불가해한 표현

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서, 특히 집단과 알헤브라의 표현 이론에서, 수정 불가능한 표현(${\displaystyle }$( ,${\displaystyle V}$) ${\displaystyle (\rho ,V)}$ 또는$$ $대수{\displaystyle }$ 구조 A ${\displaystyle A}$은(는) 적절한 비유전적 하위 표현$({\displaystyle {}_{}}$ W${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle W}$) ${\displaystystyle (\rho _{W}$W}W}W}W$)$이)이 아닌 표현이다$$.$\}\},$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \subset }$ V ${\displaystyle W\subset V}$이$({\displaystyle 가}$) { ${\displaystyle \rho }$( ${\displaystyle )}$ :${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A\}}$ ${\displaystyle \{\rho$ ($a):a\in$ A$\}$의 작업으로 닫힘$$$.$

힐버트 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 대한 모든 유한 차원 단일 표현은 되돌릴 수 없는 표현들의 직접적인 합이다. 설명할 수 없는 표현은 항상 외설적이지만(즉, 직접적인 표현 합으로 더 이상 분해할 수 없음), 역은 유지되지 않을 수 있다. 예를 들어, 상위 삼각형 전지전능 매트릭스에 의해 작용하는 실제 숫자의 2차원 표현은 외설적이지만 축소될 수 있다.

역사

집단 표현 이론은 1940년대부터 리차드 브라워에 의해 일반화되었는데, 모듈 표현 이론을 제시하기 위해, 행렬 운영자들이 실제 숫자의 분야나 복잡한 숫자의 분야에 걸쳐 벡터 공간이 아니라 임의의 특성의 $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$ 위에 벡터 공간을 작용하는 것이다. 결과론에서 돌이킬 수 없는 표현과 유사한 구조는 단순한 모듈이다.^{[citation needed]}

개요

Let ${\displaystyle \rho }$ be a representation i.e. a homomorphism ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ of a group ${\displaystyle G}$ where ${\displaystyle V}$ is a vector space over a field ${\displaystyle F}$. If we pick a basis ${\displaystyle B}$ for ${\displaystyle V}$, $$${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) 그룹에서 변위할 수 없는 행렬의 집합으로 함수(동형성)로 생각할$$ 수 있으며, 이러한 맥락에서 행렬표현이라고 한다. 그러나 공간 $V{\displaystyle }$ {\$displaystyle V}$을(를$)$ 근거 없이$$ 생각하면 일이 크게 간소화된다.

A linear subspace ${\displaystyle W\subset V}$ is called ${\displaystyle G}$-invariant if ${\displaystyle \rho (g)w\in W}$ for all ${\displaystyle g\in G}$ and all ${\displaystyle w\in W}$. The co-restriction of ${\displaystyle \rho }$ to the general linear group of a ${$$\displaystyle G}$ - invariant$$ 하위 공간 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W\subset V}$은(는) 하위 표현으로 알려져$$ 있다. A representation ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ is said to be irreducible if it has only trivial subrepresentations (all representations can form a subrepresentation with the trivial ${\displaystyle G}$-invariant subspaces, e.g. the whole vector space ${\displaystyle V}$, and {0}). 적절한 비침습성 하위공간이 있을 경우 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$}은(는) 환원 가능하다고 한다$$.

단체표현의 표기법 및 용어

그룹 요소는 행렬로 나타낼 수 있지만, "표시됨"이라는 용어는 이 맥락에서 구체적이고 정확한 의미를 갖는다. 그룹의 표현은 그룹 요소에서 행렬의 일반 선형 그룹으로 매핑하는 것이다. 표기법으로서 a, b, c...는 아무 기호도 없이 기호가 표시된 그룹 g의 요소를 나타내기 때문에 ab은 a와 b의 그룹 제품이며 또한 G의 요소로서 D로 표기되도록 한다. a의 표현이 쓰여 있다.

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

그룹 표시의 정의에 의해 그룹 제품의 표현은 다음과 같은 표현들의 행렬 곱셈으로 번역된다.

$D(ab)=D(a)D(b)}$

e가 그룹의 ID 요소인 경우(그래서 ae = ea = a 등), D(e)는 ID 매트릭스 또는 ID 매트릭스의 블록 매트릭스(block matrix)와 동일하다.

$[\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(a)=D(a)}$

기타 모든 그룹 요소에 대해 유사하게. 마지막 두 진술은 D가 집단 동형상이라는 요건에 해당한다.

축소 및 축소할 수 없는 표현

표현은 비종교 G-invariant 하위 공간을 포함하는 경우, 즉 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 행렬 $D{\displaystyle (}$ )${\displaystyle D(a)}$을 동일한 반전성 매트릭스 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 의해 상위 삼각형 블록 형태로 넣을 수 있다$$$.$ 즉, 유사성 변환이 있는 경우:

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

이것은 표현에 있는 모든 행렬을 동일한 패턴의 위쪽 삼각형 블록에 매핑한다. 모든 순서의 마이너 블록은 그룹 하위 표현이다. 즉, 만약 그 표현이 차원 k라면, 우리는 다음을 가지고 있다.

$D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{11)}(a)&D^{12(a)}(a)\0&D^{22(a)\\\end{pmatrix},}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $D{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {11}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle D^{(11)}(a)}$은(는) 비종교적 하위 표현이다$$. $D{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{12}{}^{}}$) ( )${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D^{(12)(a)=0}$을(를$$$$) 만드는 행렬 P ${\displaystyle$ P}을$($를) 찾을 수 있다면 D ${\displaystyle$ D($a)}$은(는) 축소할 수 있을 뿐만 아니라 분해할 수도 있다$$.

주의: 표식이 축소될 수 있더라도 행렬 표식은 여전히 위쪽 삼각형 블록 형태가 아닐 수 있다. 우리가 적절한 기준을 선택할 경우에만 이 양식을 갖게 되는데, 이는 위의$$ 매트릭스 $P{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$를 표준기준에 적용하여 얻을 수 있다.

분해 및 외설적 표현

모든 행렬 $D{\displaystyle (}$) ${\displaystyle D(a)}$을 동일한 반전 $매트릭스{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$에 의해 블록 대각선 형태로 넣을 수 있으면$$ 표현은 분해될 수 있다$.$ 즉, 유사성 변환이 있는 경우:^[1]

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

이것은 표현에 있는 모든 행렬을 대각선 블록의 동일한 패턴으로 대각선화한다. 각각의 그러한 블록은 다른 블록으로부터 독립된 그룹 하위 표현이다. 표현 D(a)와 D(a)는 등가 표현이라고 한다.^[2] 표현은 k > 1 행렬의 직접적인 합으로 분해될 수 있다.

$D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

그래서 D(a)는 분해할 수 있으며, 일부 저자는 괄호 없이 숫자 라벨만 쓰지만, n = 1, 2, ..., k에 대해서는⁽ⁿ⁾ D(a)에서처럼 대괄호 안에 있는 위첨자로 분해된 행렬에 라벨을 붙이는 것이 관습이다.

D(a)의 치수는 블록 치수의 합이다.

$\dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)+\dim[]D^{{(2)}(a)+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].}$

만약 이것이 가능하지 않다면, 즉, k = 1은 외설적이다.^[1][3]

주의: 표현을 분해할 수 있더라도 행렬의 표현은 대각선 블록 형식이 아닐 수 있다. 우리가 적절한 기준을 선택할 경우에만 이 양식을 갖게 되는데, 이는 위의$$ 매트릭스 $P{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$를 표준기준에 적용하여 얻을 수 있다.

되돌릴 수 없는 표현과 분해할 수 없는 표현 간의 연결

설명할 수 없는 표현은 본질적으로 외설적인 표현이다. 그러나, 그 반전은 실패할 수도 있다.

하지만 어떤 조건하에서, 우리는 되돌릴 수 없는 표현인 외설적인 표현을 가지고 있다.

• 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 유한하고 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ C ${\$에 걸쳐 표현을 하는 경우$,$ 외설적인 표현은 수정할 수 없는 표현이다. ^[4]
• $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$이(가) 유한하고 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) 통해 대표성을 가질 ${\displaystyle 때}$$,$ ${\displaystyle \mathrm{만약}}$ c ${\displaystyle h}$ a r${\displaystyle }$(${\displaystyle K}$ )${\displaystyle \backslash }$ G {\$displaysty char($K)\$nmid$ G}이(가$)$ 있다면, 외설적인 표현은 불가해표현이다$.$

되돌릴 수 없는 표현 예

사소한 표현

모든 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 1차원적이고 수정할 수 없는 사소한 표현을 가지고$$ 있다.

1차원 표현

어떤 1차원적 표현도 적절한 비독점적 하위 영역이 없기 때문에 덕으로 해석할 수 없다.

설명할 수 없는 복잡한 표현들 표현

유한집단 G의 수정불가능한 복합표현들은 성격 이론의 결과를 이용하여 특징지을 수 있다. 특히 그러한 모든 표현은 직접적 합계의 반출로 분해되며, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 반출 횟수는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 결합 등급 수와 같다$$$.$^[5]

• $Z{\displaystyle \mathbb{}/n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$의 설명할 수 없는 복합 표현은 정확히$$ $지도{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 1\mapsto \gamma}$에 의해 제시되며$,$ 여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$gamma}$은$$root의 뿌리다.
• $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를$)$ 기본 $\{{\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$${\displaystyle {\}}_{}^{}}$ = ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ $S_$${n$}의 n {\displaystyle $\{$${i}\i=1^{n}}}$을(를) $사용$하여 n ${\$$displaystystyle V}$을(를)에 대한 $복합적$으로 표현하도록 하십시오$.$ 그러면 V ${\$의 직접 합계가 분해됩니다$$.
  $${\displaystyle V_{\text{triv}=\mathb {C}\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\오른쪽)}$$

  
  직교 서브공간은 다음에서 주어진다.
  $${\displaystyle V_{n1}{std}=\좌측\{\sum _{i=1}a_{n}v_{i}}:a_{i}\in \mathb {C},\sum _{i=1}^{n}a}a_{n}=0\right\}.}$$

  
  이전의 irrep은 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$의 사소한 표현에 대해 1차원적이고 이형적이다$.$ 후자는 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$ 치수이며$$, $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 표준 표현으로 알려져 있다$.$^[5]
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 그룹화하십시오$$. The regular representation of ${\displaystyle G}$ is the free complex vector space on the basis ${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$ with the group action ${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$, denoted ${\displaystyle \mathbb {C} G.}$ All irreducible represen$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$$}$의 표시는 C ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathb {C}$G}의 분해에 직접적 합으로 나타난다$$$$.

$F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 수정할 수 없는 표현 예제

• Let ${\displaystyle G}$ be a ${\displaystyle p}$ group and ${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$ be a finite dimensional irreducible representation of G over ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. By Orbit-stabilizer theorem, the orbit of every ${\displaystyle V}$ element acted by the ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ 그룹$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 크기가 p ${\displaystyle p}$의 검정력이다$.$ 이 모든 궤도의 크기는 G ${\displaystyle G}$의 $크기$에 이르며 0${\displaystyle \mathrm{}}$$$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0\in$ V$}$의 크기 1의$$ 다른 궤도가 있어야만 일치한다. 즉, $모든$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\$$in$ G}에 $대해$ ${\displaystyle g}$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle gv=v}$과 같은 $일부{\displaystyle }$ v ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle$ g\$in$ $G$$}$이(가) 존재하며$,$ 이는 $모든{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ p ${\$ 그룹을$$ ${\displaystyle {}_{}}$으로 표현하도록$$ 강제한다.

이론물리학과 화학에서의 응용

양자물리학 및 양자화학에서 해밀턴 연산자의 각 퇴화유전성분 집합은 해밀턴계의 대칭군 표출을 위한 벡터 공간 V로 구성된다. 해밀턴의 "멀티플릿"은 그 분해할 수 없는 부분의 축소를 통해 가장 잘 연구된 것이다. 따라서 수정할 수 없는 표현을 식별하면 주(州)에 라벨을 붙일 수 있고, 동요로 인해 어떻게 분할될 것인지 예측할 수 있으며, V의 다른 주로 전환될 수 있다. 따라서 양자역학에서는 시스템의 대칭군(대칭군)에 대한 불가역적인 표현은 시스템의 에너지 수준에 부분적으로 또는 완전히 라벨을 붙여 선택 규칙을 결정할 수 있다.^[6]

거짓말 그룹

로렌츠 군

J가 회전의 발생기이고 K가 부스트의 발생기인 D(K)와 D(J)의 반절은 양자역학의 스핀 매트릭스와 관련이 있기 때문에 로렌츠 그룹의 스핀 표현을 만드는 데 사용할 수 있다. 이를 통해 상대론적 파동 방정식을 도출할 수 있다.^[7]

참고 항목

연합 알헤브라스

• 단순모듈
• 외설 모듈
• 연관대수의 표현

거짓말 그룹

• 리알헤브라의 표현 이론
• SU(2)의 표현 이론
• SL2(R)의 표현 이론
• 갈릴레이 집단의 대표이론
• 차이점형 집단의 표현 이론
• 푸앵카레 집단의 표현 이론
• 최고중량의 정리

참조

책들

• H. Weyl (1950). The theory of groups and quantum mechanics. Courier Dover Publications. p. 203. ISBN 978-0-486-60269-1. magnetic moments in relativistic quantum mechanics.
• P. R. Bunker; Per Jensen (2004). Fundamentals of molecular symmetry. CRC Press. ISBN 0-7503-0941-5.[1]
• A. D. Boardman; D. E. O'Conner; P. A. Young (1973). Symmetry and its applications in science. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (2007). Group theory in quantum mechanics: an introduction to its present usage. Dover. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (1993). Group Theory in Quantum Mechanics: An Introduction to Its Present Usage. Courier Dover Publications. ISBN 978-048-6675-855.

• E. Abers (2004). Quantum Mechanics. Addison Wesley. p. 425. ISBN 978-0-13-146100-0.
• B. R. Martin, G.Shaw (3 December 2008). Particle Physics (3rd ed.). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. p. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
• Weinberg, S. (1995), The Quantum Theory of Fields, 1, Cambridge university press, pp. 230–231, ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, S. (1996), The Quantum Theory of Fields, 2, Cambridge university press, ISBN 978-0-521-55002-4
• Weinberg, S. (2000), The Quantum Theory of Fields, 3, Cambridge university press, ISBN 978-0-521-66000-6
• R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
• P. W. Atkins (1970). Molecular Quantum Mechanics (Parts 1 and 2): An introduction to quantum chemistry. 1. Oxford University Press. pp. 125–126. ISBN 978-0-19-855129-4.

기사들

• Bargmann, V.; Wigner, E. P. (1948). "Group theoretical discussion of relativistic wave equations". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 34 (5): 211–23. Bibcode:1948PNAS...34..211B. doi:10.1073/pnas.34.5.211. PMC 1079095. PMID 16578292.
• E. Wigner (1937). "On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group" (PDF). Annals of Mathematics. 40 (1): 149–204. Bibcode:1939AnMat..40..149W. doi:10.2307/1968551. JSTOR 1968551. MR 1503456.

추가 읽기

• Artin, Michael (1999). "Noncommutative Rings" (PDF). Chapter V.

외부 링크

• "Commission on Mathematical and Theoretical Crystallography, Summer Schools on Mathematical Crystallography" (PDF). 2010.
• van Beveren, Eef (2012). "Some notes on group theory" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-05-20. Retrieved 2013-07-07.
• Teleman, Constantin (2005). "Representation Theory" (PDF).
• Finley. "Some Notes on Young Tableaux as useful for irreps of su(n)" (PDF).^{[영구적 데드링크]}
• Hunt (2008). "Irreducible Representation (IR) Symmetry Labels" (PDF).
• Dermisek, Radovan (2008). "Representations of Lorentz Group" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2018-11-23. Retrieved 2013-07-07.
• Maciejko, Joseph (2007). "Representations of Lorentz and Poincaré groups" (PDF).
• Woit, Peter (2015). "Quantum Mechanics for Mathematicians: Representations of the Lorentz Group" (PDF)., 40장 참조
• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Guild, David; Turetsky, Emma (2009). "Representations of the Symmetry Group of Spacetime" (PDF).
• Finley. "Lie Algebra for the Poincaré, and Lorentz, Groups" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2012-06-17.
• Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). "The unitary representations of the Poincaré group in any spacetime dimension". arXiv:hep-th/0611263.
• "McGraw-Hill dictionary of scientific and technical terms".