무한 차원 홀로몰피

수학에서 무한 차원 홀로몰피는 함수 분석의 한 분야이다.일반적으로 무한 차원의 복잡한 바나흐 공간(또는 더 일반적으로 프레셰 공간)에서 정의되고 값을 취하는 함수에 대한 완전함수 개념의 일반화와 관련이 있다.이것은 비선형 함수 분석의 한 측면입니다.

복소 평면에 정의된 벡터 값 정형 함수

하나의 복소수 차원을 넘어 홀모픽 함수의 이론을 확장하는 첫 번째 단계는 복소수 평면 C에서 여전히 정의되지만 바나흐 공간에서 값을 취하는 이른바 벡터 값 홀모픽 함수를 고려하는 것입니다.예를 들어, 이러한 함수는 유계 선형 연산자를 위한 정형 함수 미적분을 구성하는 데 중요하다.

정의.함수 f : U → X, 여기서 U δ C는 열린 부분 집합이고 X는 복소수 바나흐 공간이다. 복소수 미분 가능한 경우, 즉 각 점 z δ U에 대해 다음과 같은 한계가 존재한다.

${\displaystyle f'(z)=\lim _{\zeta \to z}{\frac {f(\zeta)-f(z)}{\zeta -z}}}.}$

벡터값 정칙함수 f : U → X의 직선적분을 정류곡선을 따라 복소값 정칙함수와 같은 방법으로 정의하면 된다.

$(\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}f(\displaystyle (t_{k})),\display(t_{k-1}) )$

여기서 a = t₀ < t₁ < ...< t_n = b는 분할 간격의 길이가 0에 가까워짐에 따라 구간 [a, b]의 분할이다.

코시 적분 정리가 벡터 값 정형의 함수에 대해서도 유지된다는 것은 간단한 확인입니다.실제로, 만약 f : U → X가 그러한 함수이고 T : X → C가 유계 선형 함수라면, 누군가는 다음을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle T\left(\int _{\circ }f(z),dz\right)=\int _{\circ }(T\circ f)(z),dz.}$

또한 T o f : U → C라는 조성물은 복소값의 정형함수이다.따라서 내부가 U에 포함된 단순 폐곡선의 경우 오른쪽 적분은 고전적인 코시 적분 정리에 의해 0이다.그러면, T는 임의적이므로, 한-바나흐 정리로부터 다음과 같이 된다.

$\displaystyle \int _{\display }f(z),dz=0}$

이는 벡터 값 사례에서 코시 적분 정리를 증명한다.

이 강력한 도구를 사용하면 코시의 적분식을 증명할 수 있으며, 고전적인 경우와 마찬가지로 벡터 값 정형함수가 해석적이라는 것을 증명할 수 있다.

함수 f : U → X가 홀모픽이 되는 유용한 기준은 T o f : U → C가 모든 연속 선형 함수 T : X → C에 대하여 홀모픽 복소값 함수라는 것이다.이러한 f는 약하게 정형이다.프레셰 공간의 값을 갖는 복소 평면의 열린 부분 집합에서 정의된 함수는 약하게 정공형인 경우에만 정공형임을 보여줄 수 있다.

바나흐 공간 사이의 정칙 함수

보다 일반적으로, 두 개의 복잡한 바나흐 공간 X와 Y와 열린 집합 U δ X, f : U → Y가 주어졌을 때, f의 프레셰 도함수가 U의 모든 점에 존재한다면, f : U → Y는 정칙형이라고 불린다. 이 보다 일반적인 맥락에서 정칙형함수는 여전히 해석적이며, 즉, 정칙형함수가 직렬로 확장될 수 있다는 것을 보여줄 수 있다.그러나 어떤 함수가 정의되고 공에 홀모형이 되면 공의 중심을 중심으로 한 멱급수가 공 전체에 수렴한다는 것은 더 이상 사실이 아니다. 예를 들어,^[1] 수렴 반경이 유한한 전체 공간에 정의된 홀모형 함수가 존재한다.

위상 벡터 공간 사이의 정칙 함수

일반적으로, 두 개의 복잡한 위상 벡터 공간 X와 Y와 열린 집합 U δ X가 주어졌을 때, 함수 f : U → Y의 홀로몰피를 정의하는 방법은 다양합니다. 유한 차원 설정과 달리, X와 Y가 무한 차원일 때, 홀로모픽 함수의 특성은 어떤 정의를 선택하는가에 따라 달라질 수 있습니다.고려해야 할 가능성을 제한하기 위해 X와 Y가 국소적으로 볼록한 경우에만 홀로몰피에 대해 논의한다.

이 섹션에서는 가장 약한 개념에서 가장 강한 개념으로 진행되는 정의 목록을 보여 줍니다.공간 X와 Y가 몇 가지 추가 제약을 만족할 때 이러한 정의와 관련된 몇 가지 정리에 대한 논의로 마무리된다.

가토홀로몰피

Gateaux holomorphy는 약한 holomorphy를 완전 무한 차원 설정으로 직접 일반화하는 것입니다.

X와 Y를 국소 볼록 위상 벡터 공간, U u X를 열린 집합이라고 하자.함수 f : U → Y는 모든 a δ U 및 b δ X에 대하여 그리고 모든 연속 선형 함수 δ : Y → C에 대하여 가토우 정형이라고 한다.

${\displaystyle f_{\varphi }(z)=\varphi \varphi f(a+zb)}$

는 원점 근방에 있는 z의 정형 함수입니다.가토 홀모픽 함수의 집합은 H(U,Y)로_G 나타낸다.

가토우 홀모픽 함수의 분석에서, 유한 차원 홀모픽 함수의 특성은 X의 유한 차원 부분 공간에 머무른다.그러나 기능 분석에서 통상적으로, 이러한 특성은 완전히 열린 집합에서 이러한 기능의 해당 특성을 산출하기 위해 균일하게 결합되지 않을 수 있습니다.

예

• f u U이면 f는 모든 차수의 Gateaux 도함수를 가지며, x h₁ U 및 h, ..., h x_k X에 대해 k차 Gateaux 도함수^k Df(x){h₁, ..., h_k}는 유한 차원 공간인 h의 범위_i 내에서 반복 방향 도함수만을 포함한다.이 경우 반복된 게이트 도함수는 h에서_i 다중 선형이지만, 일반적으로 전체 공간 X에 걸쳐서 볼 때 연속적이지 않다.
• 게다가 테일러의 정리 버전은 다음과 같다.

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{n!}}{\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}$

$여기$서 D${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$^${\displaystyle {}^{}}$f (${\displaystyle x}$) (${\displaystyle y}$) { $displaystyle${$widehat {D}^{n}f(y)}$는 다선형 연산자ⁿ Df(x$)$와 관련된 y 단위의 균질 다항식이다.이 시리즈의 컨버전스는 균일하지 않습니다.보다 정확하게는 V µ X가 고정된 유한 차원 부분 공간인 경우, 0 µ Y의 충분히 작은 콤팩트 근방에서 시리즈가 균일하게 수렴됩니다.다만, 서브 스페이스 V 의 변경이 허가되어 있는 경우는, 컨버전스는 실패합니다.일반적으로 이 변동에 관해서는 균일하지 않습니다.이는 유한 차원 케이스와 뚜렷한 대조를 보입니다.

• 하토그의 정리는 다음과 같은 의미에서 게이트의 정리에 적용된다.

f : (U x₁ X) × (V x₂ X) → Y가 각각의 인수에서 개별적으로 게이트홀로포맷인 함수라면, f는 곱공간에서 게이트홀로포맷이다.

저분석성

함수 f : (U ) X) → Y는 f_G ( H(U,Y)일 경우 저분석적이며, 또한 f는 U의 비교적 콤팩트 서브셋에서 연속적이다.

홀로몰피

함수 f h_G H(U,Y)는 x u U마다 Taylor 급수 팽창을 갖는다면 정칙형이다.

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{n!}}{\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}$

(이는 이미 Gateaux holomorphy에 의해 확실하게 존재함을 보증한다)는 컨버전스되어 0µX의 근방에서 y에 대해 연속됩니다.따라서 홀로몰피는 약한 홀로몰피의 개념과 멱급수 팽창의 수렴을 결합합니다.홀모픽 함수의 집합은 H(U,Y)로 나타낸다.

국소유계홀로몰피

함수 f : (U δ X) → Y는 f 아래의 화상이 Y로 경계가 되는 근방을 U의 각 점이 갖는 경우 국소적으로 경계가 있다고 한다.또한 f가 U 위의 Gateaux 홀모형이면 f는 국소적으로 유계 홀모형이다.이 경우 f h_LB H(U, Y)라고 씁니다.

레퍼런스

• 리처드 V. 카디슨, 존 R.링로즈, 연산자 대수의 이론의 기초, 제1권: 원소 이론.미국 수학 협회, 1997. ISBN0-8218-0819-2 (제3.3장 참조)
• 수봉채, 홀로몰피와 노메드 공간의 미적분, 마르셀 데커, 1985.ISBN 0-8247-7231-8.
• ^ Lawrence A.Harris, 무한 차원 홀모픽 함수에 대한 고정점 이론(미연수).