 있다.그러한 표현에서 상태 또는 양자 장은 클라인-고든 방정식을 제외하고 어떤 필드 방정식도 만족시키지 못할 것이다.

비선형 방정식

중첩 원리를 만족시키지 못하는 해법이 있는 방정식이 있다.

비선형 게이지장

• 양-밀스 방정식: 비-아벨라 게이지 필드를 설명한다.
• 양-밀스-히그스 방정식: 거대한 스핀-0 입자와 결합된 비아벨리안 게이지 장을 설명한다.

스핀 2

• 아인슈타인 자기장 방정식: 중력장과 물질의 상호작용을 설명한다(무중력 스핀-2 필드):

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\lambda ={8\PI G \over c^{4}}}}}}}}}}}T_{\mu \nu}}}$

해법은 파동함수가 아닌 미터법 텐서장이다.

참고 항목

• 핵 및 입자 물리학의 방정식 목록
• 양자역학의 방정식 목록
• 로렌츠 변환
• 전자기장에 대한 수학적 설명
  • 전자기장 정량화
• 최소 커플링
• 스칼라장 이론
• 특수상대성 현황

참조

추가 읽기