주문단위

순서 단위는 모든 원소를 위에서부터 묶는 데 사용할 수 있는 순서 벡터 공간의 요소다.^[1]이러한 방식으로(아래 첫 번째 예에서 보듯이) 주문 단위는 실제의 단위 요소를 일반화한다.

H. H. Schaefer에 따르면 "해석에서 발생하는 순서 벡터 공간은 대부분 순서 단위가 없다"고 한다.^[2]

정의

벡터 공간 X{X\displaystyle}, e의 주문 콘 KX⊆{\displaystyle K\subseteq X} 들어 ∈ K{e\in K\displaystyle}은 주문 단위(더 정확히 하는 K{\displaystyle K}-order 단위)모든 x에 ∈ X{\displaystyle Xx\in}이λ x의 존재하는;0{\displaystyle \lambda_{.x}>$0}$ 이러한 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \lambda _{x}e-x\in$ K$}($$즉{\displaystyle }$, x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x\leq _{K}\lambda _{x}e}).$^[3]

등가정의

주문 콘 $K{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$의 주문 단위는 $K{\displaystyle }$ ;${\displaystyle K;}$의 대수적 내부에 있는 요소들이다$$. 즉$$, ${\displaystyle \mathrm{코어}}$⁡ (${\displaystyle }$K )${\displaystyle }$.${\displaysty \operatorname {core} ($K)가 부여한다$.$$}$^[3]

예

Let ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ be the real numbers and ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\},}$ then the unit element ${\displaystyle 1}$ is an order unit.

Let ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}^{n}=\left\{x_{i}\in \mathbb {R} :{\text{ for all }}i=1,\ldots ,n:x_{i}\geq 0\right\},}$ then the unit element ${\displaystyle {$$\vec{1}=(1,\ldots,1)$은 주문 단위다.

순서가 지정된 위상 벡터 공간의 양의 원뿔의 각 내부 점은 순서 단위다.^[2]

특성.

주문된 TVS의 각 주문 단위는 주문 위상에 대한 양의 콘에 내장되어 있다.^[2]

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$이(가) 주문 단위 $u{\displaystyle }$, ${\displaystyle u,}$이(${\displaystyle 가}$) 있는 리얼 위에 사전 정렬된 벡터 공간인$$ 경우 맵$$ p (${\displaystyle }x{\displaystyle }$ )${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle inf}$ {${\displaystyle }$t ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle x\mathbb{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$}${\displaystyle$ p$(x):$$=\inf\{t\in \mathb {R} :x\leq tu\}}$은(는) 하위 선형 함수다.^[4]

오더단위규범

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$이(가) 주문 단위 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가$$) 있는 리얼 위에 정렬된 벡터 공간이며$$, 순서가 Archimedien이고 $U{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle u}$,${\displaystyle u}$ ${\displaystyle ]}$ . ${\displaystystyle U=[-u,u$,u$]$라고 가정합시다.$}}$ 그러면$$ 민코프스키 기능 ${\displaystyle p_{}}$ $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$U$의 $U$${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle U,}$ ) { > : [ - , ${\displaystyle p_{U}(x):$$=\{r>0:x\in r[-u,u]\}}}$은(는) 주문 단위 규범이라고 하는 규범이다.$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}u}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p_{U}(u)=1}$ 및$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\$에 의해 결정되는 닫힌 단위 공을 만족한다.$U}}$은$({\displaystyle }$는${\displaystyle )}$ [ - ${\displaystyle u]}$; ${\displaystyle [-u,u];}$과(와) 같다. 즉,${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$}. ${\displaystyle [-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x$)\$leq 1\right\}.$$}$^[4]

참조

참고 문헌 목록

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.