범주형 이론

Categorical theory
"Vaught's test"가 여기로 리디렉션된다.타르스키-바우트 시험과 혼동해서는안 된다.
카테고리 이론과 혼동해서는안 된다.

수학 논리학에서 이론은 정확히 하나의 모형(이형성까지)을 가지고 있다면 범주형이다.[1]그러한 이론은 그 구조를 독특하게 특징짓는 모델을 정의하는 것으로 볼 수 있다.null

1차 논리학에서는 모형이 유한한 이론만이 범주형일 수 있다.고차 논리학에는 무한 모델을 가진 범주형 이론이 포함되어 있다.예를 들어, 2차 Peano 공리는 범주형이며, 도메인이 N 의 집합인 고유한 모델을 가지고 있다

모델 이론에서, 범주형 이론의 개념은 카디널리티와 관련하여 정제된다.이론은 카디널리티의 모델이 이소모르프까지 정확히 하나라면 is-범주론(또는 κ의 범주형)이다.몰리의 분류 정리는 마이클 D의 정리다. 몰리(1965)는 만약 셀 수 없는 언어의 1차 이론이 어떤 헤아릴 수 없는 카디널리티에서 범주적이라면, 그것은 셀 수 없는 모든 추기경에서 범주적이라고 말한다.null

사하론 셀라(1974)는 몰리의 정리를 헤아릴 수 없는 언어까지 확장시켰다:언어가 카디널리티 κ을 가지고 있고, 어떤 이론이 or보다 크거나 같은 어떤 헤아릴 수 없는 추기경에서 범주적이라면 than보다 큰 모든 추기경에서 단정적이다.

역사와 동기

1904년 오스왈드 베블렌은 그 이론의 모든 모델이 이형질이라면 범주형이라고 정의했다.무한 카디널리티의 모델을 가진 어떤 1차 이론도 단정할 수 없다는 것은 위의 정의와 뢰웬하임-스콜렘 정리에서 따온 것이다.그 후 하나는 즉시 κ 범주에 대한 보다 미묘한 개념으로 이어지게 되는데, 그것은 다음과 같이 묻는다: 어느 추기경에게 주어진 이론 T의 카디널리티 κ의 모델이 이소모르피즘에까지 정확히 하나인가?이것은 심오한 질문이고 중요한 진전은 1954년에야 저지 우우치가 적어도 하나의 무한 모델을 가진 셈 가능한 언어에 대한 완전한 이론 T의 경우 T가 일부 κ에서 κ 범주로 분류될 수 있는 세 가지 방법밖에 찾을 수 없다는 것을 알아차렸을 때 비로소 이루어졌다.

  • T는 완전히 단정적이다.T는 모든 무한 추기경에게 κ 범주형이다.
  • T는 헤아릴 수 없이 범주적이다.T는 κ이 헤아릴 수 없는 추기경일 경우에만 κ 범주형이다.
  • T는 분명히 단정적이다.T는 κ이 계수 가능한 추기경일 경우에만 κ 범주형이다.

다시 말하면, 그는 생각할 수 있는 모든 경우에, 셀 수 없는 추기경 한 사람에서의 κ 범주가 다른 모든 추기경들에게 κ 범주를 암시한다고 관찰했다.이러한 관찰은 1960년대에 많은 연구를 촉발시켰고, 결국 이것들이 사실상 유일한 가능성이라는 마이클 몰리의 유명한 결과를 절정에 이르게 했다.이후 1970년대 이후 사하론 셀라(Saharon Shellah)에 의해 이론이 확장되고 정제되어 안정성 이론과 셀라의 분류 이론에 대한 보다 일반적인 프로그램으로 이어졌다.null

예

몇몇 헤아릴 수 없는 추기경들에게 단정적인 이론의 자연적인 예는 많지 않다.알려진 예는 다음과 같다.

  • 순수 정체성 이론("=" 또는 공리 이외의 함수, 상수, 술어가 없음).
  • 대표적인 예가 주어진 특성의 대수적으로 닫힌 장에 대한 이론이다.분류성은 복합수 C만큼 큰 특성 0의 모든 대수적으로 닫힌 장이 C와 동일하다고 말하지 않는다. 단지 C에 대한 필드와 같은 이형체라고 주장할 뿐이다.따라서 완성된 p-adic 폐쇄 C는p 모두 C에 대한 분야로서 이형성이지만, 위상학적 및 분석적 특성이 완전히 다를 수 있다(실제로 그렇다).주어진 특성의 대수적으로 폐쇄된 장의 이론은 Ω(계산 가능한 무한 추기경)으로 범주화되지 않는다; 초월도 0, 1, 2, ..., Ω의 모델이 있다.
  • 지정된 카운트 가능한 필드 위의 벡터 공간.여기에는 주어진 주요 지수의 아벨리아 그룹(본질적으로 유한장 위의 벡터 공간과 동일함)과 분리할 수 없는 토션 없는 아벨리아 그룹(본질적으로 이성들의 벡터 공간과 동일함)이 포함된다.
  • 후계 함수를 갖는 자연수 집합론.

Ω으로는 단정하지만 셀 수 없는 추기경에서는 단정하지 않은 이론의 예도 있다.가장 간단한 예는 정확히 두 개의 등가계급과의 등가관계 이론이며, 두 가지 모두 무한하다.또 다른 예는 끝점이 없는 밀도 있는 선형 순서에 대한 이론이다; 칸토어는 그러한 계수 가능한 선형 순서가 합리적인 숫자에 이형적이라는 것을 증명했다.null

특성.

모든 범주형 이론은 완전하다.[2]그러나, 그 반대는 유지되지 않는다.[3]null

어떤 무한 추기경 κ에 있어서의 T 이론의 범주화는 완전성에 매우 가깝다.보다 정확히 말하면, 우와르-보우트 시험은 만족스러운 이론이 유한한 모델을 가지고 있지 않고 일부 무한 추기경 κ에서 최소한 그 언어의 카디널리티와 동일하다면, 그 이론은 완전하다고 명시하고 있다.그 이유는 모든 무한 모델은 뢰웬하임-스콜렘 정리에 의한 추기경 κ의 모형에 상당하며, κ에 있어서 이론이 범주형인 만큼 모두 동등하기 때문이다.따라서 모든 모델이 동등하므로 이론은 완전하다.이론에는 유한한 모델이 없다는 가정이 필요하다.[4]null

참고 항목

메모들

  1. ^ 일부 저자들은 이론의 모든 모델이 이등형이라면 범주형이라고 정의한다.이 정의는 일관성이 없는 이론을 범주화한다. 왜냐하면 그것은 모델을 가지고 있지 않기 때문이다. 따라서 공허하게 기준을 충족시키기 때문이다.
  2. ^ 1976년 승려, 페이지 349.
  3. ^ Mummert, Carl (2014-09-16). "Difference between completeness and categoricity".
  4. ^ 표식기(2002) 페이지 42

참조