프로이트스펙트럼 정리

수학에서 프로이덴탈 스펙트럼 정리는 1936년 한스 프로이덴탈에 의해 증명된 리에즈 우주 이론의 결과물이다.그것은 주 투영 속성이 있는 리에즈 공간에서 양성 원소가 지배하는 어떤 원소는 어떤 의미에서 단순한 함수에 의해 균일하게 근사할 수 있다고 대략적으로 기술하고 있다.

수많은 잘 알려진 결과는 프로이덴탈 스펙트럼 정리에서 도출될 수 있다.잘 알려진 라돈-니코디름 정리, 포아송 공식의 유효성, 정상 연산자 이론으로부터의 스펙트럼 정리는 모두 프로이드텐탈 스펙트럼 정리의 특별한 사례로서 뒤따른다는 것을 보여줄 수 있다.

성명서

e를 리에즈 공간 E의 어떤 긍정적인 요소가 되게 하라.A positive element of p in E is called a component of e if ${\displaystyle p\wedge (e-p)=0}$. If ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$ are pairwise disjoint components of e, any real linear combination of ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{$$n}}$은(는) e-메모리 함수라고 한다.

프로이덴탈 스펙트럼 정리는 다음과 같이 기술한다.E는 주 투영 특성을 가진 모든 Riesz 공간이 되고 E의 모든 양성 요소가 되도록 하라.Then for any element f in the principal ideal generated by e, there exist sequences ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ and ${\displaystyle \{t_{n}\}}$ of e-simple functions, such that ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ is monotone increasing and converges e-uniformly to f, and ${\displayst$$yle \{t_{n}\}}$은(는) 단조 감소하고 e-메모리를 f로 수렴한다$$.

라돈-니코딤 정리와의 관계

Let ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ be a measure space and ${\displaystyle M_{\sigma }}$ the real space of signed ${\displaystyle \sigma }$-additive measures on ${\displaystyle (X,\Sigma )}$. It can be shown that ${\displaystyle M_{\sigma }}$ is a Dedekind complete Banach Lattice with 총 변동 규범에 따라 주 투영 특성을 갖는다.모든 양의 측정 $\mu$에 대해$$μ {\$displaystyle$ $\mu$},$$$\mu s{\displaystyle }$$(\$displaystyle $\mu }$ - 단순함수$$(위의 정의에 따름) -$$ {\$displaystyle$$\mu }$ - 측정 가능한 단순함수($X,\Sigma )}$에 정확히 일치한다고 표시할 수 있다.$$더욱이 프로이덴탈 스펙트럼 정리에 의해서, $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$에 의해 생성된 대역의 측정치 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\nu }$은(X${\displaystyle }$,$σ ){\displaystyle \mu$$}$ 로부터 단조롭게$$ 근사할 수 있다$$.m ${\displaystyle \nu }$ can be shown to correspond to an ${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$ function and establishes an isometric lattice isomorphism between the band generated by ${\displaystyle \mu }$ and the Banach Lattice ${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$.

참고 항목

• 라돈-니코딤 정리

참조

• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introduction to Operator Theory in Riesz spaces, Springer, ISBN 3-540-61989-5
• Zaanen, Adriaan C.; Luxemburg, W. A. J. (1971), Riesz spaces I, North-Holland, ISBN 0-7204-2451-8